Volumenberechnung in der analytischen Geometrie

Das Volumen geometrischer Objekte wird mit Methoden der analytischen Geometrie ausgerechnet.

Volumen eines Parallelotops (Spat, Parallelflach)

Das Volumen eines Parallelotops, das mit Punkten $A, B, C,$ aufgespannt wird, berechnet sich nach folgender Formel aus der Determinante (oder des Spatprodukts) der drei aufspannenden Vektoren.

$Volumen V = | \det (\vec{A B}, \vec{A C}, \vec{A D}) |$

Das Volumen eines Parallelotops wird berechnet, indem man einen beliebigen Eckpunkt wählt und alle 3 von dort ausgehenden Richtungsvektoren

\begin{array}{l} \vec{A B} = (\begin{array}{c} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \end{array}) \vec{A C} = (\begin{array}{c} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{array}) \vec{A D} = (\begin{array}{c} w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3} \end{array}) \end{array}

berechnet.

Der Betrag der Determinante aus den 3 Richtungsvektoren ist das Volumen.

$V = | \det (\vec{A B}, \vec{A C}, \vec{A D}) | = | \det (\begin{array}{ccc} u_{1} & v_{1} & w_{1} \\ u_{2} & v_{2} & w_{2} \\ u_{3} & v_{3} & w_{3} \end{array}) |$

Die Reihenfolge der Vektoren spielt keine Rolle wenn man das Ganze in den Betrag schreibt. Hier kannst du alle Rechenregeln für Determinanten finden.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7557_b9w0lSWBLU.xml

Beispiele

Berechne das Volumen des Parallelotops, welches

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Volumen eines Prismas (mit einem Dreieck als Grundfläche)

Das Volumen eines Prismas mit einem Dreieck als Grundfläche ist das halbe Volumen eines Parallelotops.

Also ist das Volumen

Volumen V = \frac{1}{2} | \det (\begin{array}{ccc} \vec{A B} & \vec{A C} & \vec{A D} \end{array}) |

Bei allgemeinen Prismen kann man die Grundfläche immer in Dreiecke zerlegen und man kann das Volumen der einzelnen Prismen mit Dreiecken als Grundseite berechnen.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7643_LmYDZngcO1.xml

Volumen einer Pyramide (Parallelogramm als Grundfläche)

Das Volumen einer Pyramide lässt sich berechnen als

$\begin{array}{l} V = \frac{1}{3} | \vec{A B} \circ (\vec{A C} \times \vec{A D}) | = \frac{1}{3} | \det (\vec{A B}, \vec{A C}, \vec{A D}) | \end{array}$

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7645_kCbH1L7tpy.xml

Beispiele

Berechne das Volumen der Pyramide, welche

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Volumen eines Tetraeders

Ein Tetraeder ist eine Pyramide , die als Grundseite ein Dreieck hat. Ein Tetraeder wird durch vier Punkte eindeutig bestimmt.

Seien $A, B, C, D$ diese Punkte, dann ist das Volumen $V$ :

$V = \frac{1}{6} | \vec{A} \circ (\vec{A} \times \vec{A}) | = \frac{1}{6} | \det (\vec{A}, \vec{A}, \vec{A}) |$

Die Formel für das Volumen eines Tetraeders sieht der Volumenformel einer Pyramide sehr ähnlich.

Der Skalierungsfaktor $\frac{1}{6}$ (statt $\frac{1}{3}$ wie bei der Pyramide) kommt daher, dass die Grundfläche hier ein Dreieck und kein Parallelogramm ist.

Das Volumen des Tetraeders ist also $\frac{1}{2}$ mal so groß, wie das der Pyramide.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7551_cbITf4FVqj.xml

Beispiele

Berechne das Volumen des Tetraeders, welches

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