Aufgaben zur Lagebeziehung zweier Ebenen

Untersuche die gegenseitige Lage der gegebenen Ebenen in Koordinatenform. Bestimme die Schnittgerade, falls sich die Ebenen schneiden.

${\mathrm E}_1:\;-{\mathrm x}_1+2\cdot{\mathrm x}_2+{\mathrm x}_3=1$

${\mathrm E}_2:\;{\mathrm x}_1+4\cdot{\mathrm x}_2+3\cdot{\mathrm x}_3=7$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen

Gegeben sind die beiden Ebenen:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcrcrcr}E_1 : & -x_1 &+ &2\cdot x_2 &+ & x_3 &= &1\\E_2 : & x_1 &+ &4\cdot x_2 &+ &3\cdot x_3 &= &7\end{array}$

Die beiden Ebenengleichungen zusammen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Es ist also ein unterbestimmtes Gleichungssystem.

Gleichungssystem lösen

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcrcrcr}\mathrm {(I)} & -x_1 &+ &2\cdot x_2 &+ & x_3 &= &1\\\mathrm {(II)} & x_1 &+ &4\cdot x_2 &+ &3\cdot x_3 &= &7\end{array}$

Löse eine der beiden Gleichungen nach einer der Variablen auf,

z.B. die erste Gleichung nach $x_3$ .

$\displaystyle \left(\text{I}\right)\ -x_1+2x_2+x_3$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle +x_1-2x_2$
$\displaystyle \left(\text{I}'\right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_3$	$=$	$\displaystyle 1+x_1-2x_2$

Setze dies in die Gleichung $\mathrm {(II)}$ ein.

$\mathrm {(I')}$ in $\mathrm{(II)}$ :

$\displaystyle \left(\text{II}\right)\ \ \ x_1+4x_2+3x_3$	$=$	$\displaystyle 7$
	↓	Setze $x_3=1+x_1-2x_2$ ein.
$\displaystyle x_1+4x_2+3\cdot(1+x_1-2x_2)$	$=$	$\displaystyle 7$
	↓	Multipliziere die Klammer aus.
$\displaystyle x_1+4x_2+3+3x_1-6x_2$	$=$	$\displaystyle 7$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 4x_1-2x_2+3$	$=$	$\displaystyle 7$	$\displaystyle -3$
	↓	Vereinfache die Gleichung, indem du die konstanten Terme auf dieselbe Seite bringst und zusammenrechnest.
$\displaystyle 4x_1-2x_2$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle -4x_1$
	↓	Löse diese Gleichung jetzt nach einer der Variablen auf, zum Beispiel nach $x_2$ .
$\displaystyle -2x_2$	$=$	$\displaystyle 4-4x_1$	$\displaystyle :\left(-2\right)$
$\displaystyle \left(\text{II}'\right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_2$	$=$	$\displaystyle -2+2x_1$

Setze dies wiederum in $\mathrm{(I')}$ ein.

$\mathrm {(II')}$ in $\mathrm{(I')}$ :

$\displaystyle \left(\text{I}'\right)\ \ \ \ \ x_3$	$=$	$\displaystyle 1+x_1-2x_2$
	↓	Setze $x_2=-2+2x_1$ ein.
$\displaystyle x_3$	$=$	$\displaystyle 1+x_1-2\cdot\left(-2+2x_1\right)$
	↓	Löse die Klammer auf.
$\displaystyle x_3$	$=$	$\displaystyle 1+x_1+4-4x_1$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle x_3$	$=$	$\displaystyle 5-3x_1$

Das ist die neue Gleichung, die du statt Gleichung $\mathrm{(I')}$ nun erhalten hast.

$\Rightarrow \mathrm {(I'')} \quad x_3 = 5-3x_1$

Da das Gleichungssytem zwar drei Unbekannte enthält, aber nur aus zwei Gleichungen besteht, ist es unterbestimmt. Das heißt, es wird keine eindeutig bestimmte Lösung dazu geben.

Du hast jedoch mit den Gleichungen $\mathrm{(II')}$ und $\mathrm{(I'')}$ das Gleichungssystem so umgeformt, dass du $x_2$ und $x_3$ in Abhängigkeit von $x_1$ dargestellt hast.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcrcr}\mathrm {(II')} &x_2 &=&-2&+&2x_1 \\\mathrm {(I'')} &x_3 &= &5&-&3x_1\end{array}$

Betrachte nun $x_1$ als Parameter, der einen beliebigen reellen Wert annehmen kann, und wähle dafür geeigneter Weise irgendeinen für Parameter "üblichen" Buchstaben als Bezeichnung.

