Gaußverfahren

Das Gaußverfahren ist ein Verfahren, um lineare Gleichungssysteme zu lösen. Dabei wird das Additionsverfahren auf die erweiterte Koeffizientenmatrix angewandt.

Die Koeffizientenmatrix wird so umgeformt, dass unter der Diagonalen nur noch Nullen stehen, sie ist dann in Zeilenstufenform:

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{ccccc|c} a_{11}&\ a_{12}&\dots&\dots&a_{1n}&b_1\\0&a_{22}&a_{23}&\dots&a_{2n}&b_2\\\vdots&&\ddots&&\vdots&\vdots\\0&\dots&0&a_{(n-1)(n-1)}&a_{(n-1)n}&b_{n-1}\\0&\dots&\dots&0&a_{nn}&b_n\end{array}\right)

Mit dieser Form lassen sich nun ganz einfach von unten nach oben die Einträge des Lösungsvektors berechnen.

Beispiel

Im Folgenden wird dir die Vorgehensweise beim Gaußverfahren mithilfe eines Beispiels erklärt.

Nimm an, du hast folgendes Gleichungssystem gegeben:

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{ccccc|c} a_{11}&\ a_{12}&\dots&\dots&a_{1n}&b_1\\0&a_{22}&a_{23}&\dots&a_{2n}&b_2\\\vdots&&\ddots&&\vdots&\vdots\\0&\dots&0&a_{(n-1)(n-1)}&a_{(n-1)n}&b_{n-1}\\0&\dots&\dots&0&a_{nn}&b_n\end{array}\right)

Zunächst solltest du es zu einer erweiterten Koeffizientenmatrix umschreiben:

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{ccccc|c} a_{11}&\ a_{12}&\dots&\dots&a_{1n}&b_1\\0&a_{22}&a_{23}&\dots&a_{2n}&b_2\\\vdots&&\ddots&&\vdots&\vdots\\0&\dots&0&a_{(n-1)(n-1)}&a_{(n-1)n}&b_{n-1}\\0&\dots&\dots&0&a_{nn}&b_n\end{array}\right)

Als ersten Schritt des Gaußverfahrens verwendest du jetzt das Additionsverfahren, um die beiden Einträge, die jetzt orange markiert sind auf null zu bringen.

Dazu ziehst du von der zweiten Zeile das doppelte der ersten Zeile ab $\left( \mathrm{II}-2\cdot\mathrm{I}\right)$ . Anschließend ziehst du von der dritten Zeile die erste Zeile mit $\dfrac32$ multipliziert ab $\left( \mathrm{III} - \frac32 \cdot\mathrm{I}\right)$ :

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{ccccc|c} a_{11}&\ a_{12}&\dots&\dots&a_{1n}&b_1\\0&a_{22}&a_{23}&\dots&a_{2n}&b_2\\\vdots&&\ddots&&\vdots&\vdots\\0&\dots&0&a_{(n-1)(n-1)}&a_{(n-1)n}&b_{n-1}\\0&\dots&\dots&0&a_{nn}&b_n\end{array}\right)

Jetzt gibt es in deiner erweiterten Koeffizientenmatrix nur noch einen Eintrag unter der Diagonalen, der nicht Null ist, in der Matrix ist er grün markiert.

Damit auch in diesem Eintrag der Matrix eine Null steht, ziehst du nun die Hälfte der zweiten Zeile von der dritten ab $\left( \mathrm{III} - \frac12 \cdot\mathrm{II}\right)$ :

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{ccccc|c} a_{11}&\ a_{12}&\dots&\dots&a_{1n}&b_1\\0&a_{22}&a_{23}&\dots&a_{2n}&b_2\\\vdots&&\ddots&&\vdots&\vdots\\0&\dots&0&a_{(n-1)(n-1)}&a_{(n-1)n}&b_{n-1}\\0&\dots&\dots&0&a_{nn}&b_n\end{array}\right)

Damit ist deine Matrix jetzt in Zeilenstufenform, damit kannst du jetzt leicht die Lösung des Gleichungssystems bestimmen. Wie das geht, siehst du am besten, wenn du die Matrix nun wieder in der ursprünglichen Darstellung betrachtest:

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{ccccc|c} a_{11}&\ a_{12}&\dots&\dots&a_{1n}&b_1\\0&a_{22}&a_{23}&\dots&a_{2n}&b_2\\\vdots&&\ddots&&\vdots&\vdots\\0&\dots&0&a_{(n-1)(n-1)}&a_{(n-1)n}&b_{n-1}\\0&\dots&\dots&0&a_{nn}&b_n\end{array}\right)

Indem du Gleichung $\mathrm{III}$ durch $-3$ teilst, erhältst du für $z$ die Lösung $\mathbf{z = 2}$ . Diesen Wert kannst du nun in die anderen beiden Gleichungen einsetzen:

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{ccccc|c} a_{11}&\ a_{12}&\dots&\dots&a_{1n}&b_1\\0&a_{22}&a_{23}&\dots&a_{2n}&b_2\\\vdots&&\ddots&&\vdots&\vdots\\0&\dots&0&a_{(n-1)(n-1)}&a_{(n-1)n}&b_{n-1}\\0&\dots&\dots&0&a_{nn}&b_n\end{array}\right)

Hier kannst du jetzt Gleichung $\mathrm{II}$ lösen, indem du erst $2$ subtrahierst: $-7y = 7$ und dann durch $-7$ teilst: $\mathbf{y = -1}$ . Auch diesen Wert kannst du jetzt in Gleichung $\mathrm{I}$ einsetzen:

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{ccccc|c} a_{11}&\ a_{12}&\dots&\dots&a_{1n}&b_1\\0&a_{22}&a_{23}&\dots&a_{2n}&b_2\\\vdots&&\ddots&&\vdots&\vdots\\0&\dots&0&a_{(n-1)(n-1)}&a_{(n-1)n}&b_{n-1}\\0&\dots&\dots&0&a_{nn}&b_n\end{array}\right)

Wenn du diese Gleichung nach $x$ auflöst, erhältst du $x = 1$ .

Die Lösung des Gleichungssystems ist also insgesamt:

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{ccccc|c} a_{11}&\ a_{12}&\dots&\dots&a_{1n}&b_1\\0&a_{22}&a_{23}&\dots&a_{2n}&b_2\\\vdots&&\ddots&&\vdots&\vdots\\0&\dots&0&a_{(n-1)(n-1)}&a_{(n-1)n}&b_{n-1}\\0&\dots&\dots&0&a_{nn}&b_n\end{array}\right)

Gauß-Jordan-Verfahren

Das Gauß-Jordan-Verfahren ist eine Abwandlung des Gaußverfahrens. Dabei wird ebenfalls das Additionsverfahren auf die erweiterte Koeffizientenmatrix angewendet. Allerdings wird die Koeffizientenmatrix hier so umgeformt, dass auf der Diagonalen überall der Wert $1$ steht und die restlichen Einträge der Matrix Nullen sind. Das sieht dann so aus:

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{ccccc|c} a_{11}&\ a_{12}&\dots&\dots&a_{1n}&b_1\\0&a_{22}&a_{23}&\dots&a_{2n}&b_2\\\vdots&&\ddots&&\vdots&\vdots\\0&\dots&0&a_{(n-1)(n-1)}&a_{(n-1)n}&b_{n-1}\\0&\dots&\dots&0&a_{nn}&b_n\end{array}\right)

Beim Gauß-Jordan-Verfahren musst du im Vergleich zum Gaußverfahren öfter das Additionsverfahren verwenden, allerdings hat es den Vorteil, dass du den Lösungsvektor sofort in der rechten Spalte ablesen kannst:

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{ccccc|c} a_{11}&\ a_{12}&\dots&\dots&a_{1n}&b_1\\0&a_{22}&a_{23}&\dots&a_{2n}&b_2\\\vdots&&\ddots&&\vdots&\vdots\\0&\dots&0&a_{(n-1)(n-1)}&a_{(n-1)n}&b_{n-1}\\0&\dots&\dots&0&a_{nn}&b_n\end{array}\right)

Beispiel

Hier kannst du anhand eines Beispiels verstehen, wie das Gauß-Jordan-Verfahren funktioniert:

Gleichungssystem	Erweiterte Koeffizientenmatrix	Rechenschritt
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccccccc}\mathrm{I}&2x&-&4y&=&0\\\mathrm{II}&\frac12x&+&y&=&\frac34\end{array}$	$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{cc\|c}2&-4&0\\\frac12&1&\frac34\end{array}\right)$	erste Zeile geteilt durch $2$ und $2\cdot$ zweite Zeile
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccccccc}\mathrm{I}&x&-&2y&=&0\\\mathrm{II}&x&+&2y&=&\frac32\end{array}$	$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{cc\|c}1&-2&0\\1&2&\frac32\end{array}\right)$	zweite Zeile - erste Zeile
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccccccc}\mathrm{I}&x&-&2y&=&0\\\mathrm{II}&&&4y&=&\frac32\end{array}$	$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{cc\|c}1&-2&0\\0&4&\frac32\end{array}\right)$	zweite Zeile geteilt durch 4
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccccccc}\mathrm{I}&x&-&2y&=&0\\\mathrm{II}&&&4y&=&\frac32\end{array}$	$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{cc\|c}1&-2&0\\0&1&\frac38\end{array}\right)$	erste Zeile + $2\cdot$ zweite Zeile
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccccccc}\mathrm{I}&x&&&=&\frac34\\\mathrm{II}&&&y&=&\frac38\end{array}$	$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{cc\|c}1&0&\frac34\\0&1&\frac38\end{array}\right)$	Jetzt kann man die Lösungen ablesen: $x=\frac34,\; y=\frac38$ bzw. $\vec{b}=\begin{pmatrix}\frac34\\ \frac38\end{pmatrix}$

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