Aufgaben zur Berechnung von Determinanten
Hier lernst du, die Determinante von Vektoren und Matrizen mit verschiedenen Verfahren zu berechnen.
- 1
Bestimme die Determinante folgender Vektoren
v=(25â) und w=(34â)
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Determinante
Allgemein bestimmt man die Determinante mit der Formel
âa11âa21ââa12âa22âââ=a11ââ a22ââa12ââ a21â
Einsetzen der Vektoren v=(25â) und w=(34â) ergibt:
â34â25ââ=3â 5â2â 4=7
Dabei wird die Reihenfolge (erster Vektor entgegen dem Uhrzeigersinn) beachtet.
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v=(â27â) und w=(â83â)
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Determinante
Allgemein bestimmt man die Determinante mit der Formel
âa11âa21ââa12âa22âââ=a11ââ a22ââa12ââ a21â
Einsetzen der Vektoren v=(â27â) und w=(â83â) ergibt, wenn man die Reihenfolge (erster Vektor gegen dem Uhrzeigersinn) beachtet:
ââ27ââ83ââ=(â2)â 3â(â8)â 7=50
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v=(09â) und w=(â28â)
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Determinante
Allgemein bestimmt man die Determinante mit der Formel
âa11âa21ââa12âa22âââ=a11ââ a22ââa12ââ a21â
Einsetzen der Vektoren v=(09â) und w=(â28â) ergibt, wenn man die Reihenfolge (erster Vektor gegen dem Uhrzeigersinn) beachtet:
â09ââ28ââ=0â 8â(â2)â 9=18
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- 2
Berechne die folgenden Determinante mit der Regel von Sarrus.
A=â031â121â210ââ
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Determinante
A=â031â121â210ââ
Schreibe neben die Determinante die ersten beiden Vektoren noch einmal daneben, damit die Regel von Sarrus verwendet werden kann.
âdetA=â031â121â210ââ031â121â
Bilde Diagonalen von links nach rechts und bilde damit eine Summe und subtrahiere die Diagonalen von rechts nach links davon.
detAâ===ââ031â121â210ââ0â 2â 0+1â 1â 1+2â 3â 1â2â 2â 1â0â 1â 1â1â 3â 03â
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B=âadgâbehâcfiââ
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Determinante
B=âadgâbehâcfiââ
Schreibe neben die Determinante die ersten beiden Vektoren noch einmal daneben, damit die Regel von Sarrus verwendet werden kann.
detB=âadgâbehâcfiââadgâbehâ
Bilde Diagonalen von links nach rechts und bilde damit eine Summe und Subtrahiere davon die Diagonalen von rechts nach links.
detB=âadgâbehâcfiââ=aei+bfg+cdhâcegâafhâbdi
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- 3
Berechne die Determinante mit dem LaplaceÂŽschen Entwicklungssatz.
A=â1234â4123â3412â2341ââ
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Determinanten berechnen
detA=â1234â4123â3412â2341ââ
WĂ€hle die erste Spalte aus und berechne ĂŒber diese mit dem Laplace'schen Entwicklungssatz die neuen 3x3 Matrizen.
=1â123â412â341âââ2â423â312â241ââ+3â413â342â231âââ4â412â341â234ââ
WĂ€hle bei jeder dieser neuen 3x3 Matrizen die erste Spalte aus und Entwickle wieder neue 2x2 Matrizen aus jeder Matrix.
=1(1â12â41âââ2â42â31ââ+3â41â34ââ)â2(4â12â41âââ2â32â21ââ+3â31â24ââ)+3(4â42â31âââ1â32â21ââ+3â34â23ââ)â4(4â41â34âââ1â31â24ââ+2â34â23ââ)â
Berechne nun die 2x2 Matrizen und berechne bis zum Endergebniss.
=(1â8)â2(4â6)+3(16â3)â8(1â8)+4(3â4)â6(12â2)+12(4â6)â3(3â4)+9(9â8)â16(16â3)+4(12â2)â8(9â8)=â7+4+39+56â4â60â24+3+9â208+40â8=â160âHast du eine Frage oder Feedback?
B=â0472â1504â2086â3690ââ
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Determinanten berechnen
B=â0472â1504â2086â3690ââ
WĂ€hle die erste Spalte aus und berechne ĂŒber diese mit dem Laplace'schen Entwicklungssatz die neuen 3x3 Matrizen. Die neuen Matrizen die mit dem Faktor 0 multipliziert werden, kann man dabei schon weglassen.
detB=â0472â1504â2086â3690ââ=â4â104â286â390ââ+7â154â206â360âââ2â150â208â369ââ
WĂ€hle bei jeder dieser neuen 3x3 Mtrizen die erste Spalte aus und entwickle wieder neue 2x2 Matrizen aus jeder Matrix. Auch hier lassen sich die Matrizen mit Vorfaktor 0 wegstreichen.
=â4(1â86â90ââ+4â28â39ââ)+7(1â06â60âââ5â26â30ââ+4â20â36ââ)â2(1â08â69âââ5â28â39ââ)
Berechne nun die 2x2 Matrizen und berechne bis zum Endergebniss.
=â4(â54)â16(18â24)+7(â36)â35(â18)+28(12)â2(â48)+10(18â24)=216+96â252+630+336+96â60=1062âHast du eine Frage oder Feedback?
- 4
Berechne die Determinante mit einem geeigneten Verfahren.
A=â6â502ââ420â1ââ1080â4â4â507ââ
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Determinante berechnen
A=â6â502ââ420â1ââ1080â4â4â507ââââ
Da die Determinante eine Reihe aus Nullen enthÀlt, ist der Wert Null.
âdetA=0
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B=(13â24â)
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Determinante berechnen
B=(13â24â)
Löse die Determinante nach der 2x2 Formel
detB=1â 4â2â 3=â2
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C=â100000â020000â003000â000400â000050â000006ââ
C=â100000â020000â003000â000400â000050â000006ââ
Da C eine Diagonalmatrix ist, lÀsst sich diese Matrix ganz leicht durch Multiplikation der Diagonalwerte berechnen.
detC=â100000â020000â003000â000400â000050â000006ââ=1â 2â 3â 4â 5â 6=6!=720
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