Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen

Lösungsvielfalt

Es gibt drei Möglichkeiten für die Anzahl an Lösungen eines Gleichungssystems:

1. Keine Lösung

2. Unendlich viele Lösungen

3. Genau eine Lösung.

Dies kann man sich an einem Beispiel leicht verdeutlichen, indem man das Gleichungssystem grafisch darstellt:

Geometrische Deutung am Beispiel: 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten

Die Lösungesmenge jeder einzelnen Gleichung ist eine Gerade.

Diese beiden Geraden,

• sind echt parallel zueinander, haben also keinen gemeinsamen Punkt $\to$ keine Lösung,

• liegen aufeinander (sind also gleich) $\to$ unendlich viele Lösungen,

• oder schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt $\to$ eine Lösung

Beispiele für die drei Möglichkeiten

Parallele Geraden

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}& -x&-y&=4\\\mathrm{II}&3x&+3y&=6\end{array} \begin{array}{ccccc}\Rightarrow\mathrm{I}& y&=&-x&-4\\\Rightarrow\mathrm{II}&y&=&-x&+2\end{array}$

Identische Geraden

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}& x&-\frac12y&=\frac32\\\mathrm{II}&-9x&+\frac92y&=-\frac{27}2\end{array} \begin{array}{ccccc}\Rightarrow\mathrm{I}& y&=&2x&-3\\\Rightarrow\mathrm{II}&y&=&2x&-3\end{array}$

Sich schneidende Geraden

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}& x&-y&=3\\\mathrm{II}&9x&+3y&=15\end{array} \begin{array}{ccccc}\Rightarrow\mathrm{I}& y&=&x&-3\\\Rightarrow\mathrm{II}&y&=&-3x&+5\end{array}$

Lösbarkeit mit der Matrixdarstellung bestimmen

Im Folgenden betrachten wir quadratische Matrizen. Sie beschreiben lineare Gleichungssysteme, mit genau so vielen Gleichungen wie Variablen.

3. Beispiel für ein LGS mit genau einer Lösung (sich schneidende Geraden)

Gegeben ist das LGS:

Subtrahierte von der 2. Zeile das Doppelte der 1. Zeile.

Die letzte Zeile lautet ausgeschrieben:

Setze $y=1$ in eine der beiden Gleichungen ein:

Das LGS hat die Lösung $\mathbb{L}=\{(-\frac{1}{2}|1)\}$

Im folgenden Spoiler ist die Vorgehensweise für ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen beschrieben.