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Gleichsetzungsverfahren

Das Gleichsetzungsverfahren ist eine Methode, mit der man lineare Gleichungssysteme lösen kann.

Das Gleichsetzungsverfahren bietet sich an, wenn in einem Gleichungssystem in (wenigstens) zwei verschiedenen Gleichungen der gleiche Term auftaucht.

Zum Beispiel taucht im folgenden Gleichungssystem die Variable xx in beiden Gleichungen jeweils 3-mal auf:

I3x+2y=8II3xy=9\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcrcr} \mathrm{I}&\color{#CC0000}{3x}&+&2y&=&8\\ \mathrm{II}&\color{#CC0000}{3x}&-&y&=&9\end{array}

Man kann dann nach xx auflösen und die jeweils andere Seite gleichsetzen. So eliminiert man eine Variable (hier: xx) und kann die andere Variable (hier: yy) durch Einsetzen in einer der Gleichungen bestimmen.

Beispiel

Das Vorgehen soll nun am folgenden Gleichungssystem mit 22 Gleichungen und 22 Variablen demonstriert werden:

Ia+12b=5II2ab=6\def\arraystretch{2} \begin{array}{rrcrcr} \mathrm{I}&a&+&\dfrac12b&=&5\\ \mathrm{II}&2a&-&b&=&6\end{array}

1. Beide Gleichungen nach einer Variablen auflösen

Zuerst löst man beide Seiten nach einer Variablen auf. In diesem Fall zum Beispiel nach aa.

I      a+12b\displaystyle \text{I}\ \ \ \ \ \ a+\frac{1}{2}b==5\displaystyle 512b\displaystyle -\frac{1}{2}b
I’              a\displaystyle \text{I'}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \color{green}a==512b\displaystyle \color{green}5-\frac{1}{2}b
II  2ab\displaystyle \text{II}\ \ 2a-b==6\displaystyle 6+b\displaystyle +b
2a\displaystyle 2a==6+b\displaystyle 6+b
II’         a\displaystyle \text{II'}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \color{green}a==3+12b\displaystyle \color{green}3+\frac{1}{2}b

Da jetzt bei I\mathrm{I'} und II\mathrm{II'} die linken Seiten beide gleich sind, müssen auch die rechten Seiten gleich sein, also 512b=3+12b\color{green}5 - \dfrac12 b = 3 + \dfrac12 b.

Diesen Schritt nennt man "Gleichsetzen".

2. I\mathrm{I'} und II\mathrm{II'} gleichsetzen

512b=3+12b5 - \dfrac12 b = 3 + \dfrac12 b

3. Gleichung auflösen

Diese neue Gleichung hat nur noch eine Variable und kann deswegen wie gewohnt gelöst werden.

512b\displaystyle 5-\frac{1}{2}b==3+12b\displaystyle 3+\frac{1}{2}b+12b\displaystyle +\frac{1}{2}b
5\displaystyle 5==3+b\displaystyle 3+b3\displaystyle -3
2\displaystyle 2==b\displaystyle b

Diese Lösung kann man nun in eine der oberen Gleichungen einsetzen um den Wert der zweiten Variable zu berechnen.

4. Einsetzen in Gleichung I\mathrm{I'} oder II\mathrm{II'}

Welche Gleichung man dabei benutzt, ist egal! Um das Ergebnis zu prüfen, kann man es auch in beide Gleichungen einsetzen und überprüfen, ob derselbe Wert herauskommt.

b  in  II  einsetzen:\underline{b \;\text{in} \; \mathrm{II'} \;\text{einsetzen:}}

a\displaystyle a==3+12b\displaystyle 3+\frac{1}{2}b

Setze b=2b=2 ein.

==3+122\displaystyle 3+\frac{1}{2}\cdot2
==3+1\displaystyle 3+1
==4\displaystyle 4

Damit ergibt sich die Lösungsmenge

L={(4;2)}L=\left\{\left(4;2\right)\right\}

5. Probe (kann auch weggelassen werden)

Um die Lösung zu überprüfen, setzt man sie in die ursprüngliche Gleichung ein und überprüft, ob diese erfüllt sind.

I4+122=5II242=6\def\arraystretch{2} \begin{array}{rrcrcr} \mathrm{I}&4&+&\dfrac12 \cdot 2&=&5 &\color{green}{\checkmark} \\ \mathrm{II}&2\cdot 4&-&2&=&6 &\color{green}{\checkmark}\end{array}

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