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Ebene aus drei Punkten

Gegeben sind drei Punkte und man soll daraus die Gleichung der Ebene bestimmen und die Ebene in einem Koordinatensystem konstruieren. Wichtig hierbei ist, dass die Punkte nicht kollinear sind, also nicht auf einer Geraden liegen.

Gleichung

Es lässt sich aus drei Punkten ziemlich schnell die Parametergleichung aufstellen.

Wir wissen, dass die Parameterform einen Stützvektor und zwei Spannvektoren besitzt, die die Ebene auf diesem Stützvektor aufspannen. Deshalb muss man nur drei Vektoren berechnen: OA\overrightarrow{OA}, AB\overrightarrow{\mathrm{AB}} und AC\overrightarrow{\mathrm{AC}}.

Dann erhalten wir die Gleichung für E:  x=OA+λAB+μACE:\;\overrightarrow{\mathrm{x}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\mathrm{\lambda}\overrightarrow{\cdot\mathrm{AB}}+\mathrm{\mu}\overrightarrow{\cdot\mathrm{AC}}

Diese lässt sich dann auch auf die geforderte Darstellungsform umformen.

Im Koordinatensystem

Hier gibt es zwei Möglichkeiten, eine Ebene darzustellen. Entweder nur über die drei gegebenen Punkte oder man ermittelt die Schnittpunkte mit den Achsen und stellt die Ebene damit dar.

1. Möglichkeit

Bei dieser Möglichkeit braucht man nur drei Punkte, die auf der Ebene liegen sollen.

  1. Schritt: Die drei Punkte einzeichnen.

  2. Schritt: Die Punkte mit Strecken verbinden.

  3. Schritt: Das so entstandene Dreieck repräsentiert die gewünschte Ebene.

In dem Applet kann man sehen, wie diese Ebenen-Repräsentation dann aussieht:

2. Möglichkeit

Hierfür muss die Parameterform erst mal in Koordinatenform umgewandelt werden. Dann berechnet man die Schnittpunkte mit den Achsen und zeichnet diese wie in Möglichkeit 1 ein:

        \;\;\Rightarrow\;\; Parameterform in Koordinatenform

        \;\;\Rightarrow\;\; Schnittpunkt mit der x-Achse: Setze yy und zz gleich 00.

        \;\;\Rightarrow\;\; Schnittpunkt mit der y-Achse: Setze xx und zz gleich 00.

        \;\;\Rightarrow\;\; Schnittpunkt mit der z-Achse: Setze xx und yy gleich 00.

        \;\;\Rightarrow\;\; Drei Schnittpunkte einzeichnen (Möglichkeit 11)

Beispiel zum Verständnis

Gegeben sind die Punkte A=(2/2/4,5)A=(2/-2/4{,}5), B=(2/3/0)B=(-2/3/0) und C=(0/3/1,5)C=(0/3/-1{,}5)

Allgemein

Beispiel

Vektoren OA,AB\overrightarrow{OA} , \overrightarrow{\mathrm{AB}} und AC\overrightarrow{\mathrm{AC}} berechnen und in die Parameterform einsetzen.

E:x=OA+λAB+μACE: \overrightarrow{\mathrm x}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\mathrm\lambda\overrightarrow{\cdot\mathrm{AB}}+\mathrm\mu\overrightarrow{\cdot\mathrm{AC}} \\ E:x=(224,5)+λ(454,5)+μ(256)E: \overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\-2\\4{,}5\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\begin{pmatrix}-4\\5\\-4{,}5\end{pmatrix}+\mathrm\mu\begin{pmatrix}-2\\5\\-6\end{pmatrix}

Parameterform in Koordinatenform umwandeln

Berechnung der Schnittpunkte mit den Achsen: \\ Für den Punkt auf der X-Achse setzt man y und z gleich 0. \\ Für den Punkt auf der Y-Achse setzt man x und z gleich 0. \\ Für den Punkt auf der Z-Achse setzt man x und y gleich 0.

X-Achse: \\ y=z=0          7,5x=30          x=4        P1(400)\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\mathrm y=\mathrm z=0\;\;\Rightarrow\;\;\;7{,}5\mathrm x=30\\\;\;\Rightarrow\;\;\;\mathrm x=4\\\;\;\Rightarrow\;\;{\mathrm P}_1(4\mid0\mid0)\end{array} \\ Y-Achse: \\ x=z=0          15y=30          y=2        P2(020)\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}x=\mathrm z=0\;\;\Rightarrow\;\;\;15y=30\\\;\;\Rightarrow\;\;\;y=2\\\;\;\Rightarrow\;\;{\mathrm P}_2(0\mid2\mid0)\end{array}\\ Z-Achse: \\ x=y=0          10z=30          z=3        P3(003)\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}x=y=0\;\;\Rightarrow\;\;\;10z=30\\\;\;\Rightarrow\;\;\;z=3\\\;\;\Rightarrow\;\;{\mathrm P}_3(0\mid0\mid3)\end{array}

Punkte eintragen und nach 11. Möglichkeit die Ebene zeichnen.

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Übungsaufgaben

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Aufgaben zur Aufstellung von Ebenengleichung

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