Die Diagonalmatrix ist der Einheitsmatrix sehr Ă€hnlich. Sie besitzt nur auf der Diagonale Werte und sonst nur Nullen. Diese Werte mĂŒssen aber nicht unbedingt 1 sein.
â Einheitsmatrix ist eine besondere Diagonalmatrix.
Die Multiplikation mit einem Skalar ist kommutativ.
Multiplikation mit einem Vektor
Multipliziert man eine Matrix von links mit einem Vektor, muss die Anzahl der Spalten der Matrix mit der Anzahl der Zeilen des Vektors ĂŒbereinstimmen.
Um das erste Element des Ergebnisvektors zu erhalten, werden die Elemente der ersten Zeile mit den Elementen des Vektors multipliziert und addiert. Dargestellt an einer 3x3 Matrix und einem 3x1 Vektor:
Aâ v=âadgâbehâcfiâââ âxyzââ=âax+by+czdx+ey+fzgx+hy+izââ=âb1âb2âb3âââ=b   Â
âax+by+cz=b1âdx+ey+fz=b2âgx+hy+iz=b3ââ
Zugehöriges homogenes Gleichungssystem:  Aâ v=0
Â
Hilfestellung:
Bei der Multiplikation mit einem Vektor wird immer eine Spalte der Matrix mal dem Vektor genommen.
Stell dir vor, dass der Vektor wie die Zeilen der Matrix waagerecht statt senkrecht liegt und jeweils ein Wert der Matrixzeile und ein Wert des Vektors multipliziert und dann mit einem Plus verbunden werden.
mit b=âb1ââźbnâââ   âAâ x=b    ââi=1nâajiâxiâ=bjâ
Um zwei Matrizen multiplizieren zu können, muss die Anzahl der Spalten der linken Matrix gleich der Anzahl der Zeilen der rechten Matrix sein.
Um die Elemente der Ergebnismatrix zu erhalten, multipliziert man die Elemente der jeweiligen Zeile der linken Matrix mit den Elementen der jeweiligen Spalte der rechten Matrix und addiert die Ergebnisse.
Um also das Element eijâ zu erhalten, multipliziert man die i-te Zeile der ersten Matrix mit den Elementen der j-ten Spalte der zweiten Matrix und addiert die Ergebnisse.
â Jedes lineare Gleichungssystem lĂ€sst sich als Produkt einer Matrix mit einem Vektor schreiben, wobei A die Koeffizientenmatrix darstellt. Um dies zu lösen, wird die erweiterte Koeffizientenmatrix (AâŁb)=âadgâbehâcfiââb1âb2âb3âââ benötigt, die man dann entsprechend umformt.
Um dies zu lösen, benötigen wir die erweiterte Koeffizientenmatrix (AâŁb).
Beispiel
2x+4yâ5z=23xâ8z+4y=93zâ4x+4y=2â
Bei der Umwandlung in eine erweiterte Koeffizientenmatrix muss man beachten,
dass in der Matrix die Werte vor x, y und z untereinander stehen.
Deshalb ist es von Vorteil, anfangs die Gleichungen zu "sortieren".
Umformungen
Die Lösung Àndert sich nicht bei diesen Umformungen:
Zeilen vertauschen.
Das Vielfache einer Zeile von einer anderen abziehen oder dazu addieren
Zeile durch eine Zahl (ungleich Null) teilen oder mit einem Faktor ungleich 0 multiplizieren.
Die erweiterte Koeffizientenmatrix kann durch diese Umformungen auf verschiedene Formen gebracht werden. Zu beachten ist, auch die Koeffizienten b1â,âŠ,bmâ mit umzuformen. Die hĂ€ufigste Art, eine solche Matrix zu lösen, ist der GauĂalgorithmus, in dem die Matrix auf Stufenform gebracht wird, sodass sie folgende Form hat:
Wenn man diese Form erreicht hat, fĂŒhrt man entweder die Matrix wieder auf Gleichungen zurĂŒck und löst diese dann oder man formt weiter um. Bei eindeutig lösbaren Gleichungssystemen kann man dann
erreichen, d. h. die Matrix hat in der Diagonale 1 und sonst ĂŒberall 0.
Rang einer Matrix
Formt man die Matrix zu einer Stufenform um, lÀsst sich leicht erkennen, welche Zeilen 0 werden. Die Anzahl der Nicht-Nullzeilen ist dann der Rang r der Matrix. Besitzt eine Matrix keine Nullzeile, so hat sie "vollen Rang".
Eine Matrix mit Rang r hat nach den Umformungen also diese Gestalt:
A=âa11â0âź00âź0ââŻâ±âŻâŻâŻââŻâ±0âŻâŻâa1rââźâźarrââŻâŻââŻâŻâŻâŻââŻâźâźâŻ0âź0ââ Rang von A=rg(A)=r
Dabei sind die Diagonalelemente a11â bis arrâ alle von null verschieden.