Flächenberechnung in der analytischen Geometrie

Mit Determinanten lassen sich Flächeninhalte von Dreiecken und Parallelogrammen gut ausrechnen.

Mit $| \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} | = \det (\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array})$ wird hier die Determinante bezeichnet.

Inhalt eines Dreiecks ABC

Im Zweidimensionalen

Fläche $A = \frac{1}{2} | \det (\begin{array}{cc} \vec{A B} & \vec{A C} \end{array}) |$

Herleitung:

Die Fläche des aufgespannten Dreiecks lässt sich als halbe Fläche eines Parallelogramms (unten) berechnen.

Seien dazu die Punkte $A, B$ und $C$ in der Ebene gegeben.

Seien $\vec{A B} = (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array})$ und $\vec{A C} = (\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \end{array})$ , dann

ist:

$A_{A B C} = \frac{1}{2} | \det (\begin{array}{cc} \vec{A B} & \vec{A C} \end{array}) | =$

$= \frac{1}{2} | \det (\begin{array}{cc} x_{1} & x_{2} \\ y_{1} & y_{2} \end{array}) | = \frac{1}{2} | x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} |$

Die Reihenfolge der Vektoren ist egal, solange der Ausdruck in Betragsstrichen steht.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7175_sJk8fsSkQY.xml

Im Dreidimensionalen

Fläche $A = \frac{1}{2} | \vec{A B} \times \vec{A C} |$

Die Fläche des aufgespannten Dreiecks lässt sich als halbe Fläche eines Parallelogramms (unten) berechnen.

$\vec{A B} = (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}), \vec{A C} = (\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array})$

$A_{A B C} = \frac{1}{2} | \vec{A B} \times \vec{A C} | = \frac{1}{2} | (\begin{array}{c} x_{2} y_{3} - x_{3} y_{2} \\ x_{3} y_{1} - x_{1} y_{3} \\ x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} \end{array}) | = \frac{1}{2} \sqrt{{(x_{2} y_{3} - x_{3} y_{2})}^{2} + {(x_{3} y_{1} - x_{1} y_{3})}^{2} + {(x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1})}^{2}}$

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7291_Fauk6FBOR3.xml

Inhalt eines Parallelogramms

Im Zweidimensionalen

Inhalt eines Parallelogramms, welches von den Punkten $A, B, C$ und deren Verbindungsvektoren $\vec{A B}, \vec{A C}$ .

Fläche $A = | \det (\begin{array}{cc} \vec{A B} & \vec{A C} \end{array}) |$

Herleitung:

Die Fläche des aufgespannten Parallelogramms lässt sich mit dem Betrag der Determinante der aufspannenden Vektoren berechnen.

Seien dazu die Punkte $A$ , $B$ und $C$ in der Ebene gegeben.

Seien $\vec{A B} = (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array})$ und $\vec{A C} = (\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \end{array})$ , dann ist $A_{A B C} = | \det (\begin{array}{cc} \vec{A B} & \vec{A C} \end{array}) | = | \det (\begin{array}{cc} x_{1} & x_{2} \\ y_{1} & y_{2} \end{array}) | = | x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} |$

Die Reihenfolge der Vektoren ist egal, solange der Ausdruck in Betragsstrichen steht.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5553_Lw8wToEYIX.xml

Im Dreidimensionalen

Inhalt eines Parallelogramms, welches von den Punkten $A, B, C$ und ihren Verbindungsvektoren $\vec{A B}$ und $\vec{A C}$ im 3-Dimensionalen aufgespannt wird.

Fläche $A = | \vec{A B} \times \vec{A C} |$

Herleitung:

Die Fläche des aufgespannten Parallelogramms lässt sich mit dem Betrag des Vektorprodukts der aufspannenden Vektoren berechnen.

$\vec{A B} = (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}), \vec{A C} = (\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array})$

$A_{A B C} = | \vec{A B} \times \vec{A C} | = | (\begin{array}{c} x_{2} y_{3} - x_{3} y_{2} \\ x_{3} y_{1} - x_{1} y_{3} \\ x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} \end{array}) | = \sqrt{{(x_{2} y_{3} - x_{3} y_{2})}^{2} + {(x_{3} y_{1} - x_{1} y_{3})}^{2} + {(x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1})}^{2}}$

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7293_oBCs9F4kRc.xml

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