Aufgaben zur Lagebeziehung zweier Ebenen

Untersuche die gegenseitige Lage der gegebenen Ebenen in Koordinatenform. Bestimme die Schnittgerade, falls sich die Ebenen schneiden.

$E_{1} : - x_{1} + 2 \cdot x_{2} + x_{3} = 1$

$E_{2} : x_{1} + 4 \cdot x_{2} + 3 \cdot x_{3} = 7$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen

Gegeben sind die beiden Ebenen:

$\begin{array}{rrcrcrcr} E_{1} : & - x_{1} & + & 2 \cdot x_{2} & + & x_{3} & = & 1 \\ E_{2} : & x_{1} & + & 4 \cdot x_{2} & + & 3 \cdot x_{3} & = & 7 \end{array}$

Die beiden Ebenengleichungen zusammen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Es ist also ein unterbestimmtes Gleichungssystem.

Gleichungssystem lösen

$\begin{array}{rrcrcrcr} (I) & - x_{1} & + & 2 \cdot x_{2} & + & x_{3} & = & 1 \\ (I I) & x_{1} & + & 4 \cdot x_{2} & + & 3 \cdot x_{3} & = & 7 \end{array}$

Löse eine der beiden Gleichungen nach einer der Variablen auf,

z.B. die erste Gleichung nach $x_{3}$ .

$(I) - x_{1} + 2 x_{2} + x_{3}$	$=$	$1$	$+ x_{1} - 2 x_{2}$
$(I^{'}) x_{3}$	$=$	$1 + x_{1} - 2 x_{2}$

Setze dies in die Gleichung $(I I)$ ein.

$(I^{'})$ in $(I I)$ :

$(II) x_{1} + 4 x_{2} + 3 x_{3}$	$=$	$7$
	↓	Setze $x_{3} = 1 + x_{1} - 2 x_{2}$ ein.
$x_{1} + 4 x_{2} + 3 \cdot (1 + x_{1} - 2 x_{2})$	$=$	$7$
	↓	Multipliziere die Klammer aus.
$x_{1} + 4 x_{2} + 3 + 3 x_{1} - 6 x_{2}$	$=$	$7$
	↓	Fasse zusammen.
$4 x_{1} - 2 x_{2} + 3$	$=$	$7$	$- 3$
	↓	Vereinfache die Gleichung, indem du die konstanten Terme auf dieselbe Seite bringst und zusammenrechnest.
$4 x_{1} - 2 x_{2}$	$=$	$4$	$- 4 x_{1}$
	↓	Löse diese Gleichung jetzt nach einer der Variablen auf, zum Beispiel nach $x_{2}$ .
$- 2 x_{2}$	$=$	$4 - 4 x_{1}$	$: (- 2)$
$({II}^{'}) x_{2}$	$=$	$- 2 + 2 x_{1}$

Setze dies wiederum in $(I^{'})$ ein.

$(I I^{'})$ in $(I^{'})$ :

$(I^{'}) x_{3}$	$=$	$1 + x_{1} - 2 x_{2}$
	↓	Setze $x_{2} = - 2 + 2 x_{1}$ ein.
$x_{3}$	$=$	$1 + x_{1} - 2 \cdot (- 2 + 2 x_{1})$
	↓	Löse die Klammer auf.
$x_{3}$	$=$	$1 + x_{1} + 4 - 4 x_{1}$
	↓	Fasse zusammen.
$x_{3}$	$=$	$5 - 3 x_{1}$

Das ist die neue Gleichung, die du statt Gleichung $(I^{'})$ nun erhalten hast.

$\Rightarrow (I^{''}) x_{3} = 5 - 3 x_{1}$

Da das Gleichungssytem zwar drei Unbekannte enthält, aber nur aus zwei Gleichungen besteht, ist es unterbestimmt. Das heißt, es wird keine eindeutig bestimmte Lösung dazu geben.

Du hast jedoch mit den Gleichungen $(I I^{'})$ und $(I^{''})$ das Gleichungssystem so umgeformt, dass du $x_{2}$ und $x_{3}$ in Abhängigkeit von $x_{1}$ dargestellt hast.

