Es ist mit Hilfe der Matrixdarstellung möglich, zu bestimmen, wie viele Lösungen ein lineares Gleichungssystem hat, ohne es vorher zu lösen.
Es gibt drei Möglichkeiten für die Anzahl an Lösungen eines Gleichungssystems:
Keine Lösung
Genau eine Lösung
Unendlich viele Lösungen.
Dies kann man sich an einem Beispiel leicht verdeutlichen, indem man das Gleichungssystem graphisch darstellt:
Beispiel
Die Graphen der einzelnen linearen Gleichungen, also die Geraden, schneiden sich entweder
in einem gemeinsamen Punkt eine Lösung,
liegen aufeinander (sind also gleich) unendlich viele Lösungen, oder
sind echt parallel zueinander, haben also keinen gemeinsamen Punkt keine Lösung
Lösbarkeit mit der Matrixdarstellung bestimmen
Im Folgenden betrachten wir quadratische lineare Gleichungssysteme, das heißt lineare Gleichungssysteme mit genau so vielen Gleichungen wie Variablen.
Vorgehensweise
Die Vorgehensweise wird hier an einem Gleichungssystem mit drei Gleichungen beschrieben. Sie ist jedoch auch für Gleichungssysteme mit mehr oder weniger Gleichungen gültig.
1. Darstellung als erweiterte Koeffizientenmatrix
2. Auf Zeilenstufenform bringen
Die erweiterte Koeffizientenmatrix auf Zeilenstufenform bringen heißt, dass die Koeffizienten eliminiert werden, zum Beispiel mit Hilfe des Gaußverfahrens.
3. Rang bestimmen
Der Rang einer Matrix ist die Anzahl der Zeilen in der Zeilenstufenform der Matrix, die wenigstens einen Eintrag ungleich Null haben. Man schreibt für den Rang der Matrix .
Bestimme den Rang der Matrix und den Rang der erweiterten Matrix .
4. Ränge vergleichen
bezeichnet nun die Anzahl der Variablen bzw. die Anzahl der Spalten der Matrix. Es gibt nun drei Möglichkeiten:
Kriterium
Beispiel
Lösbarkeit
1.
Es gibt genau eine Lösung.
2.
Es gibt unendlich viele Lösungen.
3.
Es gibt keine Lösung.
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