Additionsverfahren

$\begin{array}{rccccc}\phantom{II-I}\mathrm{I}& -4a& +& 3b& =& 6\\ \mathrm{II}& 3a& -& 6b& =& 3\end{array}$

Man wählt eine Variable aus und findet das kleinste gemeinsame Vielfache der Koeffizienten. Hier wählt man $b$ und berechnet:

Nun vervielfacht man die Gleichungen so, dass die Koeffizienten der Variable in beiden Gleichungen gleich dem kgV sind.

Hier: Man multipliziert die erste Gleichung mit $2$.

$\begin{array}{rccccc}2\cdot \mathrm{I}\to {\mathrm{I}}^{\prime }& -8a& +& 6b& =& 12\\ \phantom{II-I{\to }^{\prime }}\mathrm{II}& 3a& -& 6b& =& 3\end{array}$

Nun addiert (oder subtrahiert) man die Gleichungen voneinander, um die gewählte Variable zu eliminieren.

Hier: Man addiert ${\mathrm{I}}^{\prime }$ und $\mathrm{II}$.

$\begin{array}{rrrl}{\mathrm{I}}^{\prime }& -8a& +6b& =12\\ \mathrm{I}\mathrm{I}+{\mathrm{I}}^{\prime }\to \mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }& 3a-6b-8a+6b& & =3+12\end{array}$

Fasse zusammen.

$\begin{array}{rccccc}{\mathrm{I}}^{\prime }& -8a& +& 6b& =& 12\\ \phantom{II-I\to }\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }& -5a& & & =& 15\end{array}$

Jetzt ist $a$ die einzige Variable in der zweiten Gleichung. Man löst nach $a$ auf.

$\begin{array}{rccccc}{\mathrm{I}}^{\prime }& -8a& +& 6b& =& 12\\ \phantom{II-I\to }\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }& a& & & =& -3\end{array}$

Es fehlt noch der Wert für $b$. Da man nun weiß, dass $a=-3$ sein muss, setzt man den Wert in ${\mathrm{I}}^{\prime }$ ein und löst nach $b$ auf.

$\begin{array}{rccc}a\text{ in }{\mathrm{I}}^{\prime }\to {\mathrm{I}}^{\prime \prime }& -8\cdot (-3)& +6b& =12\end{array}$

$\begin{array}{rccccccc}\mathrm{I}& 2a& +& 3b& -& c& =& 11\\ \mathrm{II}& a& -& b& +& 2c& =& 3\\ \phantom{2\cdot III{I}^{\prime }\to }\mathrm{III}& 3a& -& 2b& +& 3c& =& 8\end{array}$

Wie oben wählt man eine Variable aus und findet das kleinste gemeinsame Vielfache der Koeffizienten. Hier wählt man $a$ und berechnet:

Nun vervielfacht man die Gleichungen so, dass die Koeffizienten der Variable in allen Gleichungen gleich dem [kgV]() sind.

Hier: Man multipliziert die erste Gleichung mit $3$, die zweite mit $6$, die dritte mit $2$.

$\begin{array}{rccccccc}3\cdot \mathrm{I}\to {\mathrm{I}}^{\prime }& 6a& +& 9b& -& 3c& =& 33\\ 6\cdot \mathrm{I}\mathrm{I}\to \mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }& 6a& -& 6b& +& 12c& =& 18\\ 2\cdot \mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}\to \mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }& 6a& -& 4b& +& 6c& =& 16\end{array}$

Nun addiert (oder subtrahiert) man die Gleichungen voneinander, um die gewählte Variable zu eliminieren.

Hier: Man subtrahiert ${\mathrm{I}}^{\prime }$ von ${\mathrm{II}}^{\prime }$ und von ${\mathrm{III}}^{\prime }$.

$\begin{array}{rccccccc}{\mathrm{I}}^{\prime }& 6a& +& 9b& -& 3c& =& 33\\ \mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }-{\mathrm{I}}^{\prime }\to \mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime \prime }& 6a-6a& -& 6b-9b& +& 12c-(-3c)& =& 18-33\\ \mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }-{\mathrm{I}}^{\prime }\to \mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime \prime }& 6a-6a& -& 4b-9b& +& 6c-(-3c)& =& 16-33\end{array}$

$\begin{array}{rccccccc}{\mathrm{I}}^{\prime }& 6a& +& 9b& -& 3c& =& 33\\ \mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }-{\mathrm{I}}^{\prime }\to \mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime \prime }& 6a-6a& -& 6b-9b& +& 12c-(-3c)& =& 18-33\\ \mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }-{\mathrm{I}}^{\prime }\to \mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime \prime }& 6a-6a& -& 4b-9b& +& 6c-(-3c)& =& 16-33\end{array}$

Nun bilden ${\mathrm{II}}^{\prime \prime }$ und ${\mathrm{III}}^{\prime \prime }$ ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten. Man löst dieses neue Gleichungssystem wie oben beschrieben und erhält:

$b=2;c=1$.

Diese beiden Werte setzt man dann in ${\mathrm{I}}^{\prime }$ ein und löst nach $a$ auf.