Aufgaben zur Berechnung von Determinanten

1

Bestimme die Determinante folgender Vektoren

$\vec v = \begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}\,$ und $\,\vec w = \begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Determinante
Allgemein bestimmt man die Determinante mit der Formel
$\,\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix} = a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21}$
Einsetzen der Vektoren $\vec v = \begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}\,$ und $\,\vec w = \begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\,$ ergibt:
$\,\begin{vmatrix}3&2\\4&5\end{vmatrix} = 3\cdot5 - 2\cdot 4 = 7$
Dabei wird die Reihenfolge (erster Vektor entgegen dem Uhrzeigersinn) beachtet.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
$\vec v = \begin{pmatrix}-2\\7\end{pmatrix}$ und $\vec w = \begin{pmatrix}-8\\3\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Determinante
Allgemein bestimmt man die Determinante mit der Formel
$\,\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix} = a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21}$
Einsetzen der Vektoren $\vec v = \begin{pmatrix}-2\\7\end{pmatrix}\,$ und $\,\vec w = \begin{pmatrix}-8\\3\end{pmatrix}$ ergibt, wenn man die Reihenfolge (erster Vektor gegen dem Uhrzeigersinn) beachtet:
$\,\begin{vmatrix}-2&-8\\7&3\end{vmatrix} = (-2)\cdot 3 - (-8)\cdot 7 = 50$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
$\vec v = \begin{pmatrix}0 \\ 9\end{pmatrix}\,$ und $\,\vec w = \begin{pmatrix}-2\\8\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Determinante
Allgemein bestimmt man die Determinante mit der Formel
$\,\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix} = a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21}$
Einsetzen der Vektoren $\vec v = \begin{pmatrix}0\\9\end{pmatrix}\,$ und $\,\vec w = \begin{pmatrix}-2\\8\end{pmatrix}$ ergibt, wenn man die Reihenfolge (erster Vektor gegen dem Uhrzeigersinn) beachtet:
$\,\begin{vmatrix}0&-2\\9&8\end{vmatrix} = 0\cdot8 - (-2)\cdot 9 = 18$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉

2

Berechne die folgenden Determinante mit der Regel von Sarrus.

$A=\begin{pmatrix}0&1&2\\3&2&1\\1&1&0\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Determinante
$A=\begin{pmatrix}0&1&2\\3&2&1\\1&1&0\end{pmatrix}$
Schreibe neben die Determinante die ersten beiden Vektoren noch einmal daneben, damit die Regel von Sarrus verwendet werden kann.
$\def\arraystretch{1.25} \;\;\Rightarrow\;\;\det\text{A}=\begin{vmatrix}0&1&2\\3&2&1\\1&1&0\end{vmatrix}\begin{array}{cc}0&1\\3&2\\1&1\end{array}$
Bilde Diagonalen von links nach rechts und bilde damit eine Summe und subtrahiere die Diagonalen von rechts nach links davon.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\det\text{A}&=&\begin{vmatrix}0&1&2\\3&2&1\\1&1&0\end{vmatrix}\\&=&0\cdot2\cdot0+1\cdot1\cdot1+2\cdot3\cdot1-2\cdot2\cdot1-0\cdot1\cdot1-1\cdot3\cdot0\\&=&3\end{array}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
$\mathrm B=\begin{pmatrix}\mathrm a&\mathrm b&\mathrm c\\\mathrm d&\mathrm e&\mathrm f\\\mathrm g&\mathrm h&\mathrm i\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Determinante
$\mathrm B=\begin{pmatrix}\mathrm a&\mathrm b&\mathrm c\\\mathrm d&\mathrm e&\mathrm f\\\mathrm g&\mathrm h&\mathrm i\end{pmatrix}$
Schreibe neben die Determinante die ersten beiden Vektoren noch einmal daneben, damit die Regel von Sarrus verwendet werden kann.
$\def\arraystretch{1.25} \det{B}=\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}\begin{array}{cc}a&b\\d&e\\g&h\end{array}$
Bilde Diagonalen von links nach rechts und bilde damit eine Summe und Subtrahiere davon die Diagonalen von rechts nach links.
$\det{B}=\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}=\mathrm{aei}+\mathrm{bfg}+\mathrm{cdh}-\mathrm{ceg}-\mathrm{afh}-\mathrm{bdi}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉

3

Berechne die Determinante mit dem Laplace´schen Entwicklungssatz.

