Blaue Kerze

Man muss die Parameter der Gleichung $h_{blau}(t)=m_{blau}\cdot t+c_{blau}$ finden.

In einer Stunde wird sie $0{,}5$ cm kleiner. Damit beträgt die Steigung $m_{blau} = -0{,}5$.

Der Y-Achsenabschnitt ist die anfängliche Höhe der Kerze: $c_{blau}=6$.

Du erhältst so die Funktionsgleichung: $h_{blau}(t)=-0{,}5\cdot t+6$

Rote Kerze

$h_{rot}(t)=m_{rot}\cdot t+c_{rot}$

Pro Stunde verliert die rote Kerze $0{,}9$ cm. Die Steigung beträgt also $m_{rot} = -0{,}9$.

Die rote Kerze hat anfangs eine Höhe von $c_{rot}=13$.

Du erhältst so die Funktionsgleichung: $h_{rot}(t) = -0{,}9 \cdot t +13$

Zuerst stellst du aus den Funktionen ein Gleichungssystem mit zwei Variablen zusammen:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lrll}\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I} &h &= &-0{,}5t+6 \\\mathrm{II} &h &= &-0{,}9t+13\end{array}$

Um nun die Zeit $t$ zu finden, an der beide Kerzen die gleiche Höhe haben, suchst du die Lösung des Gleichungssystems. Dazu bietet sich das Gleichsetzungsverfahren gut an.

Beide Gleichungen sind bereits nach $h$ aufgelöst und können direkt gleichgesetzt werden.

Die Kerzen sind also nach 17,5 Stunden, also 17 Stunden und 30 Minuten gleich hoch.

Antwort: Nach 17 Stunden und 30 Minuten haben die Kerzen die gleiche Höhe $h$.

Höhe der Kerzen

Nach Teilaufgabe b) haben die beiden Kerzen nach $17{,}5$ Stunden die gleiche Höhe. Doch wie groß sind sie? Wie bei allen Aufgaben zu Gleichungssystemen sollte man am Schluss die vollständige Lösungsmenge angeben: Das heißt zu der Zeit $t = 17{,}5$ muss noch die Höhe $h$ berechnet werden.

Setze also $17{,}5$ in eine der Gleichungen aus b) ein und berechne $h$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lll}h &= &-0{,}5\cdot (\color{red}{17{,}5}) + 6 \\&= &-8{,}75 +6 \\&= &-2{,}75\end{array}$

Setze dein Ergebnis beispielsweise in Gleichung $\mathrm{I}$ ein und vereinfache.

Als Lösungsmenge ergibt sich also: Nach $17{,}5$ Stunden sind beide Kerzen $-2{,}75$ cm groß.

Was bedeutet das $\color{red}{-}2{,}75$ cm?

Mathematisch ergab sich für die beiden Geraden aus Teilaufgabe a) natürlich ein Schnittpunkt.

Doch im Sachzusammenhang betrachtet, macht diese Lösung keinen Sinn. Aus der Geradengleichung der blauen Kerze $h_{blau} = -0{,}5t+6$ kann man berechnen, dass diese bereits nach $12$ Stunden abgebrannt ist. (siehe dazu Berechnung von Nullstellen)

Alternativ kannst du dir auch die Graphen der Kerzen zeichnen, um deine Löusng zu interpretieren.

Antwort:

Obwohl sich rechnerisch eine Lösung ergibt, sind die beiden Kerzen niemals gleich groß: Sie sind vorher heruntergebrannt.