Aufgaben zur Berechnung von Determinanten

Hier lernst du, die Determinante von Vektoren und Matrizen mit verschiedenen Verfahren zu berechnen.

1
Bestimme die Determinante folgender Vektoren
1. $\vec{v} = (\begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array})$ und $\vec{w} = (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Determinante
  Allgemein bestimmt man die Determinante mit der Formel
  $| \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} | = a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21}$
  Einsetzen der Vektoren $\vec{v} = (\begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array})$ und $\vec{w} = (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \end{array})$ ergibt:
  $| \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 4 & 5 \end{array} | = 3 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = 7$
  Dabei wird die Reihenfolge (erster Vektor entgegen dem Uhrzeigersinn) beachtet.
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2. $\vec{v} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 7 \end{array})$ und $\vec{w} = (\begin{array}{c} - 8 \\ 3 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Determinante
  Allgemein bestimmt man die Determinante mit der Formel
  $| \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} | = a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21}$
  Einsetzen der Vektoren $\vec{v} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 7 \end{array})$ und $\vec{w} = (\begin{array}{c} - 8 \\ 3 \end{array})$ ergibt, wenn man die Reihenfolge (erster Vektor gegen dem Uhrzeigersinn) beachtet:
  $| \begin{array}{cc} - 2 & - 8 \\ 7 & 3 \end{array} | = (- 2) \cdot 3 - (- 8) \cdot 7 = 50$
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3. $\vec{v} = (\begin{array}{c} 0 \\ 9 \end{array})$ und $\vec{w} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 8 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Determinante
  Allgemein bestimmt man die Determinante mit der Formel
  $| \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} | = a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21}$
  Einsetzen der Vektoren $\vec{v} = (\begin{array}{c} 0 \\ 9 \end{array})$ und $\vec{w} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 8 \end{array})$ ergibt, wenn man die Reihenfolge (erster Vektor gegen dem Uhrzeigersinn) beachtet:
  $| \begin{array}{cc} 0 & - 2 \\ 9 & 8 \end{array} | = 0 \cdot 8 - (- 2) \cdot 9 = 18$
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2
Berechne die folgenden Determinante mit der Regel von Sarrus.
1. $A = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Determinante
  $A = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array})$
  Schreibe neben die Determinante die ersten beiden Vektoren noch einmal daneben, damit die Regel von Sarrus verwendet werden kann.
  $\Rightarrow \det A = | \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} | \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{array}$
  Bilde Diagonalen von links nach rechts und bilde damit eine Summe und subtrahiere die Diagonalen von rechts nach links davon.
  $\begin{array}{rcl} \det A & = & | \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} | \\ = & 0 \cdot 2 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 \cdot 1 - 2 \cdot 2 \cdot 1 - 0 \cdot 1 \cdot 1 - 1 \cdot 3 \cdot 0 \\ = & 3 \end{array}$
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2. $B = (\begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Determinante
  $B = (\begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array})$
  Schreibe neben die Determinante die ersten beiden Vektoren noch einmal daneben, damit die Regel von Sarrus verwendet werden kann.
  $\det B = | \begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array} | \begin{array}{cc} a & b \\ d & e \\ g & h \end{array}$
  Bilde Diagonalen von links nach rechts und bilde damit eine Summe und Subtrahiere davon die Diagonalen von rechts nach links.
  $\det B = | \begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array} | = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi$
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3
Berechne die Determinante mit dem Laplace´schen Entwicklungssatz.
1. $A = (\begin{array}{cccc} 1 & 4 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 4 & 3 \\ 3 & 2 & 1 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Determinanten berechnen
  $\det A = | \begin{array}{cccc} 1 & 4 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 4 & 3 \\ 3 & 2 & 1 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{array} |$
  Wähle die erste Spalte aus und berechne über diese mit dem Laplace'schen Entwicklungssatz die neuen 3x3 Matrizen.