$A=\begin{pmatrix}1&4&3&2\\2&1&4&3\\3&2&1&4\\4&3&2&1\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Determinanten berechnen
$\mathrm{det}A=\begin{vmatrix}1&4&3&2\\2&1&4&3\\3&2&1&4\\4&3&2&1\end{vmatrix}$
Wähle die erste Spalte aus und berechne über diese mit dem Laplace'schen Entwicklungssatz die neuen 3x3 Matrizen.
$=1\begin{vmatrix}1&4&3\\2&1&4\\3&2&1\end{vmatrix}-2\begin{vmatrix}4&3&2\\2&1&4\\3&2&1\end{vmatrix}+3\begin{vmatrix}4&3&2\\1&4&3\\3&2&1\end{vmatrix}-4\begin{vmatrix}4&3&2\\1&4&3\\2&1&4\end{vmatrix}$
Wähle bei jeder dieser neuen 3x3 Matrizen die erste Spalte aus und Entwickle wieder neue 2x2 Matrizen aus jeder Matrix.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}=1(1\begin{vmatrix}1&4\\2&1\end{vmatrix}-2\begin{vmatrix}4&3\\2&1\end{vmatrix}+3\begin{vmatrix}4&3\\1&4\end{vmatrix})-2(4\begin{vmatrix}1&4\\2&1\end{vmatrix}-2\begin{vmatrix}3&2\\2&1\end{vmatrix}+3\begin{vmatrix}3&2\\1&4\end{vmatrix}) \\ \\+3(4\begin{vmatrix}4&3\\2&1\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}3&2\\2&1\end{vmatrix}+3\begin{vmatrix}3&2\\4&3\end{vmatrix})-4(4\begin{vmatrix}4&3\\1&4\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}3&2\\1&4\end{vmatrix}+2\begin{vmatrix}3&2\\4&3\end{vmatrix})\end{array}$
Berechne nun die 2x2 Matrizen und berechne bis zum Endergebniss.
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}=(1-8)-2(4-6)+3(16-3)-8(1-8)+4(3-4)-6(12-2)\\+12(4-6)-3(3-4)+9(9-8)-16(16-3)+4(12-2)-8(9-8)\\ \\ =-7+4+39+56-4-60-24+3+9-208+40-8\\ \\=-160\end{array}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
$B=\begin{pmatrix}0&1&2&3\\4&5&0&6\\7&0&8&9\\2&4&6&0\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Determinanten berechnen
$B=\begin{pmatrix}0&1&2&3\\4&5&0&6\\7&0&8&9\\2&4&6&0\end{pmatrix}$
Wähle die erste Spalte aus und berechne über diese mit dem Laplace'schen Entwicklungssatz die neuen 3x3 Matrizen. Die neuen Matrizen die mit dem Faktor 0 multipliziert werden, kann man dabei schon weglassen.
$\text{det}B=\begin{vmatrix}0&1&2&3\\4&5&0&6\\7&0&8&9\\2&4&6&0\end{vmatrix}=-4\begin{vmatrix}1&2&3\\0&8&9\\4&6&0\end{vmatrix}+7\begin{vmatrix}1&2&3\\5&0&6\\4&6&0\end{vmatrix}-2\begin{vmatrix}1&2&3\\5&0&6\\0&8&9\end{vmatrix}$
Wähle bei jeder dieser neuen 3x3 Mtrizen die erste Spalte aus und entwickle wieder neue 2x2 Matrizen aus jeder Matrix. Auch hier lassen sich die Matrizen mit Vorfaktor 0 wegstreichen.
$=-4(1\begin{vmatrix}8&9\\6&0\end{vmatrix}+4\begin{vmatrix}2&3\\8&9\end{vmatrix})+7(1\begin{vmatrix}0&6\\6&0\end{vmatrix}-5\begin{vmatrix}2&3\\6&0\end{vmatrix}+4\begin{vmatrix}2&3\\0&6\end{vmatrix})-2(1\begin{vmatrix}0&6\\8&9\end{vmatrix}-5\begin{vmatrix}2&3\\8&9\end{vmatrix})$
Berechne nun die 2x2 Matrizen und berechne bis zum Endergebniss.
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}=-4(-54)-16(18-24)+7(-36)-35(-18)+28(12)-2(-48)+10(18-24)\\=216+96-252+630+336+96-60=1062\end{array}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉

4

Berechne die Determinante mit einem geeigneten Verfahren.

$A=\begin{pmatrix}6&-4&-10&4\\-5&2&8&-5\\0&0&0&0\\2&-1&-4&7\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Determinante berechnen
$\def\arraystretch{1.25} A=\begin{pmatrix}6&-4&-10&4\\-5&2&8&-5\\0&0&0&0\\2&-1&-4&7\end{pmatrix}\begin{array}{c}\\\\\leftarrow\\\;\;\;\;\;\;\;\;\end{array}$
Da die Determinante eine Reihe aus Nullen enthält, ist der Wert Null.
$\;\;\Rightarrow\;\;detA=0$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
$\mathrm B=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Determinante berechnen
$\mathrm B=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$
Löse die Determinante nach der 2x2 Formel
$\mathrm{det}B=1\cdot4-2\cdot3=-2$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
$\mathrm C=\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&2&0&0&0&0\\0&0&3&0&0&0\\0&0&0&4&0&0\\0&0&0&0&5&0\\0&0&0&0&0&6\end{pmatrix}$

$\mathrm C=\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&2&0&0&0&0\\0&0&3&0&0&0\\0&0&0&4&0&0\\0&0&0&0&5&0\\0&0&0&0&0&6\end{pmatrix}$
Da $C$ eine Diagonalmatrix ist, lässt sich diese Matrix ganz leicht durch Multiplikation der Diagonalwerte berechnen.
$\mathrm{detC}=\begin{vmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&2&0&0&0&0\\0&0&3&0&0&0\\0&0&0&4&0&0\\0&0&0&0&5&0\\0&0&0&0&0&6\end{vmatrix}=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6=\;6!=720$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉

Aufgaben zur Berechnung von Determinanten

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?