Volumenberechnung in der analytischen Geometrie

Das Volumen geometrischer Objekte wird mit Methoden der analytischen Geometrie ausgerechnet.

Volumen eines Parallelotops (Spat, Parallelflach)

Das Volumen eines Parallelotops, das mit Punkten $A, B, C,$ aufgespannt wird, berechnet sich nach folgender Formel aus der Determinante (oder des Spatprodukts) der drei aufspannenden Vektoren.

$\text{Volumen} V =\left|\det(\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD})\right|$

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7557_b9w0lSWBLU.xml

Das Volumen eines Parallelotops wird berechnet, indem man einen beliebigen Eckpunkt wählt und alle 3 von dort ausgehenden Richtungsvektoren

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\overrightarrow{{AB}}=\begin{pmatrix}{ u}_1\\{ u}_2\\{ u}_3\end{pmatrix}\;\;\;\;\;\;\;\;\overrightarrow{{AC}}=\begin{pmatrix}{ v}_1\\{ v}_2\\{ v}_3\end{pmatrix}\;\;\;\;\;\;\;\overrightarrow{{AD}}=\begin{pmatrix}{ w}_1\\{ w}_2\\{ w}_3\end{pmatrix}\end{array}

berechnet.

Der Betrag der Determinante aus den 3 Richtungsvektoren ist das Volumen.

$V=\left|\det(\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD})\right| = \left|\det \begin{pmatrix}u_1 & v_1 & w_1\\u_2 & v_2 & w_2\\u_3 & v_3 & w_3\end{pmatrix}\right|$

Die Reihenfolge der Vektoren spielt keine Rolle wenn man das Ganze in den Betrag schreibt. Hier kannst du alle Rechenregeln für Determinanten finden.

Beispiele

Berechne das Volumen des Parallelotops, welches

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Volumen eines Prismas (mit einem Dreieck als Grundfläche)

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7643_LmYDZngcO1.xml

Das Volumen eines Prismas mit einem Dreieck als Grundfläche ist das halbe Volumen eines Parallelotops.

Also ist das Volumen

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\overrightarrow{{AB}}=\begin{pmatrix}{ u}_1\\{ u}_2\\{ u}_3\end{pmatrix}\;\;\;\;\;\;\;\;\overrightarrow{{AC}}=\begin{pmatrix}{ v}_1\\{ v}_2\\{ v}_3\end{pmatrix}\;\;\;\;\;\;\;\overrightarrow{{AD}}=\begin{pmatrix}{ w}_1\\{ w}_2\\{ w}_3\end{pmatrix}\end{array}

Bei allgemeinen Prismen kann man die Grundfläche immer in Dreiecke zerlegen und man kann das Volumen der einzelnen Prismen mit Dreiecken als Grundseite berechnen.

Volumen einer Pyramide (Parallelogramm als Grundfläche)

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7645_kCbH1L7tpy.xml

Das Volumen einer Pyramide lässt sich berechnen als

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l} V=\frac{1}{3}\left|\overset{\rightarrow}{{AB}}\circ\left(\overset{\rightarrow}{{AC}}\times\overset{\rightarrow}{{AD}}\right)\right|=\frac{1}{3}\left|{\det}\left(\overset{\rightarrow}{{AB}},\overset{\rightarrow}{{AC}},\;\overset{\rightarrow}{{AD}}\right)\right|\end{array}$

Beispiele

Berechne das Volumen der Pyramide, welche

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Volumen eines Tetraeders

Ein Tetraeder ist eine Pyramide , die als Grundseite ein Dreieck hat. Ein Tetraeder wird durch vier Punkte eindeutig bestimmt.

Seien $A, B, C, D$ diese Punkte, dann ist das Volumen $V$ :

$V=\frac{1}{6}\left|\overset{\rightarrow}{AB}\circ\left(\overset{\rightarrow}{ A C}\times\overset{\rightarrow}{ A D}\right)\right|=\frac{1}{6}\left| \det\left(\overset{\rightarrow}{ A B},\;\overset{\rightarrow}{ A C},\;\overset{\rightarrow}{ A D}\right)\right|$

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7551_cbITf4FVqj.xml

Die Formel für das Volumen eines Tetraeders sieht der Volumenformel einer Pyramide sehr ähnlich.

Der Skalierungsfaktor $\frac{1}{6}$ (statt $\frac{1}{3}$ wie bei der Pyramide) kommt daher, dass die Grundfläche hier ein Dreieck und kein Parallelogramm ist.

Das Volumen des Tetraeders ist also $\frac{1}{2}$ mal so groß, wie das der Pyramide.

Beispiele

Berechne das Volumen des Tetraeders, welches

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