  $= 1 | \begin{array}{ccc} 1 & 4 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 3 & 2 & 1 \end{array} | - 2 | \begin{array}{ccc} 4 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 4 \\ 3 & 2 & 1 \end{array} | + 3 | \begin{array}{ccc} 4 & 3 & 2 \\ 1 & 4 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{array} | - 4 | \begin{array}{ccc} 4 & 3 & 2 \\ 1 & 4 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \end{array} |$
  Wähle bei jeder dieser neuen 3x3 Matrizen die erste Spalte aus und Entwickle wieder neue 2x2 Matrizen aus jeder Matrix.
  $\begin{array}{l} = 1 (1 | \begin{array}{cc} 1 & 4 \\ 2 & 1 \end{array} | - 2 | \begin{array}{cc} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{array} | + 3 | \begin{array}{cc} 4 & 3 \\ 1 & 4 \end{array} |) - 2 (4 | \begin{array}{cc} 1 & 4 \\ 2 & 1 \end{array} | - 2 | \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} | + 3 | \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{array} |) \\ + 3 (4 | \begin{array}{cc} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} | + 3 | \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |) - 4 (4 | \begin{array}{cc} 4 & 3 \\ 1 & 4 \end{array} | - 1 | \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{array} | + 2 | \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |) \end{array}$
  Berechne nun die 2x2 Matrizen und berechne bis zum Endergebniss.
  $\begin{array}{l} = (1 - 8) - 2 (4 - 6) + 3 (16 - 3) - 8 (1 - 8) + 4 (3 - 4) - 6 (12 - 2) \\ + 12 (4 - 6) - 3 (3 - 4) + 9 (9 - 8) - 16 (16 - 3) + 4 (12 - 2) - 8 (9 - 8) \\ = - 7 + 4 + 39 + 56 - 4 - 60 - 24 + 3 + 9 - 208 + 40 - 8 \\ = - 160 \end{array}$
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2. $B = (\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 0 & 6 \\ 7 & 0 & 8 & 9 \\ 2 & 4 & 6 & 0 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Determinanten berechnen
  $B = (\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 0 & 6 \\ 7 & 0 & 8 & 9 \\ 2 & 4 & 6 & 0 \end{array})$
  Wähle die erste Spalte aus und berechne über diese mit dem Laplace'schen Entwicklungssatz die neuen 3x3 Matrizen. Die neuen Matrizen die mit dem Faktor 0 multipliziert werden, kann man dabei schon weglassen.
  $det B = | \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 0 & 6 \\ 7 & 0 & 8 & 9 \\ 2 & 4 & 6 & 0 \end{array} | = - 4 | \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 8 & 9 \\ 4 & 6 & 0 \end{array} | + 7 | \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 5 & 0 & 6 \\ 4 & 6 & 0 \end{array} | - 2 | \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 5 & 0 & 6 \\ 0 & 8 & 9 \end{array} |$
  Wähle bei jeder dieser neuen 3x3 Mtrizen die erste Spalte aus und entwickle wieder neue 2x2 Matrizen aus jeder Matrix. Auch hier lassen sich die Matrizen mit Vorfaktor 0 wegstreichen.
  $= - 4 (1 | \begin{array}{cc} 8 & 9 \\ 6 & 0 \end{array} | + 4 | \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{array} |) + 7 (1 | \begin{array}{cc} 0 & 6 \\ 6 & 0 \end{array} | - 5 | \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 6 & 0 \end{array} | + 4 | \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 0 & 6 \end{array} |) - 2 (1 | \begin{array}{cc} 0 & 6 \\ 8 & 9 \end{array} | - 5 | \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{array} |)$
  Berechne nun die 2x2 Matrizen und berechne bis zum Endergebniss.
  $\begin{array}{l} = - 4 (- 54) - 16 (18 - 24) + 7 (- 36) - 35 (- 18) + 28 (12) - 2 (- 48) + 10 (18 - 24) \\ = 216 + 96 - 252 + 630 + 336 + 96 - 60 = 1062 \end{array}$
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4
Berechne die Determinante mit einem geeigneten Verfahren.
1. $A = (\begin{array}{cccc} 6 & - 4 & - 10 & 4 \\ - 5 & 2 & 8 & - 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & - 1 & - 4 & 7 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Determinante berechnen
  $A = (\begin{array}{cccc} 6 & - 4 & - 10 & 4 \\ - 5 & 2 & 8 & - 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & - 1 & - 4 & 7 \end{array}) \begin{array}{c} \leftarrow \end{array}$
  Da die Determinante eine Reihe aus Nullen enthält, ist der Wert Null.
  $\Rightarrow d e t A = 0$
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2. $B = (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Determinante berechnen
  $B = (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array})$
  Löse die Determinante nach der 2x2 Formel
  $\det B = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = - 2$
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3. $C = (\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \end{array})$
  
  $C = (\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \end{array})$
  Da $C$ eine Diagonalmatrix ist, lässt sich diese Matrix ganz leicht durch Multiplikation der Diagonalwerte berechnen.
  $detC = | \begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \end{array} | = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 6! = 720$
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