$\begin{array}{rrcrcr} (I I^{'}) & x_{2} & = & - 2 & + & 2 x_{1} \\ (I^{''}) & x_{3} & = & 5 & - & 3 x_{1} \end{array}$

Betrachte nun $x_{1}$ als Parameter, der einen beliebigen reellen Wert annehmen kann, und wähle dafür geeigneter Weise irgendeinen für Parameter "üblichen" Buchstaben als Bezeichnung.

Setze $t = x_{1}$ . Dadurch kannst du $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ in Abhängigkeit von t ausdrücken.

$\begin{array}{rcl} x_{1} & = & t \\ x_{2} & = & - 2 + 2 t \\ x_{3} & = & 5 - 3 t \end{array}$

Damit kannst du die Lösungsmenge angeben.

$𝕃 = {(t | - 2 + 2 t | 5 - 3 t) | t \in ℝ}$

Gleichung der Schnittgerade angeben

Mit Vektoren geschrieben, sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:

g : \vec{x} = (\begin{array}{c} t \\ - 2 + 2 t \\ 5 - 3 t \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ - 2 \\ 5 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{array})

Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen hat die Gleichung:

g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 2 \\ 5 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{array})

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$E_{1} : - 4 \cdot x_{1} + 3 \cdot x_{2} + 2 \cdot x_{3} = 5$

$E_{2} : 2 \cdot x_{1} + x_{2} - x_{3} = 0$

$E_{1} : - x_{1} + 2 \cdot x_{2} - 2 \cdot x_{3} = 5$
$E_{2} : 2 \cdot x_{1} - 4 \cdot x_{2} + 4 \cdot x_{3} = - 10$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Gegeben sind die beiden Ebenen:
$\begin{array}{rrcrcrcr} E_{1} : & - x_{1} & + & 2 x_{2} & - & 2 x_{3} & = & 5 \\ E_{2} : & 2 x_{1} & - & 4 x_{2} & + & 4 x_{3} & = & - 10 \end{array}$
Die beiden Ebenengleichungen zusammen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Es ist also ein unterbestimmtes Gleichungssystem.
Gleichungssystem lösen
$\begin{array}{rrcrcrcr} (I) & - x_{1} & + & 2 x_{2} & - & 2 x_{3} & = & 5 \\ (I I) & 2 x_{1} & - & 4 x_{2} & + & 4 x_{3} & = & - 10 \end{array}$
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel: $2 (I) + (II)$
$\begin{array}{rrcrcrcr} 2 \cdot (I) & - x_{1} & + & 2 x_{2} & - & 2 x_{3} & = & 5 \\ + (I I) & 2 x_{1} & - & 4 x_{2} & + & 4 x_{3} & = & - 10 \end{array}$
$0 x_{1} + 0 x_{2} + 0 x_{3} = 0$
Da das Ergebnis aus der Addition der Gleichungen eine Gleichung ist, die immer richtig ist ( $0 = 0$ ), sind die beiden Gleichungen $(I)$ und $(II)$ identisch. Somit sind die Ebenen auch gleich und liegen aufeinander.
Lösung: Die Ebenen sind identisch.
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1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
$E_{1} : - x_{1} + 2 \cdot x_{2} + x_{3} = 1$
$E_{2} : 2 \cdot x_{1} - 4 \cdot x_{2} - 2 \cdot x_{3} = - 5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Gegeben sind die beiden Ebenen:
$\begin{array}{rrcrcrcr} E_{1} : & - x_{1} & + & 2 x_{2} & - & x_{3} & = & 1 \\ E_{2} : & 2 x_{1} & - & 4 x_{2} & - & 2 x_{3} & = & - 5 \end{array}$
Die beiden Ebenengleichungen zusammen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Es ist also ein unterbestimmtes Gleichungssystem.
Gleichungssystem lösen
$\begin{array}{rrcrcrcr} (I) & - x_{1} & + & 2 x_{2} & - & x_{3} & = & 1 \\ (II) & 2 x_{1} & - & 4 x_{2} & - & 2 x_{3} & = & - 5 \end{array}$
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel: $2 (I) + (II)$
$\begin{array}{rrcrcrcr} 2 \cdot (I) & - x_{1} & + & 2 x_{2} & - & x_{3} & = & 1 \\ + (II) & 2 x_{1} & - & 4 x_{2} & - & 2 x_{3} & = & - 5 \end{array}$
$0 x_{1} + 0 x_{2} + 0 x_{3} = - 3$
Es existiert keine Lösung des linearen Gleichungssystems. Die Gleichung, die sich aus der Addition der Gleichungen $(I)$ und $(II)$ ergibt, ist immer falsch ( $0 = - 3$ ). Daher sind die Ebenen parallel zueinander.
Antwort: Die Ebenen verlaufen echt parallel zueinander.
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1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
$E_{1} : x_{1} + x_{2} - x_{3} - 1 = 0$
$E_{2} : 4 \cdot x_{1} - x_{2} - x_{3} - 3 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Gegeben sind die beiden Ebenen: $\begin{array}{cccccccl} E_{1} : x_{1} & + & x_{2} & - & x_{3} & - & 1 & = & 0 \\ E_{2} : 4 \cdot x_{1} & - & x_{2} & - & x_{3} & - & 3 & = & 0 \end{array}$
Die beiden Ebenengleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Es ist also ein unterbestimmtes Gleichungsystem.
Gleichungssystem lösen
$\begin{array}{cccccccl} (I) & x_{1} & + & x_{2} & - & x_{3} & = & 1 \\ (I I) & 4 \cdot x_{1} & - & x_{2} & - & x_{3} & = & 3 \end{array}$
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel: $(I) + (II)$
$\begin{array}{rccccccl} (I) & x_{1} & + & x_{2} & - & x_{3} & = & 1 \\ + (I I) & 4 \cdot x_{1} & - & x_{2} & - & x_{3} & = & 3 \end{array}$
