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Determinante

Die Determinante ordnet einer quadratischen Matrix eine reelle Zahl zu.

Um die Determinante einer Matrix zu schreiben, schreibt man entweder det vor der Matrix, oder man ersetzt die Klammern der Matrix durch gerade Striche.

Beispiel

det(1859)  und  1859\sf \det\begin{pmatrix} \sf 1 & \sf 8 \\ \sf 5 & \sf 9\end{pmatrix}\;{und }\;\begin{vmatrix} \sf 1 & \sf 8 \\ \sf 5 & \sf 9\end{vmatrix} bezeichnen beide die Determinante der Matrix (1859)\sf \begin{pmatrix} \sf 1 & \sf 8 \\ \sf 5 & \sf 9\end{pmatrix}.

Determinante berechnen    

Es gibt verschiedene Arten eine Determinante zu berechnen, wie zum Beispiel die Regel von Sarrus oder den Laplaceschen Entwicklungssatz. Diese findest du in dem Artikel Determinante berechnen.                                     

Eigenschaften

Die Determinante einer n×n\sf n\times n-Matrix hat die folgenden Eigenschaften:

Man kann also einen Faktor λ\sf \lambda aus der Determinante "ausklammern", indem man es "hoch n" nimmt.

Hat eine Zeile oder eine Spalte von A\sf A nur Nullen   det(A)=0\sf \Rightarrow \det(A) = 0

Sind die Zeilen oder die Spalten von A linear abhängig (wenn man sie als Vektoren sieht) det(A)=0\sf \Rightarrow \det(A) = 0

Ist A eine Diagonalmatrix mit der Form (λ100λn)        det  (A)=λ1λn\sf \begin{pmatrix} \sf {\lambda}_1 & \sf \cdots & \sf 0 \\ \sf \vdots & \sf \ddots & \sf \vdots \\ \sf 0 & \sf \cdots & \sf {\lambda}_ n\end{pmatrix}\;\;\Rightarrow\;\;\det\;( A)={\lambda}_1\cdot\cdots\cdot{\lambda}_ n

Ist A eine obere/untere Dreiecksmatrix (nur die Zahlen im oberen/unteren Dreieck 0\sf \neq 0)

Wozu braucht man Determinanten? 

Determinante sind für die Mathematik sehr nützlich. Man kann mit ihnen

aber vor allem helfen sie die Lösbarkeit eines lineares Gleichungssystems zu untersuchen.

Gilt für eine n×n\sf n\times n- Matrix A:detA0\sf A: \det A \neq 0, so hat jedes lineare Gleichungssystem, welches A\sf A als Koeffizientenmatrix hat, eine eindeutige Lösung.


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