Setze $t=x_1$ . Dadurch kannst du $x_1$ , $x_2$ und $x_3$ in Abhängigkeit von t ausdrücken.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}x_1&=&t\\x_2&=&-2+2t\\x_3&=&5-3t\end{array}$

Damit kannst du die Lösungsmenge angeben.

$\mathbb L= \{ (t|-2+2t|5-3t)\ \big| \ t\in \mathbb R \}$

Gleichung der Schnittgerade angeben

Mit Vektoren geschrieben, sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:

\displaystyle g:\;\;\vec{x}=\begin{pmatrix}t\\-2+2t\\5-3t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-2\\5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}

Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen hat die Gleichung:

\displaystyle g:\;\;\vec{x}=\begin{pmatrix}t\\-2+2t\\5-3t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-2\\5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}

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${\mathrm E}_1:\;-4\cdot{\mathrm x}_1+3\cdot{\mathrm x}_2+2\cdot{\mathrm x}_3=5$

${\mathrm E}_2:\;2\cdot{\mathrm x}_1+{\mathrm x}_2-{\mathrm x}_3=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen

Gegeben sind die beiden Ebenen:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcrcrcr}E_1 : & -4 \cdot x_1 &+ &3\cdot x_2 &+ & 2\cdot x_3 &= &5\\E_2 : & 2\cdot x_1 &+ & x_2 &- &x_3 &= &0\end{array}$

Die beiden Ebenengleichungen zusammen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Es ist also ein unterbestimmtes Gleichungssystem.

Gleichungssystem lösen

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcrcrcr}\mathrm {(I)} & -4x_1 &+ &3x_2 &+ & 2x_3 &= &5\\\mathrm {(II)} & 2x_1 &+ &1\cdot x_2 &- &1\cdot x_3 &= &0\end{array}$

Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um eine der Variablen zu eliminieren. Zum Beispiel: Durch die Rechnung $(\text I)+2(\text{II})$ eliminierst du sogar 2 Unbekannte.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcrcrcr}\mathrm {(I)} & -4x_1 &+ &3x_2 &+ & 2x_3 &= &5\\+2\cdot\mathrm {(II)} & 2x_1 &+ &1\cdot x_2 &- &1\cdot x_3 &= &0\end{array}$

$\overline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0x_1\;\;\;+\;\;\;5x_2\;\;\;\;\;\;+\;\;0x_3\;\;\;\;\;\;=\;5\;\;\;}$

Löse die entstandene Gleichung nach der verbleibenden Variable $x_2$ auf.

$\displaystyle 5x_2$	$=$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle :5$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle 1$

Setze $x_2=1$ in $(\text I)$ ein, um $x_1$ oder $x_3$ in Abhängigkeit zueinander darzustellen:

$\displaystyle \left(\text{I}\right)\ \ -4x_1+3x_2+2x_3$	$=$	$\displaystyle 5$
	↓	Setze $x_2=1$ ein.
$\displaystyle -4x_1+3\cdot1+2x_3$	$=$	$\displaystyle 5$
$\displaystyle -4x_1+3+2x_3$	$=$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle -3$
	↓	Drücke $x_1$ in Abhängigkeit von $x_3$ aus und bringe alle Terme ohne $x_1$ auf die rechte Seite.
$\displaystyle -4x_1+2x_3$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle -2x_3$
$\displaystyle -4x_1$	$=$	$\displaystyle 2-2x_3$	$\displaystyle :\left(-4\right)$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle -\frac{2}{4}+\frac{2}{4}x_3$
	↓	Kürze die Brüche.
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}+\frac{1}{2}x_3$

Wähle nun $x_3=t$ . Dadurch kannst du $x_1$ , $x_2$ und $x_3$ in Abhängigkeit von $t$ ausdrücken.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} x_1&=&-\frac12+\frac12t\\x_2&=&1\\x_3&=&t\end{array}$

Somit hat die Lösungsmenge des Gleichungssystems folgende Form:

$\mathbb{L}=\{(-0{,}5+0{,}5t\vert 1\vert t)\vert \ t\in \mathbb R \}$

Gleichung der Schnittgeraden angeben

Mit Vektoren geschrieben sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:

