Das Additionsverfahren ist eine Methode zum Lösen von Gleichungssystemen .
Um ein Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren zu lösen, werden die Gleichungen oder deren Vielfache so miteinander addiert bzw. subtrahiert, bis in jeder Gleichung nur noch eine Variable vorkommt.
Vorgehen an Beispielen Gleichungssystem mit zwei Variablen und zwei Gleichungen I I − I I − 4 a + 3 b = 6 I I 3 a − 6 b = 3 \displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{r|ccccc}\hphantom{II-I}\mathrm{I}&-4a&+&3b&=&6\\\mathrm{II}&3a&-&6b&=&3\end{array} II − I I II − 4 a 3 a + − 3 b 6 b = = 6 3 2 ⋅ I → I ′ − 8 a + 6 b = 12 I I − I → ′ I I 3 a − 6 b = 3 \displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{r|ccccc}\mathrm{2\cdot I\to I'}&-8a&+&6b&=&12\\\hphantom{II-I\to'}\mathrm{II} &3a&-&6b&=&3\end{array} 2 ⋅ I → I ′ II − I → ′ II − 8 a 3 a + − 6 b 6 b = = 12 3 Nun addiert (oder subtrahiert) man die Gleichungen voneinander, um die gewählte Variable zu eliminieren.
Hier: Man addiert I ′ \mathrm{I}' I ′ I I \mathrm{II} II
I ′ − 8 a + 6 b = 12 I I + I ′ → I I ′ 3 a − 6 b − 8 a + 6 b = 3 + 12 \displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{r|rrll}\mathrm{I'}&-8a&+6b&=12\\\mathrm{II+I'\to II'} &3a\color{blue}{-6b}-8a\color{blue}{+6b}&&=3+12\end{array} I ′ II + I ′ → I I ′ − 8 a 3 a − 6 b − 8 a + 6 b + 6 b = 12 = 3 + 12 I ′ − 8 a + 6 b = 12 I I − I → I I ′ − 5 a = 15 \displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{r|ccccc}\mathrm{I'}&-8a&+&6b&=&12\\\hphantom{II-I\to}\mathrm{II'} &-5a&&&=&15\end{array} I ′ II − I → I I ′ − 8 a − 5 a + 6 b = = 12 15 Jetzt ist a \color{green}{a} a a \color{green}{a} a
I ′ − 8 a + 6 b = 12 I I − I → I I ′ a = − 3 \displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{r|ccccc}\mathrm{I'}&-8a&+&6b&=&12\\\hphantom{II-I\to}\mathrm{II'} &\color{green}{a}&&&\color{green}{=}&\color{green}{-3}\end{array} I ′ II − I → I I ′ − 8 a a + 6 b = = 12 − 3 Es fehlt noch der Wert für b \color{red}{b} b a = − 3 a=-3 a = − 3 I ′ \mathrm{I}' I ′ b \color{red}{b} b
a in I ′ → I ′ ′ − 8 ⋅ ( − 3 ) + 6 b = 12 \displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{r|ccccc}\;a \mathrm{\text{ in }I'\to I''}&-8\cdot \color{green}{(-3)}&+6\color{red}{b}&=12\end{array} a in I ′ → I ′′ − 8 ⋅ ( − 3 ) + 6 b = 12
I I − I ′ → I ′ ′ 24 + 6 b = 12 ∣ − 24 I ′ ′ 6 b = − 12 ∣ : 6 I ′ ′ b = − 2 \displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{r|rcl}\hphantom{II-I'\to}\mathrm{I}''&24+6b&=&12&|-24\\\mathrm{I}''&6b&=&-12&|:6\\\mathrm{I}''&\color{red}{b}&\color{red}{=}&\color{red}{-2}\end{array} II − I ′ → I ′′ I ′′ I ′′ 24 + 6 b 6 b b = = = 12 − 12 − 2 ∣ − 24 ∣ : 6
Insgesamt erhält man a = − 3 , b = − 2 a=-3,\;b=-2 a = − 3 , b = − 2 a a a b b b Tupel . Die Lösungsmenge lautet:
L = { ( − 3 ; − 2 ) } \displaystyle L=\{(-3;-2)\} L = {( − 3 ; − 2 )} ▸ Was ist ein Tupel?
Gleichungssystem mit drei Variablen und drei Gleichungen I 2 a + 3 b − c = 11 I I a − b + 2 c = 3 2 ⋅ I I I I ′ → I I I 3 a − 2 b + 3 c = 8 \displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{r|ccccc}\mathrm{I}&2 a&+&3b&-&c&=&11\\\mathrm{II}&a&-&b&+&2c&=&3\\\hphantom{2\cdot IIII'\to}\mathrm{III}&3a&-&2b&+&3c&=&8\end{array} I II 2 ⋅ III I ′ → III 2 a a 3 a + − − 3 b b 2 b − + + c 2 c 3 c = = = 11 3 8 Wie oben wählt man eine Variable aus und findet das kleinste gemeinsame Vielfache der Koeffizienten . Hier wählt man a a a
k g V ( 1 ; 2 ; 3 ) = 6 \displaystyle \mathrm{kgV(1;2;3)}=6 kgV ( 1 ; 2 ; 3 ) = 6 Nun vervielfacht man die Gleichungen so, dass die Koeffizienten der Variable in allen Gleichungen gleich dem [kgV]() sind.
