Matrizen

Struktur

\displaystyle A=\begin{pmatrix}{ a}_{11}&\cdots&{ a}_{ 1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\{ a}_{m1}&\cdots&{ a}_{mn}\end{pmatrix}

$A\in\text{Mat}_{ m\times n}$ ( $\text{Mat}_{ m\times n}$ bezeichnet die Menge aller $m \times n$ Matrizen)

$A$ besteht aus $m$ Zeilen und $n$ Spalten.

Besondere Matrizen

Einheitsmatrix

Die Einheitsmatrix besitzt in der Diagonale nur Einsen und sonst nur Nullen. Die Größe hängt von der Dimension der Matrix ab.

Beispiel: $3\times3$ Einheitsmatrix $\;\;\Rightarrow\;\;{ E}_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$

Diagonalmatrix

Die Diagonalmatrix ist der Einheitsmatrix sehr ähnlich. Sie besitzt nur auf der Diagonale Werte und sonst nur Nullen. Diese Werte müssen aber nicht unbedingt 1 sein.

$\;\;\Rightarrow\;\;$ Einheitsmatrix ist eine besondere Diagonalmatrix.

Beispiel: $4\times4$ Diagonalmatrix: $\begin{pmatrix} 2&0&0&0\\0& 5&0&0\\0&0& 8&0\\0&0& 0&5\end{pmatrix}$

Multiplikation mit einem Vektor

\displaystyle A=\begin{pmatrix}{ a}_{11}&\cdots&{ a}_{ 1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\{ a}_{m1}&\cdots&{ a}_{mn}\end{pmatrix}

$A\cdot\overrightarrow v=\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ax+by+cz\\dx+ey+fz\\gx+hy+iz\end{pmatrix}$ Analog bei nicht $3 \times 3$ Matrizen

mit $A\cdot\overrightarrow{ v}=\overrightarrow{ b}$ und $\overrightarrow{ b}=\begin{pmatrix}{ b}_1\\{ b}_2\\{ b}_3\end{pmatrix}$ $\;\;\Rightarrow\;\;\begin{pmatrix}{ax}+{by}+{cz}\\{dx}+{ey}+{fz}\\{gx}+{hy}+{iz}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{ b}_1\\{ b}_2\\{ b}_3\end{pmatrix}$

\displaystyle A=\begin{pmatrix}{ a}_{11}&\cdots&{ a}_{ 1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\{ a}_{m1}&\cdots&{ a}_{mn}\end{pmatrix}

Zugehöriges homogenes Gleichungssystem: $A\cdot\overrightarrow{ v}=0$

Allgemein

\displaystyle A=\begin{pmatrix}{ a}_{11}&\cdots&{ a}_{ 1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\{ a}_{m1}&\cdots&{ a}_{mn}\end{pmatrix}

\displaystyle A=\begin{pmatrix}{ a}_{11}&\cdots&{ a}_{ 1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\{ a}_{m1}&\cdots&{ a}_{mn}\end{pmatrix}

Hilfestellung:

\displaystyle A=\begin{pmatrix}{ a}_{11}&\cdots&{ a}_{ 1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\{ a}_{m1}&\cdots&{ a}_{mn}\end{pmatrix}

Bei der Mulltiplikation mit einem Vektor wird immer eine Spalter der Matrix mal dem Vektor genommen.

Stellt euch vor, dass der Vektor wie die Zeilen der Matrix Waagrecht, statt Senkrecht liegt und jeweils ein Wert der Matrix Zeile und ein Wert des Vektors mal genommen und dann mit einem Plus verbunden werden.

mit $b=\begin{pmatrix}{ b}_1\\\vdots\\{ b}_ n\end{pmatrix}$ $\Rightarrow\; A\cdot x= b$ $\;\;\Rightarrow\sum_{i=1}^n a_{ji}{ x}_ i={ b}_ j$

zugehöriges homogenes System: $\Rightarrow\;\; A\cdot x=0\;\;\;\Rightarrow\;\;\sum_{i=1}^n a_{ji}{ x}_ i=0\;$

Lineares Gleichungssystem

\displaystyle A=\begin{pmatrix}{ a}_{11}&\cdots&{ a}_{ 1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\{ a}_{m1}&\cdots&{ a}_{mn}\end{pmatrix}

\displaystyle A=\begin{pmatrix}{ a}_{11}&\cdots&{ a}_{ 1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\{ a}_{m1}&\cdots&{ a}_{mn}\end{pmatrix}

$\;\;\Rightarrow\;\;$ Jedes lineare Gleichungssystem lässt sich als Produkt einer Matrix mit einem Vektor schreiben, wobei A die Koeffizientenmatrix darstellt. Um dies zu lösen wird die Erweiterte Koeffizientenmatrix $\def\arraystretch{1.25} ( A \mid b) =\left(\begin{array}{ccc} a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\left|\begin{array}{c}{ b}_1\\{ b}_2\\{ b}_3\end{array}\right.\right)$ benötigt, die man dann entsprechend umformt.