$= (I^{'}) 5 x_{1} + 0 x_{2} - 2 x_{3} = 4$
Die neu entstandene Gleichung $(I^{'})$ kannst du nun nach $x_{1}$ auflösen.
$(I^{'}) 5 x_{1} - 2 x_{3}$ $=$ $4$ $+ 2 x_{3}$
$5 x_{1}$ $=$ $4 + 2 x_{3}$ $: 5$
$x_{1}$ $=$ $\frac{4}{5} + \frac{2}{5} x_{3}$
↓
Wandle in Dezimalbrüche um.
$({II}^{'}) x_{1}$ $=$ $0,8 + 0,4 x_{3}$
Nun hast du $x_{1}$ in Abhängigkeit von $x_{3}$ dargestellt. Stelle nun auch noch $x_{2}$ in Abhängigkeit von $x_{3}$ dar. Setze dafür zum Beispiel Gleichung $(I I^{'})$ in Gleichung $(I)$ ein und löse nach $x_{2}$ auf:
$({II}^{'})$ in $(I)$ :
$x_{1} + x_{2} - x_{3}$ $=$ $1$
↓
Setze $x_{1} = 0,8 + 0,4 x_{3}$ ein.
$(0,8 + 0,4 x_{3}) + x_{2} - x_{3}$ $=$ $1$
↓
Löse die Klammer auf.
$0,8 + 0,4 x_{3} + x_{2} - x_{3}$ $=$ $1$
↓
Vereinfache.
$0,8 + x_{2} - 0,6 x_{3}$ $=$ $1$ $- 0,8 + 0,6 x_{3}$
↓
Löse nach $x_{2}$ auf.
$x_{2}$ $=$ $0,2 + 0,6 x_{3}$
Wähle nun $x_{3} = t$ . Dadurch kannst du $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ in Abhängigkeit von $t$ ausdrücken.
$\begin{array}{rcl} x_{1} & = & 0,8 + 0,4 t \\ x_{2} & = & 0,2 + 0,6 t \\ x_{3} & = & t \end{array}$
Somit hat die Lösungsmenge des Gleichungssystems folgende Form:
$𝕃 = {(0,8 + 0,4 t | 0,2 + 0,6 t | t) | t \in ℝ}$
Gleichung der Schnittgeraden angeben
Mit Vektoren geschrieben sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0,8 + 0,4 t \\ 0,2 + 0,6 t \\ t \end{array}) = (\begin{array}{c} 0,8 \\ 0,2 \\ 0 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 0,4 \\ 0,6 \\ 1 \end{array})$
Das ist die Gleichung der Schnittgeraden zwischen den beiden Ebenen.
Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ hat die Gleichung:
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0,8 \\ 0,2 \\ 0 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 0,4 \\ 0,6 \\ 1 \end{array})$
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1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
$E_{1} : 2 \cdot x_{1} - 3 \cdot x_{2} + x_{3} = 2$
$E_{2} : - 6 \cdot x_{1} + 9 \cdot x_{2} - 3 \cdot x_{3} = 5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Gegeben sind die beiden Ebenen: $\begin{array}{cccccccl} E_{1} : 2 x_{1} & - & 3 x_{2} & + & x_{3} & = & 2 \\ E_{2} : - 6 x_{1} & + & 9 x_{2} & - & 3 x_{3} & = & 5 \end{array}$
Die beiden Ebenengleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten, es ist also ein unterbestimmtes Gleichungssystem.
Lösen des Gleichungssystems
$\begin{array}{cccccccl} (I) & 2 x_{1} & - & 3 x_{2} & + & x_{3} & = & 2 \\ (I I) & - 6 x_{1} & + & 9 x_{2} & - & 3 x_{3} & = & 5 \end{array}$
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel: $3 \cdot (I) + (II)$
$\begin{array}{rccccccl} 3 \cdot (I) & 2 x_{1} & - & 3 x_{2} & + & x_{3} & = & 2 \\ + (I I) & - 6 x_{1} & + & 9 x_{2} & - & 3 x_{3} & = & 5 \end{array}$
$0 x_{1} + 0 x_{2} + 0 x_{3} = 11$
Es existiert keine Lösung des linearen Gleichungssystems. Die Gleichung, die sich aus der Addition der Gleichungen $(I)$ und $(II)$ ergibt, ist immer falsch ( $0 = 11$ ). Daher sind die Ebenen parallel zueinander.
Antwort: Die beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ sind parallel zueinander.
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1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
$E_{1} : - x_{1} + 2 \cdot x_{2} + 5 \cdot x_{3} = 10$
