Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen

Es ist mit Hilfe der Matrixdarstellung möglich, zu bestimmen, wie viele Lösungen ein lineares Gleichungssystem hat, ohne es vorher zu lösen.

Es gibt drei Möglichkeiten für die Anzahl an Lösungen eines Gleichungssystems:

1. Keine Lösung

2. Genau eine Lösung

3. Unendlich viele Lösungen.

Dies kann man sich an einem Beispiel leicht verdeutlichen, indem man das Gleichungssystem graphisch darstellt:

Beispiel

Die Graphen der einzelnen linearen Gleichungen, also die Geraden, schneiden sich entweder

• in einem gemeinsamen Punkt $\to$ eine Lösung,

• liegen aufeinander (sind also gleich) $\to$ unendlich viele Lösungen, oder

• sind echt parallel zueinander, haben also keinen gemeinsamen Punkt $\to$ keine Lösung

Lösbarkeit mit der Matrixdarstellung bestimmen

Im Folgenden betrachten wir quadratische lineare Gleichungssysteme, das heißt lineare Gleichungssysteme mit genau so vielen Gleichungen wie Variablen.

Vorgehensweise

Die Vorgehensweise wird hier an einem Gleichungssystem mit drei Gleichungen beschrieben. Sie ist jedoch auch für Gleichungssysteme mit mehr oder weniger Gleichungen gültig.

1. Darstellung als erweiterte Koeffizientenmatrix

2. Auf Zeilenstufenform bringen

Die erweiterte Koeffizientenmatrix auf Zeilenstufenform bringen heißt, dass die Koeffizienten $x_2, x_3, y_3$ eliminiert werden, zum Beispiel mit Hilfe des Gaußverfahrens.

3. Rang bestimmen

Der Rang einer Matrix ist die Anzahl der Zeilen in der Zeilenstufenform der Matrix, die wenigstens einen Eintrag ungleich Null haben. Man schreibt $rg(A)$ für den Rang der Matrix $A$.

Bestimme den Rang der Matrix $\def\arraystretch{1.25} \tilde{A}=\left(\begin{array}{ccc} x_1&y_1&z_1\\ 0&\tilde{y}_2&\tilde{z}_2\\ 0&0&\tilde{z}_3 \end{array}\right)$ und den Rang der erweiterten Matrix $(\tilde{A}|\tilde{b})$.

4. Ränge vergleichen

$n$ bezeichnet nun die Anzahl der Variablen bzw. die Anzahl der Spalten der Matrix. Es gibt nun drei Möglichkeiten: