Anwendungsaufgaben zu Gleichungssystemen

Wie gut kennst du dich mit Gleichungssystemen aus? Wiederhole wichtige Grundlagen und vertiefe dein Wissen mit diesen Anwendungsaufgaben!

1
Auf einer Geburtstagsparty sind $30$ Kinder.
Du weißt, dass es viermal so viele Mädchen sind wie Jungen.
Wie viele Mädchen und Jungen sind es jeweils?
Löse mit einem Gleichungssystem!
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichsetzungsverfahren
Tipp: Versuche die zwei Aussagen als Gleichungen aufzuschreiben und mithilfe eines Verfahrens für Gleichungssysteme zu lösen!
Gleichungen aus dem Text aufstellen
Wir wissen:
$30$ Kinder
$4$ Mal so viele Mädchen wie Jungen
Lege die Variablen fest.
$m$ : Anzahl der Mädchen
$j$ : Anzahl der Jungen
Es sind insgesamt $30$ Kinder! Jedes Kind ist entweder ein Mädchen oder ein Junge.
$I m + j = 30$
Die Anzahl der Mädchen ist viermal die Anzahl der Jungen.
Zu beachten: Wir müssen die Anzahl der Jungen mit $4$ multiplizieren, nicht die der Mädchen!
$II 4 j = m$
Man hat jetzt ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten.
Bedenke, dass es drei mögliche Lösungsverfahren gibt.
In dieser Lösung wird das Einsetzungsverfahren verwendet.
Einsetzungsverfahren
1. Schritt: Löse nach einer Variablen auf
Sieh dir die zweite Gleichung an, diese ist schon nach $m$ aufgelöst.
2. Schritt: Setze $m$ in $I$ ein
$m$ in $I$
$\begin{array}{rrl} 4 j + j & = & 30 \\ 5 j & = & 30 \\ j & = & 6 \end{array}$
3. Schritt: Setze $j$ in $II$ ein
$j$ in $II$
$\begin{array}{rrl} 4 \cdot 6 & = & m \\ 24 & = & m \end{array}$
Lösungsmenge bestimmen
$𝕃 = {(j | m) = (6 | 24)}$
Es sind also $6$ Jungs und $24$ Mädchen auf der Party.
2
Mick und Max gehen einkaufen. Mick kauft sich $3$ Schokoriegel und $2$ Eis und bezahlt $4,80$ €, Max kauft sich einen Schokoriegel und $2$ Eis für $3$ €. Kann sich Stefan ein Eis kaufen, wenn er $1,10$ € dabei hat?
Stefan kann sich ein Eis kaufen.
Stefan kann sich kein Eis kaufen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Gleichungssystem
Suche dir Variablen aus und stelle die Gleichungen auf
Stelle die Gleichungen möglichst gleich so auf, dass alle gleichen Variablen untereinander stehen.
$x \hat{=}$ Schokoriegel, $y \hat{=}$ Eis
$\begin{array}{rrll} I & 3 x + 2 y & = & 4,80 \\ II & 1 x + 2 y & = & 3 \end{array}$
Wie du siehst, kommt zwei mal $2 y$ vor. Deswegen lässt sich hier das Additions-/Subtraktionsverfahren gut verwenden. Da hier dasselbe Vorzeichen in beiden Gleichungen vorliegt, musst du die Gleichungen subtrahieren.
Additions-/Subtraktionsverfahren
$\begin{array}{llccll} I & 3 x & + & 2 y & = & 4,80 \\ - & II & 1 x & + & 2 y & = & 3 \\ 2 x & + & 0 & = & 1,80 \end{array}$
Nach der ersten Variablen auflösen
$\begin{array}{rrl} 2 x + 0 & = & 1,80 | : 2 \\ x & = & 0,90 \end{array}$
Setze $x$ in $I$ oder $II$ ein
$x$ in $II$
$\begin{array}{rrl} 0,90 + 2 y & = & 3 \\ 2 y & = & 2,10 \\ y & = & 1,05 \end{array}$
Lösungsmenge
$𝕃 = {(x | y) = (0,9 | 1,05)}$
Lösung im Sachkontext
Ein Schokoriegel kostet also $0,90$ € und ein Eis $1,05$ €. Stefan kann sich folglich ein Eis kaufen.
Erstelle aus dem Text ein lineares Gleichungssystem. Wähle eine Variable für die Schokoriegel und eine für das Eis.
3
Brennende Kerzen
Beide Kerze brennen langsam herunter. Da die rote Kerze deutlich dünner ist als die blaue, wird sie schneller kleiner. Am Anfang der Beobachtung ist die blaue Kerze $6$ cm und die rote $13$ cm hoch. Man hat bereits beobachtet, dass in einer Stunde die blaue um $5$ mm und die rote $9$ mm gleichmäßig herunterbrennt.