$E_{2} : 2 \cdot x_{1} - 4 \cdot x_{2} + x_{3} = 4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Gegeben sind die beiden Ebenen: $\begin{array}{cccccccl} E_{1} : - x_{1} & + & 2 x_{2} & + & 5 x_{3} & = & 10 \\ E_{2} : 2 x_{1} & - & 4 x_{2} & + & x_{3} & = & 4 \end{array}$
Die beiden Ebenengleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten, es ist also ein unterbestimmtes Gleichungssystem.
Lösen des Gleichungssystems
$\begin{array}{rccccccl} (I) & - x_{1} & + & 2 x_{2} & + & 5 x_{3} & = & 10 \\ (I I) & 2 x_{1} & - & 4 x_{2} & + & x_{3} & = & 4 \end{array}$
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel: $2 \cdot (I) + (II)$
$\begin{array}{lrrrrrrrrr} 2 \cdot (I) & - x_{1} & + & 2 x_{2} & + & 5 x_{3} & = & 10 \\ + & (I I) & 2 x_{1} & - & 4 x_{2} & + & x_{3} & = & 4 \\ = & (I^{'}) & 0 x_{1} & + & 0 x_{2} & + & 11 x_{3} & = & 24 \end{array}$
Löse die entstandene Gleichung nach $x_{3}$ auf.
$11 x_{3}$ $=$ $24$ $: 11$
$x_{3}$ $=$ $\frac{24}{11}$
Setze nun Gleichung $x_{3}$ z. B. in Gleichung $(I)$ ein und löse nach $x_{1}$ auf:
$(I) - x_{1} + 2 x_{2} + 5 x_{3}$ $=$ $10$
↓
Setze $x_{3} = \frac{24}{11}$ ein.
$- x_{1} + 2 x_{2} + 5 \cdot \frac{24}{11}$ $=$ $10$
$- x_{1} + 2 x_{2} + \frac{120}{11}$ $=$ $10$ $+ x_{1} - 10$
↓
Löse nach $x_{1}$ auf.
$2 x_{2} + \frac{120}{11} - 10$ $=$ $x_{1}$
↓
Addiere die Zahlen.
$2 x_{2} + \frac{120}{11} - \frac{110}{11}$ $=$ $x_{1}$
$2 x_{2} + \frac{10}{11}$ $=$ $x_{1}$
Du hast nun $x_{1}$ in Abhängigkeit von $x_{2}$ dargestellt. Für $x_{2}$ kannst Du z. B. den Parameter $t$ setzen. Dadurch kannst du $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ in Abhängigkeit von $t$ ausdrücken.
$\begin{array}{rcl} x_{1} & = & \frac{10}{11} + 2 t \\ x_{2} & = & t \\ x_{3} & = & \frac{24}{11} \end{array}$
Somit hat die Lösungsmenge des Gleichungssystems folgende Form:
$𝕃 = {(\frac{10}{11} + 2 t | t | \frac{24}{11}) | t \in ℝ}$
Gleichung der Schnittgeraden angeben
Mit Vektoren geschrieben sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} \frac{10}{11} + 2 t \\ t \\ \frac{24}{11} \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{10}{11} \\ 0 \\ \frac{24}{11} \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array})$
Das ist die Gleichung der Schnittgeraden zwischen den beiden Ebenen.
Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ hat die Gleichung:
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} \frac{10}{11} \\ 0 \\ \frac{24}{11} \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array})$
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1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
$E_{1} : \frac{1}{3} \cdot x_{1} + \frac{1}{6} \cdot x_{2} + \frac{1}{2} \cdot x_{3} = 1$
$E_{2} : 2 \cdot x_{1} + x_{2} + 3 \cdot x_{3} - 6 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Gegeben sind die beiden Ebenen: $\begin{array}{cccccccl} E_{1} : \frac{1}{3} x_{1} & + & \frac{1}{6} x_{2} & + & \frac{1}{2} x_{3} & = & 1 \\ E_{2} : 2 x_{1} & + & x_{2} & + & 3 x_{3} & - 6 = & 0 \end{array}$
Die beiden Ebenengleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten, es ist also ein unterbestimmtes Gleichungssystem.
Lösen des Gleichungssystems
Forme $E_{2}$ noch so um, dass die 6 auf der rechten Seite steht.
$\begin{array}{rccccccl} (I) & \frac{1}{3} x_{1} & + & \frac{1}{6} x_{2} & + & \frac{1}{2} x_{3} & = & 1 \\ (I I) & 2 x_{1} & + & x_{2} & + & 3 x_{3} & = & 6 \end{array}$
