Aufgaben zu Kugeln, Ebenen und Tangentialebenen

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Zeige, dass die Ebene $E : 3 x_{1} + x_{2} - 2 x_{3} = 16$ eine Tangentialebene an die Kugel $K$ mit dem Mittelpunkt $M (4 | 0 | 5)$ und dem Radius $r = \sqrt{14}$ ist. Berechne auch den Berührpunkt $B$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangentialebene

Stelle die Hessesche Normalenform der Ebene $E$ auf.

$E_{H N F} : \frac{3 x_{1} + x_{2} - 2 x_{3} - 16}{\sqrt{3^{2} + 1^{2} + (- 2)^{2}}}$	$=$	$0$
	↓	Berechne die Wurzel.
$E_{H N F} : \frac{3 x_{1} + x_{2} - 2 x_{3} - 16}{\sqrt{14}}$	$=$	$0$

Berechne den Abstand des Mittelpunktes $M (4 | 0 | 5)$ von der Ebene $E$ , indem du die Koordinaten von $M$ in die Hessesche Normalenform einsetzt.

$d (M, E)$	$=$	$\| \frac{3 \cdot 4 + 0 - 2 \cdot 5 - 16}{\sqrt{14}} \|$
	↓	vereinfache
	$=$	$\| \frac{- 14}{\sqrt{14}} \|$
	↓	Berechne den Betrag.
	$=$	$\frac{14}{\sqrt{14}}$
	↓	Vereinfache weiter, indem du $14$ durch $\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}$ ersetzt.
	$=$	$\frac{\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}}{\sqrt{14}}$
	↓	Kürze den Bruch.
	$=$	$\sqrt{14}$

Der Abstand des Mittelpunktes $M$ von der Ebene $E$ ist $d = \sqrt{14}$ . Der Kugelradius ist $r = \sqrt{14}$ . Da $d = r$ ist, handelt es sich um eine Tangentialebene.

Berechnung des Berührpunktes:

Stelle die Gleichung der Lotgeraden $g_{L o t}$ durch den Mittelpunkt auf die Ebene $E$ auf. Verwende als Aufpunkt den Mittelpunkt $M$ und als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene $E$ .

$g_{L o t} : \vec{X} = (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 5 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 + 3 t \\ t \\ 5 - 2 t \end{array})$

Berechne den Berührpunkt, indem du die Lotgerade $g_{L o t}$ mit der Ebene $E$ schneidest: $g_{L o t} \cap E$

$E : 3 x_{1} + x_{2} - 2 x_{3}$	$=$	$16$
	↓	Setze $g$ in $E$ ein.
$3 \cdot (4 + 3 t) + t - 2 \cdot (5 - 2 t)$	$=$	$16$
	↓	Löse die Klammern auf.
$12 + 9 t + t - 10 + 4 t$	$=$	$16$
	↓	Vereinfache die linke Seite.
$14 t + 2$	$=$	$16$	$- 2$
	↓	Löse nach $t$ auf.
$14 t$	$=$	$14$	$: 14$
$t$	$=$	$1$

Zur Berechnung des Berührpunktes setzt du $t = 1$ in die Gleichung der Lotgeraden ein.

${\vec{X}}_{B} = (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 5 \end{array}) + 1 \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 + 3 \\ 0 + 1 \\ 5 - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 7 \\ 1 \\ 3 \end{array})$

Antwort: Der Berührpunkt hat die Koordinaten $B (7 | 1 | 3)$ .

Berechne den Abstand $d$ des Kugelmittelpunktes $M$ von der Ebene $E$ . Stelle dazu die Hessesche Normalenform der Ebene $E$ auf. Ist der berechnete Abstand $d$ gleich dem Kugelradius $r$ , dann ist $E$ eine Tangentialebene.

Für die Berechnung des Berührpunktes benötigst du die Gleichung der Lotgeraden durch den Punkt $M$ auf die Ebene $E$ . Verwende als Aufpunkt den Mittelpunkt $M$ und als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene $E$ . Schneide die Lotgerade mit der Ebene $E$ .

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