Matrizen

Struktur

Besondere Matrizen

Einheitsmatrix

Die Einheitsmatrix besitzt in der Diagonale nur Einsen und sonst nur Nullen. Die Größe hängt von der Dimension der Matrix ab.

Beispiel: $\sf 3\times3$ Einheitsmatrix $\sf \;\;\Rightarrow\;\;{ E}_3=\begin{pmatrix} \sf 1 & \sf 0 & \sf 0 \\ \sf 0 & \sf 1 & \sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0 & \sf 1\end{pmatrix}$

Diagonalmatrix

Die Diagonalmatrix ist der Einheitsmatrix sehr ähnlich. Sie besitzt nur auf der Diagonale Werte und sonst nur Nullen. Diese Werte müssen aber nicht unbedingt 1 sein.

$\sf \;\;\Rightarrow\;\;$ Einheitsmatrix ist eine besondere Diagonalmatrix.

Beispiel: $\sf 4\times4$ Diagonalmatrix: $\sf \begin{pmatrix} \sf 2 & \sf 0 & \sf 0 & \sf 0 \\ \sf 0 & \sf 5 & \sf 0 & \sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0 & \sf 8 & \sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0 & \sf 0 & \sf 5\end{pmatrix}$

Multiplikation mit einem Vektor

$\sf A\cdot\overrightarrow v=\begin{pmatrix} \sf a & \sf b & \sf c \\ \sf d & \sf e & \sf f \\ \sf g & \sf h & \sf i\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \sf x \\ \sf y \\ \sf z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf ax+by+cz \\ \sf dx+ey+fz \\ \sf gx+hy+iz\end{pmatrix}$     Analog bei nicht $\sf 3 \times 3$ Matrizen

mit $\sf A\cdot\overrightarrow{ v}=\overrightarrow{ b}$ und $\sf \overrightarrow{ b}=\begin{pmatrix} \sf { b}_1 \\ \sf { b}_2 \\ \sf { b}_3\end{pmatrix}$ $\sf \;\;\Rightarrow\;\;\begin{pmatrix} \sf {ax}+{by}+{cz} \\ \sf {dx}+{ey}+{fz} \\ \sf {gx}+{hy}+{iz}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf { b}_1 \\ \sf { b}_2 \\ \sf { b}_3\end{pmatrix}$

Zugehöriges homogenes Gleichungssystem:   $\sf A\cdot\overrightarrow{ v}=0$

Allgemein  

Hilfestellung:

mit $\sf b=\begin{pmatrix} \sf { b}_1 \\ \sf \vdots \\ \sf { b}_ n\end{pmatrix}$    $\sf \Rightarrow\; A\cdot x= b$     $\sf \;\;\Rightarrow\sum_{i=1}^n a_{ji}{ x}_ i={ b}_ j$

zugehöriges homogenes System:  $\sf \Rightarrow\;\; A\cdot x=0\;\;\;\Rightarrow\;\;\sum_{i=1}^n a_{ji}{ x}_ i=0\;$

Lineares Gleichungssystem

$\sf \;\;\Rightarrow\;\;$ Jedes lineare Gleichungssystem lässt sich als Produkt einer Matrix mit einem Vektor schreiben, wobei A die Koeffizientenmatrix darstellt. Um dies zu lösen wird die Erweiterte Koeffizientenmatrix  $\sf \def\arraystretch{1.25} ( A \mid b) =\left(\begin{array}{ccc} \sf a & \sf b & \sf c \\ \sf d & \sf e & \sf f \\ \sf g & \sf h & \sf i\end{array}\left|\begin{array}{c} \sf { b}_1 \\ \sf { b}_2 \\ \sf { b}_3\end{array}\right.\right)$ benötigt, die man dann entsprechend umformt.

Allgemein

Erweiterte Koeffizientenmatrix

Beispiel

Umformungen

1. Spalten vertauschen.

2. Das Vielfache einer Spalte von einer anderen abziehen

3. Spalte durch einen Faktor teilen (Beachte: Teiler ungleich 0)

Die Erweiterte Koeffizienten Matrix kann durch diese Umformungen auf verschiedene Formen gebracht werden. Zu beachten ist, auch die Koeffizienten  $\sf {b}_1,\ldots,{b}_m$ mit umzuformen. Die häufigste Art, eine solche Matrix zu lösen, ist der Gaußalgorithmus , in dem die Matrix auf Stufenform gebracht wird, so dass sie folgende Form hat:

Allgemein

Rang einer Matrix

Formt man die Matrix zu einer Stufenform um, lässt sich leicht erkennen, welche Zeilen 0 werden. Die Anzahl der Nicht-Nullzeilen ist dann der Rang der Matrix. Besitzt eine  Matrix keine Nullzeile so hat sie vollen Rang.

$\sf A=\begin{pmatrix} \sf { a}_{11} & \sf \cdots & \sf { a}_{1n} \\ \sf \vdots & \sf & \sf \vdots \\ \sf { a}_{r1} & \sf \cdots & \sf { a}_{rn} \\ \sf 0 & \sf \cdots & \sf 0 \\ \sf \vdots & \sf & \sf \vdots \\ \sf 0 & \sf \cdots & \sf 0\end{pmatrix}$     Rang von $\sf A = \text{\sf rg}(A) = r$