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel: $6 \cdot (I) - (II)$
$\begin{array}{rrrrrrrrrl} 6 \cdot (I) & \frac{1}{3} x_{1} & + & \frac{1}{6} x_{2} & + & \frac{1}{2} x_{3} & = & 1 \\ - & (I I) & 2 x_{1} & + & x_{2} & + & 3 x_{3} & = & 6 \\ 0 x_{1} & + & 0 x_{2} & + & 0 x_{3} & = & 0 \end{array}$
Da das Ergebnis aus der Addition der Gleichungen eine Gleichung ist, die immer richtig ist ( $0 = 0$ ), sind die beiden Gleichungen $(I)$ und $(II)$ identisch. Somit sind die Ebenen auch gleich und liegen aufeinander.
Antwort: Die beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ sind identisch.
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1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
$E_{1} : 5 \cdot x_{1} + 2 \cdot x_{2} + 3 \cdot x_{3} = 30$
$E_{2} : 10 \cdot x_{1} + 7 \cdot x_{2} - 12 \cdot x_{3} = 45$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Gegeben sind die beiden Ebenen: $\begin{array}{rcccccl} E_{1} : & 5 x_{1} & + & 2 x_{2} & + & 3 x_{3} & = & 30 \\ E_{2} : & 10 x_{1} & + & 7 x_{2} & - & 12 x_{3} & = & 45 \end{array}$
Die beiden Ebenengleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten, es ist also ein unterbestimmtes Gleichungsystem.
Lösen des Gleichungssystems
$\begin{array}{rccccccl} (I) & 5 x_{1} & + & 2 x_{2} & + & 3 x_{3} & = & 30 \\ (I I) & 10 x_{1} & + & 7 x_{2} & - & 12 x_{3} & = & 45 \end{array}$
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel: $(- 2) \cdot (I) + (II)$
$\begin{array}{rrrrrrrrrr} (- 2) (I) & 5 x_{1} & + & 2 x_{2} & + & 3 x_{3} & = & 30 \\ + & (I I) & 10 x_{1} & + & 7 x_{2} & - & 12 x_{3} & = & 45 \\ 0 x_{1} & + & 3 x_{2} & - & 18 x_{3} & = & - 15 \end{array}$
Löse die entstandene Gleichung nach $x_{2}$ oder $x_{3}$ auf. Auflösen nach $x_{2}$ ergibt:
$3 x_{2} - 18 x_{3}$ $=$ $- 15$ $+ 18 x_{3}$
$3 x_{2}$ $=$ $- 15 + 18 x_{3}$ $: 3$
$({II}^{'}) x_{2}$ $=$ $- 5 + 6 x_{3}$
Setze nun die neue Gleichung $(I I^{'})$ z. B. in Gleichung $(I)$ ein und löse nach $x_{1}$ auf:
$5 x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3}$ $=$ $30$
↓
Setze $x_{2} = - 5 + 6 x_{3}$ ein.
$5 x_{1} + 2 \cdot (- 5 + 6 x_{3}) + 3 x_{3}$ $=$ $30$
$5 x_{1} - 10 + 12 x_{3} + 3 x_{3}$ $=$ $30$
↓
Fasse zusammen.
$5 x_{1} - 10 + 15 x_{3}$ $=$ $30$ $+ 10 - 15 x_{3}$
↓
Löse nach $x_{1}$ auf.
$5 x_{1}$ $=$ $40 - 15 x_{3}$ $: 5$
$x_{1}$ $=$ $8 - 3 x_{3}$
Du hast nun $x_{1}$ und $x_{2}$ in Abhängigkeit von $x_{3}$ dargestellt. Für $x_{3}$ kannst Du z. B. den Parameter $t$ setzen.
$\begin{array}{rcl} x_{1} & = & 8 - 3 t \\ x_{2} & = & - 5 + 6 t \\ x_{3} & = & t \end{array}$
Somit hat die Lösungsmenge des Gleichungssystems folgende Form:
$𝕃 = {(8 - 3 t | - 5 + 6 t | t) | t \in ℝ}$
Gleichung der Schnittgeraden angeben
Mit Vektoren geschrieben sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 8 - 3 t \\ - 5 + 6 t \\ t \end{array}) = (\begin{array}{c} 8 \\ - 5 \\ 0 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 6 \\ 1 \end{array})$
Das ist die Gleichung der Schnittgeraden zwischen den beiden Ebenen.
Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ hat die Gleichung:
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 8 \\ - 5 \\ 0 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 6 \\ 1 \end{array})$
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1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.