\displaystyle g:\;\;\vec{x}=\begin{pmatrix}t\\-2+2t\\5-3t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-2\\5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}

Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen hat die Gleichung:

\displaystyle g:\;\;\vec{x}=\begin{pmatrix}t\\-2+2t\\5-3t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-2\\5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}

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${\mathrm E}_1:\;-{\mathrm x}_1+2\cdot{\mathrm x}_2-2\cdot{\mathrm x}_3=5$
${\mathrm E}_2:\;2\cdot{\mathrm x}_1-4\cdot{\mathrm x}_2+4\cdot{\mathrm x}_3=-10$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Gegeben sind die beiden Ebenen:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcrcrcr}E_1 : & - x_1 &+ &2 x_2 &- & 2 x_3 &= &5\\E_2 : & 2 x_1 &- & 4x_2 &+ &4x_3 &= &-10\end{array}$
Die beiden Ebenengleichungen zusammen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Es ist also ein unterbestimmtes Gleichungssystem.
Gleichungssystem lösen
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcrcrcr}\mathrm {(I)} & -x_1 &+ &2x_2 &- & 2x_3 &= &5\\\mathrm {(II)} & 2x_1 &- &4 x_2 &+ &4x_3 &= &-10\end{array}$
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel: $2(\text I)+(\text{II})$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcrcrcr}2\cdot\mathrm {(I)} & -x_1 &+ &2x_2 &- & 2x_3 &= &5\\+\;\;\;\;\;\mathrm {(II)} & 2x_1 &- &4 x_2 &+ &4x_3 &= &-10\end{array}$
$\overline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0x_1\;\;+\;\;0x_2\;\;\;+\;\;\;\;0x_3\;\;\;=\;\;\;0\;\;\;\;\;\;}$
Da das Ergebnis aus der Addition der Gleichungen eine Gleichung ist, die immer richtig ist ( $0=0$ ), sind die beiden Gleichungen $(\text I)$ und $(\text{II})$ identisch. Somit sind die Ebenen auch gleich und liegen aufeinander.
Lösung: Die Ebenen sind identisch.
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1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
${\mathrm E}_1:\;-{\mathrm x}_1+2\cdot{\mathrm x}_2+{\mathrm x}_3=1$
${\mathrm E}_2:\;2\cdot{\mathrm x}_1-4\cdot{\mathrm x}_2-2\cdot{\mathrm x}_3=-5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Gegeben sind die beiden Ebenen:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcrcrcr}E_1 : & - x_1 &+ &2 x_2 &- & x_3 &= &1\\E_2 : & 2 x_1 &- & 4x_2 &- &2x_3 &= &-5\end{array}$
Die beiden Ebenengleichungen zusammen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Es ist also ein unterbestimmtes Gleichungssystem.
Gleichungssystem lösen
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcrcrcr}(\text I) & - x_1 &+ &2 x_2 &- & x_3 &= &1\\(\text{II}) & 2 x_1 &- & 4x_2 &- &2x_3 &= &-5\end{array}$
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel: $2(\text I)+(\text{II})$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcrcrcr}2\cdot (\text I) & - x_1 &+ &2 x_2 &- & x_3 &= &1\\+\;\;\;\;\;(\text{II}) & 2 x_1 &- & 4x_2 &- &2x_3 &= &-5\end{array}$
$\overline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0x_1\;\;+\;\;0x_2\;\;\;+\;\;\;\;0x_3\;\;\;=\;\;-3\;\;\;\;\;\;}$
Es existiert keine Lösung des linearen Gleichungssystems. Die Gleichung, die sich aus der Addition der Gleichungen $(\text I)$ und $(\text{II})$ ergibt, ist immer falsch ( $0=-3$ ). Daher sind die Ebenen parallel zueinander.
Antwort: Die Ebenen verlaufen echt parallel zueinander.
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1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.

${\mathrm E}_1:\;{\mathrm x}_1+{\mathrm x}_2-{\mathrm x}_3-1=0$

${\mathrm E}_2:\;4\cdot{\mathrm x}_1-{\mathrm x}_2-{\mathrm x}_3-3=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen

Gegeben sind die beiden Ebenen: $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl} E_1:\;\;\;x_1 & + & x_2 & - & x_3 &-&1& = & 0\\ E_2: 4\cdot x_1 & - & x_2 & - & x_3 &-&3&=& 0 \end{array}$

Die beiden Ebenengleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Es ist also ein unterbestimmtes Gleichungsystem.

