Determinante

Die Determinante ist eine Eigenschaft von quadratischen Matrizen und ist gegeben durch eine reelle Zahl.

Geläufige Schreibweise für die Determinante einer Matrix A=(1859)A=\begin{pmatrix}1&8\\5&9\end{pmatrix} sind:

det(A)=det(1859)=1859\det\left(A\right)=\det\begin{pmatrix}1&8\\5&9\end{pmatrix}=\begin{vmatrix}1&8\\5&9\end{vmatrix}

Determinante berechnen    

Es gibt verschiedene Arten eine Determinante zu berechnen, für quadratische Matrizen der Größe n=3n=3 zum Beispiel die Regel von Sarrus oder allgemein den Laplaceschen Entwicklungssatz. Diese findest du in dem Artikel Determinante berechnen.                                     

Eigenschaften

  • Die Determinante einer n×nn\times n-Matrix hat die folgenden Eigenschaften:

Man kann also einen Faktor λ\lambda aus der Determinante „ausklammern“, indem man es „hoch nn“ nimmt.

  • Hat eine Zeile oder eine Spalte von AA nur Nullen   det(A)=0\Rightarrow \det(A) = 0

  • Sind die Zeilen oder die Spalten von A linear abhängig (wenn man sie als Vektoren sieht) det(A)=0\Rightarrow \det(A) = 0

  • Ist AA eine Diagonalmatrix mit der Form (λ100λn)        det  (A)=λ1λn\begin{pmatrix}{\mathrm\lambda}_1&\cdots&0\\\vdots&\ddots&\vdots\\0&\cdots&{\mathrm\lambda}_\mathrm n\end{pmatrix}\;\;\Rightarrow\;\;\det\;(\mathrm A)={\mathrm\lambda}_1\cdot\cdots\cdot{\mathrm\lambda}_\mathrm n

  • Ist AA eine obere/untere Dreiecksmatrix (nur die Zahlen im oberen/unteren Dreieck 0\neq 0)

(λ10aiiλn)        det  (A)=λ1λn\begin{pmatrix}{\mathrm\lambda}_1&\cdots&0\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{ii}&\cdots&{\mathrm\lambda}_\mathrm n\end{pmatrix}\;\;\Rightarrow\;\;\det\;(\mathrm A)={\mathrm\lambda}_1\cdot\cdots\cdot{\mathrm\lambda}_\mathrm n

Wozu braucht man Determinanten? 

Determinante sind für die Mathematik sehr nützlich. Man kann mit ihnen

aber vor allem helfen sie die Lösbarkeit eines lineares Gleichungssystems zu untersuchen.

Gilt für eine n×nn\times n- Matrix A:detA0A: \det A \neq 0, so hat jedes lineare Gleichungssystem, welches AA als Koeffizientenmatrix hat, eine eindeutige Lösung.

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