$E_{1} : - 2 \cdot x_{1} + 3 \cdot x_{2} + 4 \cdot x_{3} = 12$

$E_{2} : x_{1} + 4 \cdot x_{2} - 3 \cdot x_{3} = 0$

$E_{1} : 3 \cdot x_{1} - 2 \cdot x_{2} + x_{3} - 4 = 0$
$E_{2} : - 2 \cdot x_{1} + x_{2} - 3 \cdot x_{3} = 7$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Gegeben sind die beiden Ebenen:
$\begin{array}{cccccccl} E_{1} : 3 x_{1} & - & 2 x_{2} & + & x_{3} & - & 4 & = & 0 & und \\ E_{2} : - 2 x_{1} & + & x_{2} & - & 3 x_{3} & = & 7 \end{array}$
Die beiden Ebenengleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten, es ist also ein unterbestimmtes Gleichungsystem.
Lösen des Gleichungssystems
$\begin{array}{cccccccl} (I) 3 x_{1} & - & 2 x_{2} & + & x_{3} & = & 4 \\ (I I) - 2 x_{1} & + & x_{2} & - & 3 x_{3} & = & 7 \end{array}$
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel: $(I) + 2 \cdot (II)$
$\begin{array}{rrrrrrr} (I) & 3 x_{1} & - & 2 x_{2} & + & x_{3} & = & 4 \\ + & 2 \cdot (I I) & - 2 x_{1} & + & x_{2} & - & 3 x_{3} & = & 7 \\ - x_{1} & + & 0 x_{2} & - & 5 x_{3} & = & 18 \end{array}$
Löse die neu entstandene Gleichung nach $x_{1}$ auf.
$- x_{1} - 5 x_{3}$ $=$ $18$ $+ x_{1} - 18$
$(I^{'}) x_{1}$ $=$ $- 5 x_{3} - 18$
Setze nun Gleichung $(I^{'})$ z. B. in Gleichung $(I)$ ein und löse nach $x_{2}$ auf:
$(I) 3 x_{1} - 2 x_{2} + x_{3}$ $=$ $4$
↓
Setze $x_{1} = - 5 x_{3} - 18$ ein.
$3 \cdot (- 5 x_{3} - 18) - 2 x_{2} + x_{3}$ $=$ $4$
$- 15 x_{3} - 54 - 2 x_{2} + x_{3}$ $=$ $4$
$- 14 x_{3} - 54 - 2 x_{2}$ $=$ $4$ $- 4 + 2 x_{2}$
$- 14 x_{3} - 58$ $=$ $2 x_{2}$ $: 2$
$- 7 x_{3} - 29$ $=$ $x_{2}$
Du hast nun $x_{1}$ und $x_{2}$ in Abhängigkeit von $x_{3}$ dargestellt. Für $x_{3}$ kannst Du z. B. den Parameter $t$ setzen. Somit hat die Lösungsmenge des Gleichungssystems folgende Form:
$𝕃 = {(- 18 - 5 t | - 29 - 7 t | t) | t \in ℝ}$
Gleichung der Schnittgeraden angeben
Mit Vektoren geschrieben sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 18 - 5 t \\ - 29 - 7 t \\ t \end{array}) = (\begin{array}{c} - 18 \\ - 29 \\ 0 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 5 \\ - 7 \\ 1 \end{array})$
Das ist die Gleichung der Schnittgeraden zwischen den beiden Ebenen.
Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ hat die Gleichung:
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 18 \\ - 29 \\ 0 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 5 \\ - 7 \\ 1 \end{array})$
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1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.

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$(I) - 4 x_{1} + 3 x_{2} + 2 x_{3}$	$=$	$5$
	↓	Setze $x_{2} = 1$ ein.
$- 4 x_{1} + 3 \cdot 1 + 2 x_{3}$	$=$	$5$
$- 4 x_{1} + 3 + 2 x_{3}$	$=$	$5$	$- 3$
	↓	Drücke $x_{1}$ in Abhängigkeit von $x_{3}$ aus und bringe alle Terme ohne $x_{1}$ auf die rechte Seite.
$- 4 x_{1} + 2 x_{3}$	$=$	$2$	$- 2 x_{3}$
$- 4 x_{1}$	$=$	$2 - 2 x_{3}$	$: (- 4)$
$x_{1}$	$=$	$- \frac{2}{4} + \frac{2}{4} x_{3}$
	↓	Kürze die Brüche.
$x_{1}$	$=$	$- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} x_{3}$

$11 x_{2} - 2 x_{3}$	$=$	$12$	$+ 2 x_{3} - 12$
$11 x_{2} - 12$	$=$	$2 x_{3}$	$: 2$
$(I^{'}) 5,5 x_{2} - 6$	$=$	$x_{3}$

$(I^{'}) 5 x_{1} - 2 x_{3}$	$=$	$4$	$+ 2 x_{3}$
$5 x_{1}$	$=$	$4 + 2 x_{3}$	$: 5$
$x_{1}$	$=$	$\frac{4}{5} + \frac{2}{5} x_{3}$
	↓	Wandle in Dezimalbrüche um.
$({II}^{'}) x_{1}$	$=$	$0,8 + 0,4 x_{3}$