Allgemein

\displaystyle A=\begin{pmatrix}{ a}_{11}&\cdots&{ a}_{ 1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\{ a}_{m1}&\cdots&{ a}_{mn}\end{pmatrix}

\displaystyle A=\begin{pmatrix}{ a}_{11}&\cdots&{ a}_{ 1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\{ a}_{m1}&\cdots&{ a}_{mn}\end{pmatrix}

Ein lineares Gleichungssystem lässt sich immer als Produkt einer Matrix mit einem Vektor schreiben.

$A$ nennt man Koeffizientenmatrix vom linearen Gleichungssystem

\displaystyle A=\begin{pmatrix}{ a}_{11}&\cdots&{ a}_{ 1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\{ a}_{m1}&\cdots&{ a}_{mn}\end{pmatrix}

Erweiterte Koeffizientenmatrix

\displaystyle A=\begin{pmatrix}{ a}_{11}&\cdots&{ a}_{ 1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\{ a}_{m1}&\cdots&{ a}_{mn}\end{pmatrix}

Um dies zu lösen benötigen wir die Erweitererte Koeffizienten Matrix $(A\mid b)$ .

Falls es mehr Gleichungen als Variablen gibt oder umgekehrt, füllt man diese mit 0.

Beispiel

\displaystyle A=\begin{pmatrix}{ a}_{11}&\cdots&{ a}_{ 1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\{ a}_{m1}&\cdots&{ a}_{mn}\end{pmatrix}

Bei der Umwandlung in eine Erweiterte Koeffizienten Matrix muss man beachten,

dass in der Matrix die Werte vor $x$ , $y$ und $z$ untereinander stehen.

Deshalb ist es von Vorteil anfangs die Gleichungen zu "sortieren".

\displaystyle A=\begin{pmatrix}{ a}_{11}&\cdots&{ a}_{ 1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\{ a}_{m1}&\cdots&{ a}_{mn}\end{pmatrix}

Umformungen

Spalten vertauschen.
Das Vielfache einer Spalte von einer anderen abziehen
Spalte durch einen Faktor teilen (Beachte: Teiler ungleich 0)

Die Erweiterte Koeffizienten Matrix kann durch diese Umformungen auf verschiedene Formen gebracht werden. Zu beachten ist, auch die Koeffizienten ${b}_1,\ldots,{b}_m$ mit umzuformen. Die häufigste Art, eine solche Matrix zu lösen, ist der Gaußalgorithmus , in dem die Matrix auf Stufenform gebracht wird, so dass sie folgende Form hat:

\displaystyle A=\begin{pmatrix}{ a}_{11}&\cdots&{ a}_{ 1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\{ a}_{m1}&\cdots&{ a}_{mn}\end{pmatrix}

Allgemein

\displaystyle A=\begin{pmatrix}{ a}_{11}&\cdots&{ a}_{ 1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\{ a}_{m1}&\cdots&{ a}_{mn}\end{pmatrix}

Wenn man diese Form erreicht hat, führt man entweder die Matrix wieder auf Gleichungen zurück und löst diese dann oder man formt weiter um, mit der Eigenschaft:

\displaystyle A=\begin{pmatrix}{ a}_{11}&\cdots&{ a}_{ 1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\{ a}_{m1}&\cdots&{ a}_{mn}\end{pmatrix}

d. h. die Matrix hat in der Diagonale 1 und sonst überall 0.

Rang einer Matrix

Formt man die Matrix zu einer Stufenform um, lässt sich leicht erkennen, welche Zeilen 0 werden. Die Anzahl der Nicht-Nullzeilen ist dann der Rang der Matrix. Besitzt eine Matrix keine Nullzeile so hat sie vollen Rang.

$\mathrm A=\begin{pmatrix}{\mathrm a}_{11}&\cdots&{ a}_{1n}\\\vdots&&\vdots\\{ a}_{r1}&\cdots&{ a}_{rn}\\0&\cdots&0\\\vdots&&\vdots\\0&\cdots&0\end{pmatrix}$ Rang von $A = \text{rg}(A) = r$

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