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Additionsverfahren

Das Additionsverfahren ist eine Methode zum Lösen von Gleichungssystemen.

Um ein Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren zu lösen, werden die Gleichungen oder deren Vielfache so miteinander addiert bzw. subtrahiert, bis in jeder Gleichung nur noch eine Variable vorkommt.

Vorgehen an Beispielen

Gleichungssystem mit zwei Variablen und zwei Gleichungen

VorgehenTipp

Es ist hilfreich, wenn man die Variable so wählt, dass die nachfolgenden Schritte möglichst einfach sind. Die Wahl der Variable ändert aber nur den Lösungsweg, nicht die Lösung. Mit der Zeit erkennt man, welche Wahl geschickt ist.

Hier

Notation

Erläuterung

IIII4a+3b=6II3a6b=3\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{r|ccccc}\hphantom{II-I}\mathrm{I}&-4a&+&3b&=&6\\\mathrm{II}&3a&-&6b&=&3\end{array}

Man wählt eine Variable aus und findet das kleinste gemeinsame Vielfache der Koeffizienten. Hier wählt man bb und berechnet:

Nun vervielfacht man die Gleichungen so, dass die Koeffizienten der Variable in beiden Gleichungen gleich dem kgV sind.

Hier: Man multipliziert die erste Gleichung mit 22.

2II8a+6b=12IIIII3a6b=3\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{r|ccccc}\mathrm{2\cdot I\to I'}&-8a&+&6b&=&12\\\hphantom{II-I\to'}\mathrm{II} &3a&-&6b&=&3\end{array}

Nun addiert (oder subtrahiert) man die Gleichungen voneinander, um die gewählte Variable zu eliminieren.

Hier: Man addiert I\mathrm{I}' und II\mathrm{II}.

I8a+6b=12II+III3a6b8a+6b=3+12\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{r|rrll}\mathrm{I'}&-8a&+6b&=12\\\mathrm{II+I'\to II'} &3a\color{blue}{-6b}-8a\color{blue}{+6b}&&=3+12\end{array}

Fasse zusammen.

I8a+6b=12IIIII5a=15\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{r|ccccc}\mathrm{I'}&-8a&+&6b&=&12\\\hphantom{II-I\to}\mathrm{II'} &-5a&&&=&15\end{array}

Jetzt ist a\color{green}{a} die einzige Variable in der zweiten Gleichung. Man löst nach a\color{green}{a} auf.

I8a+6b=12IIIIIa=3\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{r|ccccc}\mathrm{I'}&-8a&+&6b&=&12\\\hphantom{II-I\to}\mathrm{II'} &\color{green}{a}&&&\color{green}{=}&\color{green}{-3}\end{array}

Es fehlt noch der Wert für b\color{red}{b}. Da man nun weiß, dass a=3a=-3 sein muss, setzt man den Wert in I\mathrm{I}' ein und löst nach b\color{red}{b} auf.

  a in II8(3)+6b=12\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{r|ccccc}\;a \mathrm{\text{ in }I'\to I''}&-8\cdot \color{green}{(-3)}&+6\color{red}{b}&=12\end{array}

IIII24+6b=1224I6b=12:6Ib=2\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{r|rcl}\hphantom{II-I'\to}\mathrm{I}''&24+6b&=&12&|-24\\\mathrm{I}''&6b&=&-12&|:6\\\mathrm{I}''&\color{red}{b}&\color{red}{=}&\color{red}{-2}\end{array}

Insgesamt erhält man a=3,  b=2a=-3,\;b=-2. Die Werte für aa und bb schreibt man in ein Tupel. Die Lösungsmenge lautet:

L={(3;2)}L=\{(-3;-2)\}

Was ist ein Tupel?

Als Tupel bezeichnet man eine geordnete Menge von Werten. Während bei normalen Mengen die Reihenfolge keine Rolle spielt, ist sie bei Tupeln von Bedeutung.

Beispiel:

Es gilt {1;2;3}={3;1;2}={3;2;1}\{1;2;3\}=\{3;1;2\}=\{3;2;1\}.

Für Tupel gilt aber: (1;2;3)(3;1;2)(1;2;3)\neq(3;1;2).