$x_{1} + x_{2} - x_{3}$	$=$	$1$
	↓	Setze $x_{1} = 0,8 + 0,4 x_{3}$ ein.
$(0,8 + 0,4 x_{3}) + x_{2} - x_{3}$	$=$	$1$
	↓	Löse die Klammer auf.
$0,8 + 0,4 x_{3} + x_{2} - x_{3}$	$=$	$1$
	↓	Vereinfache.
$0,8 + x_{2} - 0,6 x_{3}$	$=$	$1$	$- 0,8 + 0,6 x_{3}$
	↓	Löse nach $x_{2}$ auf.
$x_{2}$	$=$	$0,2 + 0,6 x_{3}$

$(I) - x_{1} + 2 x_{2} + 5 x_{3}$	$=$	$10$
	↓	Setze $x_{3} = \frac{24}{11}$ ein.
$- x_{1} + 2 x_{2} + 5 \cdot \frac{24}{11}$	$=$	$10$
$- x_{1} + 2 x_{2} + \frac{120}{11}$	$=$	$10$	$+ x_{1} - 10$
	↓	Löse nach $x_{1}$ auf.
$2 x_{2} + \frac{120}{11} - 10$	$=$	$x_{1}$
	↓	Addiere die Zahlen.
$2 x_{2} + \frac{120}{11} - \frac{110}{11}$	$=$	$x_{1}$
$2 x_{2} + \frac{10}{11}$	$=$	$x_{1}$

$3 x_{2} - 18 x_{3}$	$=$	$- 15$	$+ 18 x_{3}$
$3 x_{2}$	$=$	$- 15 + 18 x_{3}$	$: 3$
$({II}^{'}) x_{2}$	$=$	$- 5 + 6 x_{3}$

$5 x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3}$	$=$	$30$
	↓	Setze $x_{2} = - 5 + 6 x_{3}$ ein.
$5 x_{1} + 2 \cdot (- 5 + 6 x_{3}) + 3 x_{3}$	$=$	$30$
$5 x_{1} - 10 + 12 x_{3} + 3 x_{3}$	$=$	$30$
	↓	Fasse zusammen.
$5 x_{1} - 10 + 15 x_{3}$	$=$	$30$	$+ 10 - 15 x_{3}$
	↓	Löse nach $x_{1}$ auf.
$5 x_{1}$	$=$	$40 - 15 x_{3}$	$: 5$
$x_{1}$	$=$	$8 - 3 x_{3}$

$(II) x_{1} + 4 x_{2} - 3 x_{3}$	$=$	$0$
	↓	Setze $x_{3} = 5,5 x_{2} - 6$ ein.
$x_{1} + 4 x_{2} - 3 \cdot (5,5 x_{2} - 6)$	$=$	$0$
	↓	Löse die Klammer auf.
$x_{1} + 4 x_{2} - 16,5 x_{2} + 18$	$=$	$0$
	↓	Vereinfache.
$x_{1} - 12,5 x_{2} + 18$	$=$	$0$	$- 18 + 12,5 x_{2}$
	↓	Löse nach $x_{1}$ auf.
$x_{1}$	$=$	$- 18 + 12,5 x_{2}$

$- x_{1} - 5 x_{3}$	$=$	$18$	$+ x_{1} - 18$
$(I^{'}) x_{1}$	$=$	$- 5 x_{3} - 18$

$(I) 3 x_{1} - 2 x_{2} + x_{3}$	$=$	$4$
	↓	Setze $x_{1} = - 5 x_{3} - 18$ ein.
$3 \cdot (- 5 x_{3} - 18) - 2 x_{2} + x_{3}$	$=$	$4$
$- 15 x_{3} - 54 - 2 x_{2} + x_{3}$	$=$	$4$
$- 14 x_{3} - 54 - 2 x_{2}$	$=$	$4$	$- 4 + 2 x_{2}$
$- 14 x_{3} - 58$	$=$	$2 x_{2}$	$: 2$
$- 7 x_{3} - 29$	$=$	$x_{2}$

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