Gleichungssystem mit drei Unbekannten und Additionsverfahren

Häufig kannst du Gleichungssysteme mit drei Unbekannten mit einem ähnlichen Vorgehen lösen - fast wie bei einem Kochrezept. In diesem Artikel lernst du einen Weg kennen, der vielleicht nicht immer der Schnellste ist, aber für jede Aufgabe funktioniert. Andere Verfahren zur Lösung sind das Gaußverfahren und die Cramersche Regel.

Allgemeines Vorgehen

Bevor du an einem Beispiel sehen kannst, wie das Kochrezept funktioniert, lernst du hier erstmal das allgemeine Verfahren kennen. Ein Gleichungssystem mit drei Unbekannten zu lösen, braucht sehr viel Konzentration. Arbeite übersichtlich und hake alle Schritte nacheinander ab:

Reduziere auf ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten a) Verwende das Additionsverfahren bei zwei der Gleichungen, um eine Unbekannte zu eliminieren b) Verwende das Additionsverfahren mit der anderen Gleichung und einer der beiden von oben, um die gleiche Unbekannte zu eliminieren
Löse das entstandene Gleichungssystem mit zwei Unbekannten a) Eliminiere mithilfe des Additionsverfahrens eine der Unbekannten und ermittle die andere $\Rightarrow$ Du kennst die erste Unbekannte b) Setze die jetzt bekannte Variable in eine der beiden Gleichungen ein $\Rightarrow$ Du kennst jetzt die zweite Unbekannte
Ermittle die letzte Unbekannte im ursprünglichen Gleichungssystem $\Rightarrow$ Du kennst alle Unbekannten

Schritt-für-Schritt Beispiel

Sieh dir als Beispielaufgabe dieses Gleichungssystem an:

$\begin{array}{ll} I) & 2 x + 3 y - z = 5 \\ I I) & x + y + z = 6 \\ I I I) & - 3 x - 4 y + 3 z = - 5 \end{array}$

1. Reduzieren auf ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten

Versuche nun mithilfe des Additionsverfahrens in Gleichung $I I$ und $I I I$ alle vorkommenden $x$ wegfallen zu lassen, indem du sie mit der Gleichung $I$ verrechnest. Damit bekommst du zwei neue Gleichungen, die nur die Variablen $y$ und $z$ enthalten. (Du kannst natürlich auch jede andere Variable in jeder anderen Gleichung wegfallen lassen)

1a) Erstes Mal Additionsverfahren

$\begin{array}{lrlr} I) & 2 x + 3 y - z & = 5 \\ I I) & x + y + z & = 6 & | \cdot (- 2) \end{array}$

Multipliziere die Gleichung $I I$ mit $- 2$ , damit bei Addition mit Gleichung $I$ die $x$ wegfallen.

$\begin{array}{llrl} I) & 2 x + 3 y - z & = 5 \\ + & I I) & - 2 x - 2 y - 2 z & = - 12 \end{array}$

Führe das Additionsverfahren aus: Berechne $I + I I$ . Benenne zur Übersichtlichkeit das Ergebnis als Gleichung $A$ .

$\begin{array}{llrl} I) & 2 x + 3 y - z & = 5 \\ + & I I) & - 2 x - 2 y - 2 z & = - 12 \\ A) & y - 3 z & = - 7 \end{array}$

1b) Zweites Mal Additionsverfahren

$\begin{array}{lrlr} I) & 2 x + 3 y - z & = 5 & | \cdot 3 \\ I I I) & - 3 x - 4 y + 3 z & = - 5 & | \cdot 2 \end{array}$

Um erneut alle $x$ zu eliminieren, multipliziere die Gleichung $I$ mit $3$ und die Gleichung $I I$ mit $2$ , um den gleichen Koeffizienten vor den $x$ zu erhalten. Das gegenteilige Vorzeichen ist die Voraussetzung für das Additionsverfahren.

$\begin{array}{clrl} I) & 6 x + 9 y - 3 z & = 15 \\ + & I I I) & - 6 x - 8 y + 6 z & = - 10 \end{array}$

Führe das Additionsverfahren aus: Berechne $I + I I I$ . Benenne zur Übersichtlichkeit das Ergebnis als Gleichung $B$ .

$\begin{array}{clrl} I) & 6 x + 9 y - 3 z & = 15 \\ + & I I I) & - 6 x - 8 y + 6 z & = - 10 \\ B) & y + 3 z & = 5 \end{array}$

Die Gleichungen $ A$ und $B$ bilden ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten:

$\begin{array}{lrl} A) & y - 3 z & = - 7 \\ B) & y + 3 z & = 5 \end{array}$

2. Löse das Gleichungssystem mit zwei Unbekannten

In diesem Artikel verwendest du erneut das Additionsverfahren, um die Variable $z$ wegfallen zu lassen. Natürlich kannst du jedes andere Lösungsverfahren verwenden, beziehungsweise auch $y$ eliminieren.

2a) Finde die erste Unbekannte heraus

Beachte, dass hier im ganzen Artikel das Additionsverfahren verwendet wird. Du kannst das Gleichungssystem auch mit jedem anderen Verfahren lösen!

Da in beiden Gleichungen $3 z$ mit unterschiedlichen Vorzeichen vorkommt, kannst du direkt mit dem Additionsverfahren starten und $A + B$ berechnen, um die Unbekannte y zu eliminieren.

$\begin{array}{lrl} A) & y - 3 z & = - 7 \\ B) & y + 3 z & = 5 \end{array}$

Forme nun die entstandene Gleichung nach $y$ um.

$\begin{array}{lrl} A) & y - 3 z & = - 7 \\ B) & y + 3 z & = 5 \\ 2 y & = - 2 \end{array}$

Dividiere durch $2$ .

$2 y = - 2 | : 2$

$y = - 1$

Du hast die erste Unbekannte herausgefunden!

2b) Finde die zweite Unbekannte heraus

Verwende das Gleichungssystem mit zwei Unbekannten und dein Ergebnis $y = - 1$ , um $z$ zu ermitteln. (Du kannst hierbei sowohl in Gleichung $A$ als auch in Gleichung $B$ einsetzen)

$y = - 1$

Setze in die Gleichung $A$ ein.

Forme nach $z$ um. Addiere zunächst $1$ .

$- 1 - 3 z = - 7$ $| + 1$

Dividiere durch $- 3$ .

$- 3 z = - 6$ $| : (- 3)$

$z = 2$

Du hast nun zwei der drei Unbekannten ermittelt. Kehre zum ursprünglichen Gleichungssystem zurück.

3. Ermittle die letzte Unbekannte

Mit $y = - 1$ und $z = 2$ hast du zwei der drei Unbekannten. Um die letzte Unbekannte zu ermitteln, kannst du $y$ und $z$ in jede der drei Gleichungen $I, I I$ und $I I I$ einsetzen. Hier wird in Gleichung $I I$ eingesetzt.

y = - 1, z = 2

x + y + z = 6

Setze die beiden Unbekannten ein.

x - 1 + 2 = 6

Verrechne auf der linken Seite.

x + 1 = 6

Subtrahiere $1$ .

$x = 5$

Du hast alle drei Unbekannten ermittelt! Die Lösungsmenge lautet $𝕃 = {5; - 1; 2}$ .

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