Cramersche Regel

Die Cramersche Regel ist eine Methode, um mittels Determinanten ein lineares Gleichungssystem zu lösen. Allerdings ist die Cramersche Regel nicht für die praktische Berechnung der Lösung eines Gleichungssystems geeignet, da dies mit deutlich mehr Rechenaufwand verbunden ist, als z. B. mit dem Gauß Algorithmus.

Trotzdem ist die Cramersche Regel in gewisser Weise sinnvoll, da die Lösung eines Gleichungssystems stetig von den Koeffizienten des Gleichungssystems abhängt. Auf diese Weise kann man Abschätzungen für die einzelnen Lösungskomponenten gewinnen.

Vorgehen

Lineares Gleichungssystem

$\begin{array}{l} a x_{1} + b x_{2} + c x_{3} = b_{1} \\ d x_{1} + e x_{2} + f x_{3} = b_{2} \\ g x_{1} + h x_{2} + i x_{3} = b_{3} \end{array}$

Man wandelt das lineare Gleichungssystem in eine erweiterte Koeffizienten-Matrix um.

\Rightarrow (A | b) = (\begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array} | \begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{array})

Berechnung von $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ :

\begin{array}{l} A = (\begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array}) \Rightarrow det A = det (\begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array}) \end{array}

Man berechnet die Determinante.

$det (A_{x_{1}}) = det (\begin{array}{ccc} b_{1} & b & c \\ b_{2} & e & f \\ b_{3} & h & i \end{array})$

Man ersetzt die Spalte der $x_{1}$ -Werte durch die Ergebnis-Spalte und berechnet davon die Determinante.

$det (A_{x_{2}}) = det (\begin{array}{ccc} a & b_{1} & c \\ d & b_{2} & f \\ g & b_{3} & i \end{array})$

Man ersetzt die Spalte der $x_{2}$ -Werte durch die Ergebnis-Spalte und berechnet davon die Determinante.

$det (A_{x_{3}}) = det (\begin{array}{ccc} a & b & b_{1} \\ d & e & b_{2} \\ g & h & b_{3} \end{array})$

Man ersetzt die Spalte der $x_{3}$ -Werte durch die Ergebnis-Spalte und berechnet davon die Determinante.

Wenn $\det (A) \neq 0$ ist, erhält man die Lösungen $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ des gegebenen linearen Gleichungssystems dann wie folgt:

x_{1} = \frac{det (A_{x_{1}})}{\det (A)}

x_{2} = \frac{det (A_{x_{2}})}{\det (A)}

x_{3} = \frac{det (A_{x_{3}})}{\det (A)}

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