Aufgaben zur Berechnung von Determinanten

Allgemein bestimmt man die Determinante mit der Formel

$\,\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix} = a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21}$

Einsetzen der Vektoren $\vec v = \begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}\,$ und $\,\vec w = \begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\,$ ergibt:

Allgemein bestimmt man die Determinante mit der Formel

$\,\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix} = a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21}$

Einsetzen der Vektoren $\vec v = \begin{pmatrix}-2\\7\end{pmatrix}\,$ und $\,\vec w = \begin{pmatrix}-8\\3\end{pmatrix}$ ergibt, wenn man die Reihenfolge (erster Vektor gegen dem Uhrzeigersinn) beachtet:

$\,\begin{vmatrix}-2&-8\\7&3\end{vmatrix} = (-2)\cdot 3 - (-8)\cdot 7 = 50$

Allgemein bestimmt man die Determinante mit der Formel

$\,\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix} = a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21}$

Einsetzen der Vektoren $\vec v = \begin{pmatrix}0\\9\end{pmatrix}\,$ und $\,\vec w = \begin{pmatrix}-2\\8\end{pmatrix}$ ergibt, wenn man die Reihenfolge (erster Vektor gegen dem Uhrzeigersinn) beachtet:

$\,\begin{vmatrix}0&-2\\9&8\end{vmatrix} = 0\cdot8 - (-2)\cdot 9 = 18$

$\mathrm{det}A=\begin{vmatrix}1&4&3&2\\2&1&4&3\\3&2&1&4\\4&3&2&1\end{vmatrix}$

Wähle die erste Spalte aus und berechne über diese mit dem Laplace'schen Entwicklungssatz die neuen 3x3 Matrizen.

$=1\begin{vmatrix}1&4&3\\2&1&4\\3&2&1\end{vmatrix}-2\begin{vmatrix}4&3&2\\2&1&4\\3&2&1\end{vmatrix}+3\begin{vmatrix}4&3&2\\1&4&3\\3&2&1\end{vmatrix}-4\begin{vmatrix}4&3&2\\1&4&3\\2&1&4\end{vmatrix}$

Wähle bei jeder dieser neuen 3x3 Matrizen die erste Spalte aus und Entwickle wieder neue 2x2 Matrizen aus jeder Matrix.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}=1(1\begin{vmatrix}1&4\\2&1\end{vmatrix}-2\begin{vmatrix}4&3\\2&1\end{vmatrix}+3\begin{vmatrix}4&3\\1&4\end{vmatrix})-2(4\begin{vmatrix}1&4\\2&1\end{vmatrix}-2\begin{vmatrix}3&2\\2&1\end{vmatrix}+3\begin{vmatrix}3&2\\1&4\end{vmatrix}) \\ \\+3(4\begin{vmatrix}4&3\\2&1\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}3&2\\2&1\end{vmatrix}+3\begin{vmatrix}3&2\\4&3\end{vmatrix})-4(4\begin{vmatrix}4&3\\1&4\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}3&2\\1&4\end{vmatrix}+2\begin{vmatrix}3&2\\4&3\end{vmatrix})\end{array}$

Berechne nun die 2x2 Matrizen und berechne bis zum Endergebniss.

$B=\begin{pmatrix}0&1&2&3\\4&5&0&6\\7&0&8&9\\2&4&6&0\end{pmatrix}$

Wähle die erste Spalte aus und berechne über diese mit dem Laplace'schen Entwicklungssatz die neuen 3x3 Matrizen. Die neuen Matrizen die mit dem Faktor 0 multipliziert werden, kann man dabei schon weglassen.

$\text{det}B=\begin{vmatrix}0&1&2&3\\4&5&0&6\\7&0&8&9\\2&4&6&0\end{vmatrix}=-4\begin{vmatrix}1&2&3\\0&8&9\\4&6&0\end{vmatrix}+7\begin{vmatrix}1&2&3\\5&0&6\\4&6&0\end{vmatrix}-2\begin{vmatrix}1&2&3\\5&0&6\\0&8&9\end{vmatrix}$

Wähle bei jeder dieser neuen 3x3 Mtrizen die erste Spalte aus und entwickle wieder neue 2x2 Matrizen aus jeder Matrix. Auch hier lassen sich die Matrizen mit Vorfaktor 0 wegstreichen.

$=-4(1\begin{vmatrix}8&9\\6&0\end{vmatrix}+4\begin{vmatrix}2&3\\8&9\end{vmatrix})+7(1\begin{vmatrix}0&6\\6&0\end{vmatrix}-5\begin{vmatrix}2&3\\6&0\end{vmatrix}+4\begin{vmatrix}2&3\\0&6\end{vmatrix})-2(1\begin{vmatrix}0&6\\8&9\end{vmatrix}-5\begin{vmatrix}2&3\\8&9\end{vmatrix})$

Berechne nun die 2x2 Matrizen und berechne bis zum Endergebniss.

$\def\arraystretch{1.25} A=\begin{pmatrix}6&-4&-10&4\\-5&2&8&-5\\0&0&0&0\\2&-1&-4&7\end{pmatrix}\begin{array}{c}\\\\\leftarrow\\\;\;\;\;\;\;\;\;\end{array}$

Da die Determinante eine Reihe aus Nullen enthält, ist der Wert Null.

$\;\;\Rightarrow\;\;detA=0$

$\mathrm B=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$

Löse die Determinante nach der 2x2 Formel

$\mathrm{det}B=1\cdot4-2\cdot3=-2$

$\mathrm C=\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&2&0&0&0&0\\0&0&3&0&0&0\\0&0&0&4&0&0\\0&0&0&0&5&0\\0&0&0&0&0&6\end{pmatrix}$

Da $C$ eine Diagonalmatrix ist, lässt sich diese Matrix ganz leicht durch Multiplikation der Diagonalwerte berechnen.

$\mathrm{detC}=\begin{vmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&2&0&0&0&0\\0&0&3&0&0&0\\0&0&0&4&0&0\\0&0&0&0&5&0\\0&0&0&0&0&6\end{vmatrix}=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6=\;6!=720$