Gleichungssystem lösen

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl} \mathrm{(I)}&\;\;\;x_1 & + & x_2 & - & x_3 & = & 1 \\ \mathrm{(II)}& 4\cdot x_1 & - & x_2 & - & x_3 &=& 3 \end{array}$

Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel: $(\text I)+(\text{II})$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rccccccl} \mathrm{(I)}&\;\;\;x_1 & + & x_2 & - & x_3 & = & 1 \\+\;\; \mathrm{(II)}& 4\cdot x_1 & - & x_2 & - & x_3 &=& 3 \end{array}$

$\overline{\;\;\;\;=(\text I ')\;\;\;\;\;5x_1\;\;+\;\;0x_2\;\;\;-\;\;2x_3\;\;\;=\;\;4\;\;\;\;\;\;}$

Die neu entstandene Gleichung $\mathrm{(I')}$ kannst du nun nach $x_1$ auflösen.

$\displaystyle \left(\text{I}'\right)\ \ \ 5x_1-2x_3$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle +2x_3$
$\displaystyle 5x_1$	$=$	$\displaystyle 4+2x_3$	$\displaystyle :5$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \frac{4}{5}+\frac{2}{5}x_3$
	↓	Wandle in Dezimalbrüche um.
$\displaystyle \left(\text{II}'\right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_1$	$=$	$\displaystyle 0{,}8\ +0{,}4x_3$

Nun hast du $x_1$ in Abhängigkeit von $x_3$ dargestellt. Stelle nun auch noch $x_2$ in Abhängigkeit von $x_3$ dar. Setze dafür zum Beispiel Gleichung $\mathrm{(II')}$ in Gleichung $\mathrm{(I)}$ ein und löse nach $x_2$ auf:

$(\text{II}')$ in $(\text I)$ :

$\displaystyle x_1+x_2-x_3$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Setze $x_1=0{,}8+0{,}4x_3$ ein.
$\displaystyle \left(0{,}8+0{,}4x_3\right)+x_2-x_3$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Löse die Klammer auf.
$\displaystyle 0{,}8+0{,}4x_3+x_2-x_3$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle 0{,}8+x_2-0{,}6x_3$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle -0{,}8+0{,}6x_3$
	↓	Löse nach $x_2$ auf.
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle 0{,}2+0{,}6x_3$

Wähle nun $x_3=t$ . Dadurch kannst du $x_1$ , $x_2$ und $x_3$ in Abhängigkeit von $t$ ausdrücken.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}x_1&=&0{,}8+0{,}4t\\x_2&=&0{,}2+0{,}6t\\x_3&=&t\end{array}$

Somit hat die Lösungsmenge des Gleichungssystems folgende Form:

\displaystyle g:\;\;\vec{x}=\begin{pmatrix}t\\-2+2t\\5-3t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-2\\5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}

Gleichung der Schnittgeraden angeben

Mit Vektoren geschrieben sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:

\displaystyle g:\;\;\vec{x}=\begin{pmatrix}t\\-2+2t\\5-3t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-2\\5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}

Das ist die Gleichung der Schnittgeraden zwischen den beiden Ebenen.

Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen $E_1$ und $E_2$ hat die Gleichung:

\displaystyle g:\;\;\vec{x}=\begin{pmatrix}t\\-2+2t\\5-3t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-2\\5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}