Für die Lösungsmenge oben ist es insbesondere wichtig, dass zuerst der Wert für aa, dann für bb im Tupel steht.

Gleichungssystem mit drei Variablen und drei Gleichungen

Notation

Erläuterung

I2a+3bc=11IIab+2c=32IIIIIII3a2b+3c=8\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{r|ccccc}\mathrm{I}&2 a&+&3b&-&c&=&11\\\mathrm{II}&a&-&b&+&2c&=&3\\\hphantom{2\cdot IIII'\to}\mathrm{III}&3a&-&2b&+&3c&=&8\end{array}

Wie oben wählt man eine Variable aus und findet das kleinste gemeinsame Vielfache der Koeffizienten. Hier wählt man aa und berechnet:

Nun vervielfacht man die Gleichungen so, dass die Koeffizienten der Variable in allen Gleichungen gleich dem [kgV]() sind.

Hier: Man multipliziert die erste Gleichung mit 33, die zweite mit 66, die dritte mit 22.

3II6a+9b3c=336IIII6a6b+12c=182IIIIII6a4b+6c=16\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{r|ccccc}\mathrm{3\cdot I\to I'}&6a&+&9b&-&3c&=&33\\\mathrm{6\cdot II\to II'}&6a&-&6b&+&12c&=&18\\\quad\mathrm{2\cdot III\to III'}&6a&-&4b&+&6c&=&16\end{array}

Nun addiert (oder subtrahiert) man die Gleichungen voneinander, um die gewählte Variable zu eliminieren.

Hier: Man subtrahiert I\mathrm{I}' von II\mathrm{II}' und von III\mathrm{III}'.

I6a+9b3c=33IIIII6a6a6b9b+12c(3c)=1833IIIIIII6a6a4b9b+6c(3c)=1633\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{r|ccccc}\mathrm{I'}&6a&+&9b&-&3c&=&33\\\mathrm{II'-I'\to II''}&6a-6a&-&6b-9b&+&12c-(-3c)&=&18-33\\\mathrm{III'-I'\to III''}&6a-6a&-&4b-9b&+&6c-(-3c)&=&16-33\end{array}%% %%\begin{array}{r|ccccc}\mathrm{I'}&6a&+&9b&-&3c&=&33\\\mathrm{II''}&&-&15b&+&15c&=&-15\\\hphantom{II'-I'\to}\mathrm{III''}&&-&13b&+&9c&=&-17\end{array}

I6a+9b3c=33IIIII6a6a6b9b+12c(3c)=1833IIIIIII6a6a4b9b+6c(3c)=1633\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{r|ccccc}\mathrm{I'}&6a&+&9b&-&3c&=&33\\\mathrm{II'-I'\to II''}&6a-6a&-&6b-9b&+&12c-(-3c)&=&18-33\\\mathrm{III'-I'\to III''}&6a-6a&-&4b-9b&+&6c-(-3c)&=&16-33\end{array}%% %%\begin{array}{r|ccccc}\mathrm{I'}&6a&+&9b&-&3c&=&33\\\mathrm{II''}&&-&15b&+&15c&=&-15\\\hphantom{II'-I'\to}\mathrm{III''}&&-&13b&+&9c&=&-17\end{array}

Nun bilden II\mathrm{II}'' und III\mathrm{III}'' ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten. Man löst dieses neue Gleichungssystem wie oben beschrieben und erhält:

b=2;  c=1b=2;\;c=1.

Diese beiden Werte setzt man dann in I\mathrm{I}' ein und löst nach a\color{green}{a} auf.

b und c in II6a+9231=336a+15=33156a=18:6a=3\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{r|rcl}b\text{ und }c\text{ in }\mathrm{I'\to I''}&6\color{green}{a}+9\cdot2-3\cdot1&=&33\\&6a+15&=&33&|-15\\&6a&=&18&|:6\\&\color{green}{a}&\color{green}{=}&\color{green}{3}\end{array}

Insgesamt erhält man a=3,  b=2a=3,\;b=2 und c=1c=1. Die Werte für aa und bb schreibt man in ein Tupel. Die Lösungsmenge lautet:

L={(3;2;1)}L=\{(3;2;1)\}

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