Hier: Man multipliziert die erste Gleichung mit 3 3 3 6 6 6 2 2 2
3 ⋅ I → I ′ 6 a + 9 b − 3 c = 33 6 ⋅ I I → I I ′ 6 a − 6 b + 12 c = 18 2 ⋅ I I I → I I I ′ 6 a − 4 b + 6 c = 16 \displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{r|ccccc}\mathrm{3\cdot I\to I'}&6a&+&9b&-&3c&=&33\\\mathrm{6\cdot II\to II'}&6a&-&6b&+&12c&=&18\\\quad\mathrm{2\cdot III\to III'}&6a&-&4b&+&6c&=&16\end{array} 3 ⋅ I → I ′ 6 ⋅ II → I I ′ 2 ⋅ III → II I ′ 6 a 6 a 6 a + − − 9 b 6 b 4 b − + + 3 c 12 c 6 c = = = 33 18 16 Nun addiert (oder subtrahiert) man die Gleichungen voneinander, um die gewählte Variable zu eliminieren.
Hier: Man subtrahiert I ′ \mathrm{I}' I ′ I I ′ \mathrm{II}' II ′ I I I ′ \mathrm{III}' III ′
I ′ 6 a + 9 b − 3 c = 33 I I ′ − I ′ → I I ′ ′ 6 a − 6 a − 6 b − 9 b + 12 c − ( − 3 c ) = 18 − 33 I I I ′ − I ′ → I I I ′ ′ 6 a − 6 a − 4 b − 9 b + 6 c − ( − 3 c ) = 16 − 33 \displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{r|ccccc}\mathrm{I'}&6a&+&9b&-&3c&=&33\\\mathrm{II'-I'\to II''}&6a-6a&-&6b-9b&+&12c-(-3c)&=&18-33\\\mathrm{III'-I'\to III''}&6a-6a&-&4b-9b&+&6c-(-3c)&=&16-33\end{array}%%
%%\begin{array}{r|ccccc}\mathrm{I'}&6a&+&9b&-&3c&=&33\\\mathrm{II''}&&-&15b&+&15c&=&-15\\\hphantom{II'-I'\to}\mathrm{III''}&&-&13b&+&9c&=&-17\end{array} I ′ I I ′ − I ′ → I I ′′ II I ′ − I ′ → II I ′′ 6 a 6 a − 6 a 6 a − 6 a + − − 9 b 6 b − 9 b 4 b − 9 b − + + 3 c 12 c − ( − 3 c ) 6 c − ( − 3 c ) = = = 33 18 − 33 16 − 33 I ′ 6 a + 9 b − 3 c = 33 I I ′ − I ′ → I I ′ ′ 6 a − 6 a − 6 b − 9 b + 12 c − ( − 3 c ) = 18 − 33 I I I ′ − I ′ → I I I ′ ′ 6 a − 6 a − 4 b − 9 b + 6 c − ( − 3 c ) = 16 − 33 \displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{r|ccccc}\mathrm{I'}&6a&+&9b&-&3c&=&33\\\mathrm{II'-I'\to II''}&6a-6a&-&6b-9b&+&12c-(-3c)&=&18-33\\\mathrm{III'-I'\to III''}&6a-6a&-&4b-9b&+&6c-(-3c)&=&16-33\end{array}%%
%%\begin{array}{r|ccccc}\mathrm{I'}&6a&+&9b&-&3c&=&33\\\mathrm{II''}&&-&15b&+&15c&=&-15\\\hphantom{II'-I'\to}\mathrm{III''}&&-&13b&+&9c&=&-17\end{array} I ′ I I ′ − I ′ → I I ′′ II I ′ − I ′ → II I ′′ 6 a 6 a − 6 a 6 a − 6 a + − − 9 b 6 b − 9 b 4 b − 9 b − + + 3 c 12 c − ( − 3 c ) 6 c − ( − 3 c ) = = = 33 18 − 33 16 − 33 Nun bilden I I ′ ′ \mathrm{II}'' II ′′ I I I ′ ′ \mathrm{III}'' III ′′ Gleichungssystem mit zwei Unbekannten. Man löst dieses neue Gleichungssystem wie oben beschrieben und erhält:
b = 2 ; c = 1 b=2;\;c=1 b = 2 ; c = 1
Diese beiden Werte setzt man dann in I ′ \mathrm{I}' I ′ a \color{green}{a} a
b und c in I ′ → I ′ ′ 6 a + 9 ⋅ 2 − 3 ⋅ 1 = 33 6 a + 15 = 33 ∣ − 15 6 a = 18 ∣ : 6 a = 3 \displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{r|rcl}b\text{ und }c\text{ in }\mathrm{I'\to I''}&6\color{green}{a}+9\cdot2-3\cdot1&=&33\\&6a+15&=&33&|-15\\&6a&=&18&|:6\\&\color{green}{a}&\color{green}{=}&\color{green}{3}\end{array} b und c in I ′ → I ′′ 6 a + 9 ⋅ 2 − 3 ⋅ 1 6 a + 15 6 a a = = = = 33 33 18 3 ∣ − 15 ∣ : 6 Insgesamt erhält man a = 3 , b = 2 a=3,\;b=2 a = 3 , b = 2 c = 1 c=1 c = 1 a a a b b b Tupel . Die Lösungsmenge lautet:
L = { ( 3 ; 2 ; 1 ) } \displaystyle L=\{(3;2;1)\} L = {( 3 ; 2 ; 1 )} 