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${\mathrm E}_1:\;2\cdot{\mathrm x}_1-3\cdot{\mathrm x}_2+{\mathrm x}_3=2$
${\mathrm E}_2:\;-6\cdot{\mathrm x}_1+9\cdot{\mathrm x}_2-3\cdot{\mathrm x}_3=5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Gegeben sind die beiden Ebenen: $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl} E_1:\;\;2x_1 & - &3 x_2 & + & x_3 & = & 2 \\ E_2:-6x_1 & + & 9x_2 & - & 3x_3 &=& 5 \end{array}$
Die beiden Ebenengleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten, es ist also ein unterbestimmtes Gleichungssystem.
Lösen des Gleichungssystems
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl} \mathrm{(I)}&\;\;\;2x_1 & - &3 x_2 & + & x_3 & = & 2 \\ \mathrm{(II)}& -6x_1 & + & 9x_2 & - & 3x_3 &=& 5 \end{array}$
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel: $3\cdot(\text I)+(\text{II})$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rccccccl} 3\cdot \mathrm{(I)}&\;\;\;2x_1 & - &3 x_2 & + & x_3 & = & 2 \\+\;\;\;\;\; \mathrm{(II)}& -6x_1 & + & 9x_2 & - & 3x_3 &=& 5 \end{array}$
$\overline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0x_1\;\;+\;\;0x_2\;\;\;+\;\;\;\;0x_3\;\;=\;11\;\;\;\;\;\;}$
Es existiert keine Lösung des linearen Gleichungssystems. Die Gleichung, die sich aus der Addition der Gleichungen $(\text I)$ und $(\text{II})$ ergibt, ist immer falsch ( $0=11$ ). Daher sind die Ebenen parallel zueinander.
Antwort: Die beiden Ebenen $E_1$ und $E_2$ sind parallel zueinander.
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1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.

${\mathrm E}_1:\;-{\mathrm x}_1+2\cdot{\mathrm x}_2+5\cdot{\mathrm x}_3=10$

${\mathrm E}_2:\;2\cdot{\mathrm x}_1-4\cdot{\mathrm x}_2+{\mathrm x}_3=4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen

Gegeben sind die beiden Ebenen: $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl} E_1:-x_1 & + & 2x_2 & + & 5x_3 & = & 10\\ E_2:\; 2x_1 & - & 4x_2 & + & x_3 &=& 4 \end{array}$

Die beiden Ebenengleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten, es ist also ein unterbestimmtes Gleichungssystem.

Lösen des Gleichungssystems

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rccccccl} \mathrm{(I)}&-x_1 & + &2 x_2 & + &5 x_3 & = & 10 & \\ \mathrm{(II)}& 2x_1 & - &4 x_2 & + & x_3 &=& 4 \end{array}$

Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel: $2\cdot(\text I)+(\text{II})$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lrrrrrrrrr} &2\cdot \mathrm{(I)}& \quad &-x_1 & + &2 x_2 & + &5 x_3 & = & 10 \\ +&\mathrm{(II)}& &2x_1 & - &4 x_2 & + & x_3 &=& 4\\ \hline =&\mathrm{(I')}&&0x_1&+&0x_2&+&11x_3&=&24 \end{array}$

Löse die entstandene Gleichung nach $x_3$ auf.

$\displaystyle 11x_3$	$=$	$\displaystyle 24$	$\displaystyle :11$
$\displaystyle x_3$	$=$	$\displaystyle \frac{24}{11}$

Setze nun Gleichung $x_3$ z. B. in Gleichung $\mathrm{(I)}$ ein und löse nach $x_1$ auf:

$\displaystyle \left(\text{I}\right)\ \ \ -x_1+2x_2+5x_3$	$=$	$\displaystyle 10$
	↓	Setze $x_3=\frac{24}{11}$ ein.
$\displaystyle -x_1+2x_2+5\cdot\frac{24}{11}$	$=$	$\displaystyle 10$
$\displaystyle -x_1+2x_2+\frac{120}{11}$	$=$	$\displaystyle 10$	$\displaystyle +x_1-10$
	↓	Löse nach $x_1$ auf.
$\displaystyle 2x_2+\frac{120}{11}-10$	$=$	$\displaystyle x_1$
	↓	Addiere die Zahlen.
$\displaystyle 2x_2+\frac{120}{11}-\frac{110}{11}$	$=$	$\displaystyle x_1$
$\displaystyle 2x_2+\frac{10}{11}$	$=$	$\displaystyle x_1$

Du hast nun $x_1$ in Abhängigkeit von $x_2$ dargestellt. Für $x_2$ kannst Du z. B. den Parameter $t$ setzen. Dadurch kannst du $x_1$ , $x_2$ und $x_3$ in Abhängigkeit von $t$ ausdrücken.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}x_1&=&\frac{10}{11}+2t\\x_2&=&t\\x_3&=&\frac{24}{11}\end{array}$

Somit hat die Lösungsmenge des Gleichungssystems folgende Form:

\displaystyle g:\;\;\vec{x}=\begin{pmatrix}t\\-2+2t\\5-3t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-2\\5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}

Gleichung der Schnittgeraden angeben

Mit Vektoren geschrieben sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:

\displaystyle g:\;\;\vec{x}=\begin{pmatrix}t\\-2+2t\\5-3t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-2\\5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}

Das ist die Gleichung der Schnittgeraden zwischen den beiden Ebenen.

Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen $E_1$ und $E_2$ hat die Gleichung:

\displaystyle g:\;\;\vec{x}=\begin{pmatrix}t\\-2+2t\\5-3t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-2\\5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}

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${\mathrm E}_1:\;{\textstyle\frac13}\cdot{\mathrm x}_1+{\textstyle\frac16}\cdot{\mathrm x}_2+{\textstyle\frac12}\cdot{\mathrm x}_3=1$
${\mathrm E}_2:\;2\cdot{\mathrm x}_1+{\mathrm x}_2+3\cdot{\mathrm x}_3-6=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Gegeben sind die beiden Ebenen: $\def\arraystretch{2} \begin{array}{cccccccl} E_1:\dfrac{1}{3}x_1 & + &\dfrac{1}{6} x_2 & + &\dfrac{1}{2}x_3 & \;\;\;\;\;= & 1 \\\\ E_2: 2x_1 & + & x_2 & + & 3x_3 &-6=& 0 \end{array}$
Die beiden Ebenengleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten, es ist also ein unterbestimmtes Gleichungssystem.
Lösen des Gleichungssystems
Forme $E_2$ noch so um, dass die 6 auf der rechten Seite steht.
$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rccccccl} \mathrm{(I)}&\dfrac{1}{3}x_1 & + &\dfrac{1}{6} x_2 & + &\dfrac{1}{2}x_3 & = & 1 \\\\ \mathrm{(II)}&2x_1 & + & x_2 & + & 3x_3 &=& 6 \end{array}$
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel: $6\cdot(\text I)-(\text{II})$
$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rrrrrrrrrl} &6\cdot \mathrm{(I)}&\quad&\dfrac{1}{3}x_1 & + &\dfrac{1}{6} x_2 & + &\dfrac{1}{2}x_3 & = & 1 \\ -&\mathrm{(II)}&&2x_1 & + & x_2 & + & 3x_3 &=& 6 \\ \hline &&&0x_1&+&0x_2&+&0x_3&=&0 \end{array}$
Da das Ergebnis aus der Addition der Gleichungen eine Gleichung ist, die immer richtig ist ( $0=0$ ), sind die beiden Gleichungen $(\text I)$ und $(\text{II})$ identisch. Somit sind die Ebenen auch gleich und liegen aufeinander.
Antwort: Die beiden Ebenen $E_1$ und $E_2$ sind identisch.
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1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.

${\mathrm E}_1:\;5\cdot{\mathrm x}_1+2\cdot{\mathrm x}_2+3\cdot{\mathrm x}_3=30$

${\mathrm E}_2:\;10\cdot{\mathrm x}_1+7\cdot{\mathrm x}_2-12\cdot{\mathrm x}_3=45$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen

Gegeben sind die beiden Ebenen: $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcccccl} E_1:&5x_1 & + & 2x_2 & + & 3x_3& = & 30 \\ E_2:&10x_1 & + &7 x_2 & - &12 x_3& =& 45 \end{array}$

Die beiden Ebenengleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten, es ist also ein unterbestimmtes Gleichungsystem.

Lösen des Gleichungssystems

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rccccccl} \mathrm{(I)}&\;\;\;5x_1 & + & 2x_2 & + & 3x_3& = & 30\\ \mathrm{(II)}& 10x_1 & + &7 x_2 & - &12 x_3& =& 45 \end{array}$

Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel: $(-2)\cdot(\text I)+(\text{II})$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrrrrrrrrr} &(-2) \mathrm{(I)}&\quad&5x_1 & + & 2x_2 & + & 3x_3& = & 30\\ +&\mathrm{(II)}& &10x_1 & + &7 x_2 & - &12 x_3& =& 45\\ \hline &&&0x_1&+&3x_2&-&18x_3&=&-15 \end{array}$

Löse die entstandene Gleichung nach $x_2$ oder $x_3$ auf. Auflösen nach $x_2$ ergibt:

$\displaystyle 3x_2-18x_3$	$=$	$\displaystyle -15$	$\displaystyle +18x_3$
$\displaystyle 3x_2$	$=$	$\displaystyle -15+18x_3$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle \left(\text{II}'\right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_2$	$=$	$\displaystyle -5+6x_3$