1. Stelle für beide Kerzen jeweils eine Funktionsgleichung auf, die die Höhe $h$ in Abhängigkeit der Zeit $t$ darstellt.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Funktionen
  Blaue Kerze
  Man muss die Parameter der Gleichung $h_{b l a u} (t) = m_{b l a u} \cdot t + c_{b l a u}$ finden.
  In einer Stunde wird sie $0,5$ cm kleiner. Damit beträgt die Steigung $m_{b l a u} = - 0,5$ .
  Der Y-Achsenabschnitt ist die anfängliche Höhe der Kerze: $c_{b l a u} = 6$ .
  Du erhältst so die Funktionsgleichung: $h_{b l a u} (t) = - 0,5 \cdot t + 6$
  Rote Kerze
  $h_{r o t} (t) = m_{r o t} \cdot t + c_{r o t}$
  Pro Stunde verliert die rote Kerze $0,9$ cm. Die Steigung beträgt also $m_{r o t} = - 0,9$ .
  Die rote Kerze hat anfangs eine Höhe von $c_{r o t} = 13$ .
  Du erhältst so die Funktionsgleichung: $h_{r o t} (t) = - 0,9 \cdot t + 13$
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  Die Höhe der Kerzen wird durch zwei lineare Funktionen beschrieben. Verwende als (abhängige) Variable $t$ statt $x$ , um zu verdeutlichen, dass die Höhe der Kerzen von der Zeit abhängt.
2. Berechne nun, nach wie vielen Stunden die Kerzen gleich lang sind, indem du die beiden Funktionen als Gleichungen mit den Variablen $h$ und $t$ auffasst.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungssystem
  Zuerst stellst du aus den Funktionen ein Gleichungssystem mit zwei Variablen zusammen:
  $\begin{array}{lrll} I & h & = & - 0,5 t + 6 \\ II & h & = & - 0,9 t + 13 \end{array}$
  Um nun die Zeit $t$ zu finden, an der beide Kerzen die gleiche Höhe haben, suchst du die Lösung des Gleichungssystems. Dazu bietet sich das Gleichsetzungsverfahren gut an.
  Beide Gleichungen sind bereits nach $h$ aufgelöst und können direkt gleichgesetzt werden.
  1. Gleichsetzen
  $\Rightarrow - 0,5 t + 6 = - 0,9 t + 13$
  2. Nach t auflösen
  $\begin{aligned} - 0,5 t + 6 & = & - 0,9 t + 13 & | + 0,9 t \\ 0,4 t + 6 & = & 13 & | - 6 \\ 0,4 t & = & 7 & | : 0,4 \\ t & = & 17,5 \end{aligned}$
  Die Kerzen sind also nach 17,5 Stunden, also 17 Stunden und 30 Minuten gleich hoch.
  Antwort: Nach 17 Stunden und 30 Minuten haben die Kerzen die gleiche Höhe $h$ .
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3. Hinterfrage dein Ergebnis aus $b)$ kritisch im Kontext der Aufgabe. An welcher Stelle gibt es ein Problem?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungssystem
  Höhe der Kerzen
  Nach Teilaufgabe b) haben die beiden Kerzen nach $17,5$ Stunden die gleiche Höhe. Doch wie groß sind sie? Wie bei allen Aufgaben zu Gleichungssystemen sollte man am Schluss die vollständige Lösungsmenge angeben: Das heißt zu der Zeit $t = 17,5$ muss noch die Höhe $h$ berechnet werden.
  Setze also $17,5$ in eine der Gleichungen aus b) ein und berechne $h$ .
  $\begin{array}{lll} h & = & - 0,5 \cdot (17,5) + 6 \\ = & - 8,75 + 6 \\ = & - 2,75 \end{array}$
  Setze dein Ergebnis beispielsweise in Gleichung $I$ ein und vereinfache.
  Als Lösungsmenge ergibt sich also: Nach $17,5$ Stunden sind beide Kerzen $- 2,75$ cm groß.
  Was bedeutet das $- 2,75$ cm?
  Mathematisch ergab sich für die beiden Geraden aus Teilaufgabe a) natürlich ein Schnittpunkt.
  Doch im Sachzusammenhang betrachtet, macht diese Lösung keinen Sinn. Aus der Geradengleichung der blauen Kerze $h_{b l a u} = - 0,5 t + 6$ kann man berechnen, dass diese bereits nach $12$ Stunden abgebrannt ist. (siehe dazu Berechnung von Nullstellen)
  Alternativ kannst du dir auch die Graphen der Kerzen zeichnen, um deine Löusng zu interpretieren.
  Antwort:
  Obwohl sich rechnerisch eine Lösung ergibt, sind die beiden Kerzen niemals gleich groß: Sie sind vorher heruntergebrannt.
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  Berechne zuerst, auf welche Höhe die beiden Kerzen heruntergebrannt sind, wenn sie gleich groß sind. Versuche dann noch einmal deine Ergebnisse in Bezug auf zwei brennende Kerzen in Worte zu fassen.
4
Du hast dein Moped mit einer Mischung von Superbenzin und E10 getankt. Dabei hast du für $5$ Liter dieser Mischung insgesamt $6,50$ Euro bezahlt.
Wie viel Liter sind von jeder Sorte getankt worden, wenn $1$ Liter Superbenzin $1,35$ EUR und $1$ Liter E10 $1,20$ EUR kosten?
1. Stelle aus den gegebenen Informationen ein Gleichungssystem auf.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungssysteme
  Tipp: Bezeichne mit $x$ die getankten Liter von Superbenzin und mit $y$ die getankten Liter von E10.
  Zunächst bezeichne die Größen mit geeigneten Variablen:
  getankte Liter von Superbenzin $\hat{=}$ $x$
  getankte Liter von E10 $\hat{=}$ $y$
  Als nächstes musst du alle Informationen ordnen. Einerseits hast du Literangaben und andererseits hast du Geldangaben.
  Wichtig: $x$ und $y$ sind in beiden Angaben enthalten.
  Also:
  Literangaben: $x$ Liter, $y$ Liter, $5$ Liter
  Geldangaben: $1,35 \cdot x$ Euro, $1,20 \cdot y$ Euro, $6,50$ Euro
  Im letzten Schritt stellst du aus den jeweiligen Angaben eine Gleichung auf.
  Die erste Gleichung erhältst du durch die Information, dass $x$ Liter und $y$ Liter sich zu $5$ Liter addieren.
  $I x + y = 5$
  Die zweite Gleichung erhältst du durch die Information, dass $1,35 \cdot x$ Euro und $1,20 \cdot y$ Euro sich zu $6,50$ Euro addieren.
  $II 1,35 \cdot x + 1,20 \cdot y = 6,50$
  Sowohl Gleichung $I$ als auch Gleichung $II$ müssen laut Text erfüllt sein. Das Problem aus der Aufgabe kannst du also mit folgendem Gleichungssystem darstellen.
  $\begin{array}{rrll} I & x & + & y & = 5 \\ II & 1,35 \cdot x & + & 1,2 \cdot y & = 6,5 \end{array}$
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2. Löse das Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren. Beachte bei der Rechnung nicht den Sachzusammenhang.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichsetzungsverfahren
  Lineares Gleichungssystem mit Gleichsetzungsverfahren
  $I x + y = 5$
  $II 1,35 \cdot x + 1,2 \cdot y = 6,5$
  1. Beide Gleichungen nach y auflösen
  Löse beide Gleichungen nach einer Variablen auf. Dabei ist in diesem Fall egal, ob du $x$ oder $y$ nimmst.
  $I x + y$ $=$ $5$ $- x$
  $I ´ y$ $=$ $5 - x$
  $I I 1,35 \cdot x + 1,2 \cdot y$ $=$ $6,5$ $- 1,35 \cdot x$
  $I I 1,2 \cdot y$ $=$ $6,5 - 1,35 \cdot x$ $: 1,2$
  $I I ´ y$ $=$ $\frac{65}{12} - 1,125 \cdot x$
  2. Gleichsetzen
  Setze die beiden Gleichungen $I$ und $I I^{'}$ gleich.
  $\Rightarrow 5 - x = \frac{65}{12} - 1,125 \cdot x$
  3. Gleichung nach x auflösen
  $5 - x$ $=$ $\frac{65}{12} - 1,125 \cdot x$ $+ 1,125 \cdot x - 5$
  $0,125 \cdot x$ $=$ $\frac{5}{12}$ $: 0,125$
  $x$ $=$ $\frac{10}{3}$
  4. x einsetzen, um y heraus zu finden
  Setze $x$ in $I^{'}$ oder $I I^{'}$ ein.
  $I^{'} y = 5 - \frac{10}{3} = \frac{5}{3}$
  Gib die Lösungsmenge an.
  $L = {(\frac{10}{3}; \frac{5}{3})}$
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3. Wie ist die gefundene Lösung aus Teilaufgabe b) im Sinne der ursprünglichen Aufgabe zu verstehen?
  
