Aufgaben zur Berechnung von Determinanten

Berechne die Determinante mit dem Laplace´schen Entwicklungssatz.

$A=\begin{pmatrix}1&4&3&2\\2&1&4&3\\3&2&1&4\\4&3&2&1\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Determinanten berechnen
$\mathrm{det}A=\begin{vmatrix}1&4&3&2\\2&1&4&3\\3&2&1&4\\4&3&2&1\end{vmatrix}$
Wähle die erste Spalte aus und berechne über diese mit dem Laplace'schen Entwicklungssatz die neuen 3x3 Matrizen.
$=1\begin{vmatrix}1&4&3\\2&1&4\\3&2&1\end{vmatrix}-2\begin{vmatrix}4&3&2\\2&1&4\\3&2&1\end{vmatrix}+3\begin{vmatrix}4&3&2\\1&4&3\\3&2&1\end{vmatrix}-4\begin{vmatrix}4&3&2\\1&4&3\\2&1&4\end{vmatrix}$
Wähle bei jeder dieser neuen 3x3 Matrizen die erste Spalte aus und Entwickle wieder neue 2x2 Matrizen aus jeder Matrix.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}=1(1\begin{vmatrix}1&4\\2&1\end{vmatrix}-2\begin{vmatrix}4&3\\2&1\end{vmatrix}+3\begin{vmatrix}4&3\\1&4\end{vmatrix})-2(4\begin{vmatrix}1&4\\2&1\end{vmatrix}-2\begin{vmatrix}3&2\\2&1\end{vmatrix}+3\begin{vmatrix}3&2\\1&4\end{vmatrix}) \\ \\+3(4\begin{vmatrix}4&3\\2&1\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}3&2\\2&1\end{vmatrix}+3\begin{vmatrix}3&2\\4&3\end{vmatrix})-4(4\begin{vmatrix}4&3\\1&4\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}3&2\\1&4\end{vmatrix}+2\begin{vmatrix}3&2\\4&3\end{vmatrix})\end{array}$
Berechne nun die 2x2 Matrizen und berechne bis zum Endergebniss.
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}=(1-8)-2(4-6)+3(16-3)-8(1-8)+4(3-4)-6(12-2)\\+12(4-6)-3(3-4)+9(9-8)-16(16-3)+4(12-2)-8(9-8)\\ \\ =-7+4+39+56-4-60-24+3+9-208+40-8\\ \\=-160\end{array}$
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$B=\begin{pmatrix}0&1&2&3\\4&5&0&6\\7&0&8&9\\2&4&6&0\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Determinanten berechnen
$B=\begin{pmatrix}0&1&2&3\\4&5&0&6\\7&0&8&9\\2&4&6&0\end{pmatrix}$
Wähle die erste Spalte aus und berechne über diese mit dem Laplace'schen Entwicklungssatz die neuen 3x3 Matrizen. Die neuen Matrizen die mit dem Faktor 0 multipliziert werden, kann man dabei schon weglassen.
$\text{det}B=\begin{vmatrix}0&1&2&3\\4&5&0&6\\7&0&8&9\\2&4&6&0\end{vmatrix}=-4\begin{vmatrix}1&2&3\\0&8&9\\4&6&0\end{vmatrix}+7\begin{vmatrix}1&2&3\\5&0&6\\4&6&0\end{vmatrix}-2\begin{vmatrix}1&2&3\\5&0&6\\0&8&9\end{vmatrix}$
Wähle bei jeder dieser neuen 3x3 Mtrizen die erste Spalte aus und entwickle wieder neue 2x2 Matrizen aus jeder Matrix. Auch hier lassen sich die Matrizen mit Vorfaktor 0 wegstreichen.
$=-4(1\begin{vmatrix}8&9\\6&0\end{vmatrix}+4\begin{vmatrix}2&3\\8&9\end{vmatrix})+7(1\begin{vmatrix}0&6\\6&0\end{vmatrix}-5\begin{vmatrix}2&3\\6&0\end{vmatrix}+4\begin{vmatrix}2&3\\0&6\end{vmatrix})-2(1\begin{vmatrix}0&6\\8&9\end{vmatrix}-5\begin{vmatrix}2&3\\8&9\end{vmatrix})$
Berechne nun die 2x2 Matrizen und berechne bis zum Endergebniss.
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}=-4(-54)-16(18-24)+7(-36)-35(-18)+28(12)-2(-48)+10(18-24)\\=216+96-252+630+336+96-60=1062\end{array}$
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