Setze nun die neue Gleichung $\mathrm{(II')}$ z. B. in Gleichung $\mathrm{(I)}$ ein und löse nach $x_1$ auf:

$\displaystyle 5x_1+2x_2+3x_3$	$=$	$\displaystyle 30$
	↓	Setze $x_2=-5+6x_3$ ein.
$\displaystyle 5x_1+2\cdot\left(-5+6x_3\right)+3x_3$	$=$	$\displaystyle 30$
$\displaystyle 5x_1-10+12x_3+3x_3$	$=$	$\displaystyle 30$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 5x_1-10+15x_3$	$=$	$\displaystyle 30$	$\displaystyle +10-15x_3$
	↓	Löse nach $x_1$ auf.
$\displaystyle 5x_1$	$=$	$\displaystyle 40-15x_3$	$\displaystyle :5$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 8-3x_3$

Du hast nun $x_1$ und $x_2$ in Abhängigkeit von $x_3$ dargestellt. Für $x_3$ kannst Du z. B. den Parameter $t$ setzen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}x_1&=&8-3t\\x_2&=&-5+6t\\x_3&=&t\end{array}$

Somit hat die Lösungsmenge des Gleichungssystems folgende Form:

\displaystyle g:\;\;\vec{x}=\begin{pmatrix}t\\-2+2t\\5-3t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-2\\5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}

Gleichung der Schnittgeraden angeben

Mit Vektoren geschrieben sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:

\displaystyle g:\;\;\vec{x}=\begin{pmatrix}t\\-2+2t\\5-3t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-2\\5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}

Das ist die Gleichung der Schnittgeraden zwischen den beiden Ebenen.

Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen $E_1$ und $E_2$ hat die Gleichung:

\displaystyle g:\;\;\vec{x}=\begin{pmatrix}t\\-2+2t\\5-3t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-2\\5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}

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${\mathrm E}_1:\;-2\cdot{\mathrm x}_1+3\cdot{\mathrm x}_2+4\cdot{\mathrm x}_3=12$

${\mathrm E}_2:\;{\mathrm x}_1+4\cdot{\mathrm x}_2-3\cdot{\mathrm x}_3=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen

Gegeben sind die beiden Ebenen: $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rccccccl} E_1:&-2x_1 & + &3 x_2 & + & 4x_3 & = & 12\\ E_2:&\;\;\;\; x_1 & + &4 x_2 & - & 3x_3 &=& 0 \end{array}$

Die beiden Ebenengleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten, es ist also ein unterbestimmtes Gleichungsystem.

Lösen des Gleichungssystems

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rccccccl} \mathrm{(I)}&-2x_1 & + & 3x_2 & + & 4x_3 & = & 12 \\ \mathrm{(II)}&\;\;\;\;x_1 & + & 4x_2 & - &3 x_3 &=& 0 \end{array}$

Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel: $(\text I)+2\cdot(\text{II})$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrrrrrrrrr} &\mathrm{(I)}&\quad&-2x_1 & + & 3x_2 & + & 4x_3 & = & 12 \\ +&2\cdot\mathrm{(II)}&&\;\;\;\;x_1 & + & 4x_2 & - &3 x_3 &=& 0 \\ \hline &&&0x_1&+&11x_2&-&2x_3&=&12 \end{array}$

Löse die entstandene Gleichung nach $x_2$ oder $x_3$ auf. Auflösen nach $x_3$ ergibt:

$\displaystyle 11x_2-2x_3$	$=$	$\displaystyle 12$	$\displaystyle +2x_3-12$
$\displaystyle 11x_2-12$	$=$	$\displaystyle 2x_3$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle \left(\text{I}'\right)\ \ \ \ \ \ \ \ 5{,}5x_2-6$	$=$	$\displaystyle x_3$

Setze nun Gleichung $\mathrm{(I')}$ z. B. in Gleichung $\mathrm{(II)}$ ein und löse nach $x_1$ auf:

$\displaystyle \left(\text{II}\right)\ \ \ \ \ x_1+4x_2-3x_3$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Setze $x_3=5{,}5x_2-6$ ein.
$\displaystyle x_1+4x_2-3\cdot\left(5{,}5x_2-6\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Löse die Klammer auf.
$\displaystyle x_1+4x_2-16{,}5x_2+18$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle x_1-12{,}5x_2+18$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -18+12{,}5x_2$
	↓	Löse nach $x_1$ auf.
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle -18+12{,}5x_2$