  Es wurden $x = \frac{10}{3} \approx 3,3$ Liter Superbenzin und $y = \frac{5}{3} \approx 1,7$ Liter E10 getankt.
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5
Dein Freund kauft bei einer großen Fastfood-Kette eine wilde Mischung aus Hamburger und Cheeseburger. Die Anzahl aller Burger beträgt $12$ und kosten zusammen $12,68$ Euro.
Es gilt: Ein Hamburger kostet $0,99$ Euro und ein Cheeseburger $1,19$ Euro.
1. Stelle mit den Informationen aus dem Text ein lineares Gleichungssystem auf.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Gleichungssystem
  Tipp: Bezeichne mit $x$ die Anzahl der Hamburger und mit $y$ die Anzahl der Cheeseburger.
  Zunächst bezeichne die Größen mit geeigneten Variablen:
  Anzahl der Hamburger $\hat{=}$ $x$
  Anzahl der Cheeseburger $\hat{=}$ $y$
  Als nächstes musst du alle Informationen ordnen. Einerseits hast du Mengenangaben und andererseits hast du Geldangaben.
  Wichtig: $x$ und $y$ sind in beiden Angaben enthalten.
  Also:
  Mengenangaben: $x$ Hamburger, $y$ Cheeseburger, Gesamtanzahl: $12$ Burger
  Geldangaben: $0,99 \cdot x$ Euro, $1,19 \cdot y$ Euro, $12,68$ Euro
  Im letzten Schritt stellst du aus den jeweiligen Angaben eine Gleichung auf.
  Die erste Gleichung erhältst du durch die Information, dass $x$ Hamburger und $y$ Cheeseburger sich zu $12$ Burger addieren.
  $I x + y = 12$
  Die zweite Gleichung erhältst du durch die Information, dass $0,99 \cdot x$ Euro und $1,19 \cdot y$ Euro sich zu $12,68$ Euro addieren.
  $II 0,99 \cdot x + 1,19 \cdot y = 12,68$
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2. Zeige, dass $x = 8$ Hamburger und $y = 4$ Cheeseburger eine Lösung des Gleichungssystems ist.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Gleichungssystem
  Tipp: Du musst hier nicht das lineare Gleichungssystem ausrechnen. Es geht viel einfacher!
  Wenn du zeigen möchtest, dass $x$ und $y$ eine Lösung eines beliebigen linearen Gleichungssystems ist, musst du die Unbekannten in die Gleichungen des Systems einsetzen. Am Ende muss jede Gleichung eine wahre Aussage ergeben.
  Setze also $x = 8$ und $y = 4$ in die Gleichungen ein:
  $\begin{array}{rrll} I & x + y & = & 12 \\ II & 0,99 \cdot x + 1,19 \cdot y & = & 12,68 \end{array}$
  Setze die Werte ein.
  $\begin{array}{rrll} I & 8 + 4 & = & 12 \\ II & 0,99 \cdot 8 + 1,19 \cdot 4 & = & 12,68 \end{array}$
  Rechne aus. Falls links und rechts die gleiche Zahl steht, ist die Aussage wahr.
  $\begin{array}{rrll} I & 12 & = & 12 \\ II & 12,68 & = & 12,68 \end{array}$
  Du siehst sofort, dass $x = 8$ Hamburger und $y = 4$ Cheeseburger eine wahre Aussage liefern.
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3. Warum gibt es nur genau eine Lösung?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Gleichungssystem
  Ein lineares Gleichungssystem kann entweder keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen haben.
  Die Gleichungen sind linear und nicht identisch. Zudem gibt es nur $2$ Gleichungen. Damit gibt es maximal nur einen Schnittpunkt. Maximal ein Schnittpunkt bedeutet, dass es entweder keinen oder einen Schnittpunkt gibt. Aus Aufgabenteil b) weißt du aber schon, dass ersteres nicht stimmt, da $x = 8$ und $y = 4$ eine Lösung ist. Deswegen hat das Gleichungssystem genau eine Lösung.
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6
Vater und Sohn sind zusammen 34 Jahre alt. Wie alt ist jeder von ihnen, wenn der Unterschied ihres Alters 26 Jahre beträgt?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen
$v$ entspricht Alter des Vaters.
$s$ entspricht Alter des Sohns.
Vater und Sohn sind zusammen 34 Jahre alt.
Gleichung aufstellen.
$v + s = 34$
Der Unterschied ihres Alters beträgt 26 Jahre.
Gleichung aufstellen.
$v - s$ $=$ $26$
↓
Nach $v$ auflösen.
$v$ $=$ $s + 26$
↓
In die obere Gleichung einsetzen.

