Die Cramersche Regel ist eine Methode, um mittels Determinanten ein lineares Gleichungssystem zu lösen. Allerdings ist die Cramersche Regel nicht für die praktische Berechnung der Lösung eines Gleichungssystems geeignet, da dies mit deutlich mehr Rechenaufwand verbunden ist, als z. B. mit dem Gauß Algorithmus.
Trotzdem ist die Cramersche Regel in gewisser Weise sinnvoll, da die Lösung eines Gleichungssystems stetig von den Koeffizienten des Gleichungssystems abhängt. Auf diese Weise kann man Abschätzungen für die einzelnen Lösungskomponenten gewinnen.
Vorgehen Lineares Gleichungssystem a x 1 + b x 2 + c x 3 = b 1 d x 1 + e x 2 + f x 3 = b 2 g x 1 + h x 2 + i x 3 = b 3 ax _1+bx _2+cx _3= b_1\\
dx _1+ex _2+fx _3= b _2\\
gx _1+hx _2+ix _3= b _3
a x 1 + b x 2 + c x 3 = b 1 d x 1 + e x 2 + f x 3 = b 2 g x 1 + h x 2 + i x 3 = b 3
⇒ ( A ∣ b ) = ( a b c d e f g h i ∣ b 1 b 2 b 3 ) \displaystyle \def\arraystretch{1.25} \;\;\Rightarrow\;\;( A\left| b)\right.=\left(\begin{array}{ccc} a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array} \left| \begin{array}{c} b_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right.\right) ⇒ ( A ∣ b ) = a d g b e h c f i b 1 b 2 b 3 Berechnung von x 1 , x 2 , x 3 x_1,\;x_2,\;x_3 x 1 , x 2 , x 3 A = ( a b c d e f g h i ) ⇒ det A = det ( a b c d e f g h i ) \displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}A=\begin{pmatrix}a& b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{pmatrix}\Rightarrow\text{det}\;A=\text{det }\begin{pmatrix}a& b& c\\ d & e & f\\g & h & i \end{pmatrix}\end{array} A = a d g b e h c f i ⇒ det A = det a d g b e h c f i Man berechnet die Determinante .
det ( A x 1 ) = det ( b 1 b c b 2 e f b 3 h i ) \text{det}(A_{x_1}) =\text{det }\begin{pmatrix}b_1 & b & c\\ b _2 & e& f\\ b _3& h & i\end{pmatrix} det ( A x 1 ) = det b 1 b 2 b 3 b e h c f i
Man ersetzt die Spalte der x 1 x _1 x 1 Determinante .
det ( A x 2 ) = det ( a b 1 c d b 2 f g b 3 i ) \text{det}(A_{x_2}) =\text{det }\begin{pmatrix} a & b_1 & c\\ d & b _2 & f\\ g & b _3 & i\end{pmatrix} det ( A x 2 ) = det a d g b 1 b 2 b 3 c f i
Man ersetzt die Spalte der x 2 x _2 x 2
det ( A x 3 ) = det ( a b b 1 d e b 2 g h b 3 ) \text{det}(A_{x_3}) =\text{det }\begin{pmatrix} a & b & b_1 \\ d & e &b _2 \\ g & h &b _3\end{pmatrix} det ( A x 3 ) = det a d g b e h b 1 b 2 b 3
Man ersetzt die Spalte der x 3 x _3 x 3
Wenn det ( A ) ≠ 0 \det\left(A\right)\ \neq 0 det ( A ) = 0 x 1 , x 2 , x 3 x_1,\;x_2,\;x_3 x 1 , x 2 , x 3
x 1 = det ( A x 1 ) det ( A ) \displaystyle x_1=\frac{\text{det}(A_{x_1})}{\det(A)} x 1 = det ( A ) det ( A x 1 ) x 2 = det ( A x 2 ) det ( A ) \displaystyle x _2=\frac{\text{det}(A _{{x}_2})}{\det(A)} x 2 = det ( A ) det ( A x 2 ) x 3 = det ( A x 3 ) det ( A ) \displaystyle x _3=\frac{\text{det}(A _{{x}_3})}{\det(A)} x 3 = det ( A ) det ( A x 3 ) Du hast noch nicht genug vom Thema? Hier findest du noch weitere passende Inhalte zum Thema:
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