Matrizen

Struktur

Besondere Matrizen

Einheitsmatrix

Die Einheitsmatrix besitzt in der Diagonale nur Einsen und sonst nur Nullen. Die Größe hängt von der Dimension der Matrix ab.

Beispiel: $3\times3$ Einheitsmatrix $\;\;\Rightarrow\;\;{ E}_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$

Diagonalmatrix

Die Diagonalmatrix ist der Einheitsmatrix sehr ähnlich. Sie besitzt nur auf der Diagonale Werte und sonst nur Nullen. Diese Werte müssen aber nicht unbedingt 1 sein.

$\;\;\Rightarrow\;\;$ Einheitsmatrix ist eine besondere Diagonalmatrix.

Beispiel: $4\times4$ Diagonalmatrix: $\begin{pmatrix} 2&0&0&0\\0& 5&0&0\\0&0& 8&0\\0&0& 0&5\end{pmatrix}$

Multiplikation mit einem Vektor

$A=\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix},\;\overrightarrow v=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$

$A\cdot\overrightarrow v=\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ax+by+cz\\dx+ey+fz\\gx+hy+iz\end{pmatrix}$     Analog bei nicht $3 \times 3$ Matrizen

mit $A\cdot\overrightarrow{ v}=\overrightarrow{ b}$ und $\overrightarrow{ b}=\begin{pmatrix}{ b}_1\\{ b}_2\\{ b}_3\end{pmatrix}$ $\;\;\Rightarrow\;\;\begin{pmatrix}{ax}+{by}+{cz}\\{dx}+{ey}+{fz}\\{gx}+{hy}+{iz}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{ b}_1\\{ b}_2\\{ b}_3\end{pmatrix}$

$\def\arraystretch{1.25} \;\;\Rightarrow\;\;\left.\begin{array}{c}ax+by+cz=b_1\\dx+ey+fz=b_2\\gx+hy+iz=b_3\end{array}\right.$

Zugehöriges homogenes Gleichungssystem:   $A\cdot\overrightarrow{ v}=0$

Allgemein  

Hilfestellung:

mit $b=\begin{pmatrix}{ b}_1\\\vdots\\{ b}_ n\end{pmatrix}$    $\Rightarrow\; A\cdot x= b$     $\;\;\Rightarrow\sum_{i=1}^n a_{ji}{ x}_ i={ b}_ j$

zugehöriges homogenes System:  $\Rightarrow\;\; A\cdot x=0\;\;\;\Rightarrow\;\;\sum_{i=1}^n a_{ji}{ x}_ i=0\;$

Lineares Gleichungssystem

$\def\arraystretch{1.25} \left.\begin{array}{c}ax+by+cz=b_1\\dx+ey+fz=b_2\\gx+hy+iz=b_3\end{array}\right.$

$\Rightarrow\;\; A\cdot\overrightarrow{ v}=\begin{pmatrix} a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\overrightarrow{ b}$

$\;\;\Rightarrow\;\;$ Jedes lineare Gleichungssystem lässt sich als Produkt einer Matrix mit einem Vektor schreiben, wobei A die Koeffizientenmatrix darstellt. Um dies zu lösen wird die Erweiterte Koeffizientenmatrix  $\def\arraystretch{1.25} ( A \mid b) =\left(\begin{array}{ccc} a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\left|\begin{array}{c}{ b}_1\\{ b}_2\\{ b}_3\end{array}\right.\right)$ benötigt, die man dann entsprechend umformt.

Allgemein

$\def\arraystretch{1.25} \left.\begin{array}{c} a_{11} \cdot x_1 + \dots + a_{n1} \cdot x_n &= b_1\\ \vdots & \vdots\\ a_{1m} \cdot x_1 + \dots + a_{nm} \cdot x_n &= b_m \end{array}\right.$

$\Rightarrow A\cdot x = \begin{pmatrix}a_{11} & \dots & a_{1n}\\\vdots & \ddots & \vdots\\a_{m1} & \dots & a_{mn}\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix} = b$

Erweiterte Koeffizientenmatrix

Beispiel

Umformungen

1. Spalten vertauschen.

2. Das Vielfache einer Spalte von einer anderen abziehen

3. Spalte durch einen Faktor teilen (Beachte: Teiler ungleich 0)

Die Erweiterte Koeffizienten Matrix kann durch diese Umformungen auf verschiedene Formen gebracht werden. Zu beachten ist, auch die Koeffizienten  ${b}_1,\ldots,{b}_m$ mit umzuformen. Die häufigste Art, eine solche Matrix zu lösen, ist der Gaußalgorithmus , in dem die Matrix auf Stufenform gebracht wird, so dass sie folgende Form hat:

$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{ccc}1&a_1&a_2\\0&1&a_3\\0&0&1\end{array}\left|\begin{array}{c}b_1'\\b_2'\\b_3'\end{array}\right.\right)$

Allgemein

Rang einer Matrix

Formt man die Matrix zu einer Stufenform um, lässt sich leicht erkennen, welche Zeilen 0 werden. Die Anzahl der Nicht-Nullzeilen ist dann der Rang der Matrix. Besitzt eine  Matrix keine Nullzeile so hat sie vollen Rang.

$\mathrm A=\begin{pmatrix}{\mathrm a}_{11}&\cdots&{ a}_{1n}\\\vdots&&\vdots\\{ a}_{r1}&\cdots&{ a}_{rn}\\0&\cdots&0\\\vdots&&\vdots\\0&\cdots&0\end{pmatrix}$     Rang von $A = \text{rg}(A) = r$