$26 + 2 s$ $=$ $34$
↓
Nach $s$ auflösen.
$2 s$ $=$ $8$
$s$ $=$ $4$
Das Alter des Sohnes ist 4 Jahre.
Alter des Vaters berechnen.
$34 - 4 = 30$
Das Alter des Vaters ist 30 Jahre.
$\Rightarrow$ Der Altersunterschied beträgt $26$ Jahre wenn der Vater $30$ Jahre und der Sohn $4$ Jahre alt ist.
Wir stellen aus den gegebenen Informationen eine Gleichung auf.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$I x + y$	$=$	$5$	$- x$
$I ´ y$	$=$	$5 - x$
$I I 1,35 \cdot x + 1,2 \cdot y$	$=$	$6,5$	$- 1,35 \cdot x$
$I I 1,2 \cdot y$	$=$	$6,5 - 1,35 \cdot x$	$: 1,2$
$I I ´ y$	$=$	$\frac{65}{12} - 1,125 \cdot x$

$5 - x$	$=$	$\frac{65}{12} - 1,125 \cdot x$	$+ 1,125 \cdot x - 5$
$0,125 \cdot x$	$=$	$\frac{5}{12}$	$: 0,125$
$x$	$=$	$\frac{10}{3}$

$v - s$	$=$	$26$
	↓	Nach $v$ auflösen.
$v$	$=$	$s + 26$
	↓	In die obere Gleichung einsetzen.
$26 + 2 s$	$=$	$34$
	↓	Nach $s$ auflösen.
$2 s$	$=$	$8$
$s$	$=$	$4$

Anwendungsaufgaben zu Gleichungssystemen

Gleichungen aus dem Text aufstellen

Einsetzungsverfahren

1. Schritt: Löse nach einer Variablen auf

2. Schritt: Setze m in I ein

3. Schritt: Setze j in II ein

Lösungsmenge bestimmen

Suche dir Variablen aus und stelle die Gleichungen auf

Additions-/Subtraktionsverfahren

Nach der ersten Variablen auflösen

Setze x in I oder II ein

Lösungsmenge

Lösung im Sachkontext

Blaue Kerze

Rote Kerze

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Höhe der Kerzen

Was bedeutet das −2,75 cm?

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2. Schritt: Setze $m$ in $I$ ein

3. Schritt: Setze $j$ in $II$ ein

Setze $x$ in $I$ oder $II$ ein

Was bedeutet das $- 2,75$ cm?