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Flächenberechnung in der analytischen Geometrie

Mit Determinanten lassen sich Flächeninhalte von Dreiecken und Parallelogrammen gut ausrechnen.

Mit ∣a11a12a21a22∣=det⁡(a11a12a21a22)\begin{vmatrix}{a}_{11}&{a}_{12}\\{a}_{21}&{a}_{22}\end{vmatrix}=\det\begin{pmatrix}{a}_{11}&{a}_{12}\\{a}_{21}&{a}_{22}\end{pmatrix} wird hier die Determinante bezeichnet.

Inhalt eines Dreiecks ABC

Im Zweidimensionalen

Fläche A=12∣det(AB→AC→)∣A = \frac{1}{2}\left|\mathrm{det}\begin{pmatrix}\overrightarrow{{{AB}}}&\overrightarrow{{AC}}\end{pmatrix}\right|

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7175_sJk8fsSkQY.xml

Herleitung:

Die Fläche des aufgespannten Dreiecks lässt sich als halbe Fläche eines Parallelogramms (unten) berechnen.

Seien dazu die Punkte A,BA, B und CC in der Ebene gegeben.

Seien AB→=(x1x2)\overrightarrow{{AB}}=\begin{pmatrix}{x}_1\\{x}_2\end{pmatrix} und AC→=(y1y2)\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}{y}_1\\{y}_2\end{pmatrix}, dann

ist:

 AABC=12∣det⁡(AB→AC→)∣=\ {A}_{ABC}=\frac12\left|\det\begin{pmatrix}\overrightarrow{AB}&\overrightarrow{AC}\end{pmatrix}\right|=

=12∣det⁡(x1x2y1y2)∣=12∣x1y2−x2y1∣=\frac12\left|\det\begin{pmatrix}{x}_1&{x}_2\\{y}_1&{y}_2\end{pmatrix}\right|=\frac12\left|x_1y_2-x_2y_1\right|

Die Reihenfolge der Vektoren ist egal, solange der Ausdruck in Betragsstrichen steht.

Im Dreidimensionalen

                               Fläche A=12∣AB→×AC→∣A=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7291_Fauk6FBOR3.xml

Die Fläche des aufgespannten Dreiecks lässt sich als halbe Fläche eines Parallelogramms (unten) berechnen.

AB→=(x1x2x3),AC→=(y1y2y3)\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}{x}_1\\{x}_2\\{x}_3\end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}{y}_1\\{y}_2\\{y}_3\end{pmatrix}

AABC=12∣AB→×AC→∣=12∣(x2y3−x3y2x3y1−x1y3x1y2−x2y1)∣=12(x2y3−x3y2)2+(x3y1−x1y3)2+(x1y2−x2y1)2{A}_{ABC}=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|=\frac12\left|\begin{pmatrix}x_2y_3-x_3y_2\\x_3y_1-x_1y_3\\x_1y_2-x_2y_1\end{pmatrix}\right|=\frac12\sqrt{\left(x_2y_3-x_3y_2\right)^2+\left(x_3y_1-x_1y_3\right)^2+\left(x_1y_2-x_2y_1\right)^2}

Inhalt eines Parallelogramms

Im Zweidimensionalen

Inhalt eines Parallelogramms, welches von den Punkten A,B,CA,B,C und deren Verbindungsvektoren AB→,AC→\overrightarrow{{AB}}, \overrightarrow{{AC}}.

Fläche A=∣det⁡(AB→AC→)∣A =\left|\det\begin{pmatrix}\overrightarrow{{AB}}&\overrightarrow{AC}\end{pmatrix}\right|

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5553_Lw8wToEYIX.xml

Herleitung:

Die Fläche des aufgespannten Parallelogramms lässt sich mit dem Betrag der Determinante der aufspannenden Vektoren berechnen.

Seien dazu die Punkte AA, BB und CC in der Ebene gegeben.

Seien AB→=(x1x2)\overrightarrow{{AB}}=\begin{pmatrix}{x}_1\\{x}_2\end{pmatrix} und AC→=(y1y2)\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}{y}_1\\{y}_2\end{pmatrix}, dann ist AABC=∣det⁡(AB→AC→)∣=∣det⁡(x1x2y1y2)∣=∣x1y2−x2y1∣{A}_{ABC}=\left|\det \begin{pmatrix}\overrightarrow{AB}&\overrightarrow{AC}\end{pmatrix}\right|=\left|\det\begin{pmatrix}{x}_1&{x}_2\\{y}_1&{y}_2\end{pmatrix}\right|=\left|x_1y_2-x_2y_1\right|

Die Reihenfolge der Vektoren ist egal, solange der Ausdruck in Betragsstrichen steht.

Im Dreidimensionalen

Inhalt eines Parallelogramms, welches von den Punkten A,B,CA, B, C und ihren Verbindungsvektoren AB→\overrightarrow{AB} und AC→\overrightarrow{AC} im 3-Dimensionalen aufgespannt wird.

Fläche A=∣AB→×AC→∣A=\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7293_oBCs9F4kRc.xml

Herleitung:

Die Fläche des aufgespannten Parallelogramms lässt sich mit dem Betrag des Vektorprodukts der aufspannenden Vektoren berechnen.

AB→=(x1x2x3),AC→=(y1y2y3)\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}{x}_1\\{x}_2\\{x}_3\end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}{y}_1\\{y}_2\\{y}_3\end{pmatrix}

AABC=∣AB→×AC→∣=∣(x2y3−x3y2x3y1−x1y3x1y2−x2y1)∣=(x2y3−x3y2)2+(x3y1−x1y3)2+(x1y2−x2y1)2{A}_{ABC}=\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|=\left|\begin{pmatrix}x_2y_3-x_3y_2\\x_3y_1-x_1y_3\\x_1y_2-x_2y_1\end{pmatrix}\right|=\sqrt{\left(x_2y_3-x_3y_2\right)^2+\left(x_3y_1-x_1y_3\right)^2+\left(x_1y_2-x_2y_1\right)^2}


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