Du hast nun $x_1$ und $x_3$ in Abhängigkeit von $x_2$ dargestellt. Für $x_2$ kannst Du z. B. den Parameter $t$ setzen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}x_1&=&-18+12{,}5t\\x_2&=&t\\x_3&=&5{,}5t-6\end{array}$

Somit hat die Lösungsmenge des Gleichungssystems folgende Form:

\displaystyle g:\;\;\vec{x}=\begin{pmatrix}t\\-2+2t\\5-3t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-2\\5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}

Gleichung der Schnittgeraden angeben

Mit Vektoren geschrieben sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:

\displaystyle g:\;\;\vec{x}=\begin{pmatrix}t\\-2+2t\\5-3t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-2\\5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}

Das ist die Gleichung der Schnittgeraden zwischen den beiden Ebenen.

Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen $E_1$ und $E_2$ hat die Gleichung:

\displaystyle g:\;\;\vec{x}=\begin{pmatrix}t\\-2+2t\\5-3t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-2\\5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}

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${\mathrm E}_1:\;3\cdot{\mathrm x}_1-2\cdot{\mathrm x}_2+{\mathrm x}_3-4=0$

${\mathrm E}_2:\;-2\cdot{\mathrm x}_1+{\mathrm x}_2-3\cdot{\mathrm x}_3=7$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen

Gegeben sind die beiden Ebenen:

\displaystyle g:\;\;\vec{x}=\begin{pmatrix}t\\-2+2t\\5-3t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-2\\5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}

Die beiden Ebenengleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten, es ist also ein unterbestimmtes Gleichungsystem.

Lösen des Gleichungssystems

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl} \mathrm{(I)}\;\;\;\;3x_1 & - & 2x_2 & + & x_3 & = & 4\\ \mathrm{(II)}\; -2x_1 & + & x_2 & - &3 x_3 &=& 7 \end{array}$

Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel: $(\text I)+2\cdot(\text{II})$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrrrrrr} &\mathrm{(I)}&\quad&3x_1 & - & 2x_2 & + & x_3 & = & 4\\ +&2\cdot \mathrm{(II)}&& -2x_1 & + & x_2 & - &3 x_3 &=& 7\\ \hline &&&-x_1&+&0x_2&-&5x_3&=&18 \end{array}$

Löse die neu entstandene Gleichung nach $x_1$ auf.

$\displaystyle -x_1-5x_3$	$=$	$\displaystyle 18$	$\displaystyle +x_1-18$
$\displaystyle \left(\text{I}'\right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_1$	$=$	$\displaystyle -5x_3-18$

Setze nun Gleichung $\mathrm{(I')}$ z. B. in Gleichung $\mathrm{(I)}$ ein und löse nach $x_2$ auf:

$\displaystyle \left(\text{I}\right)\ \ 3x_1-2x_2+x_3$	$=$	$\displaystyle 4$
	↓	Setze $x_1=-5x_3-18$ ein.
$\displaystyle 3\cdot\left(-5x_3-18\right)-2x_2+x_3$	$=$	$\displaystyle 4$
$\displaystyle -15x_3-54-2x_2+x_3$	$=$	$\displaystyle 4$
$\displaystyle -14x_3-54-2x_2$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle -4+2x_2$
$\displaystyle -14x_3-58$	$=$	$\displaystyle 2x_2$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle -7x_3-29$	$=$	$\displaystyle x_2$

Du hast nun $x_1$ und $x_2$ in Abhängigkeit von $x_3$ dargestellt. Für $x_3$ kannst Du z. B. den Parameter $t$ setzen. Somit hat die Lösungsmenge des Gleichungssystems folgende Form:

\displaystyle g:\;\;\vec{x}=\begin{pmatrix}t\\-2+2t\\5-3t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-2\\5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}

Gleichung der Schnittgeraden angeben

Mit Vektoren geschrieben sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:

\displaystyle g:\;\;\vec{x}=\begin{pmatrix}t\\-2+2t\\5-3t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-2\\5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}

Das ist die Gleichung der Schnittgeraden zwischen den beiden Ebenen.

Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen $E_1$ und $E_2$ hat die Gleichung:

\displaystyle g:\;\;\vec{x}=\begin{pmatrix}t\\-2+2t\\5-3t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-2\\5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}

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