Stelle die Hessesche Normalenform der Ebene $E$ auf.

Berechne den Abstand des Mittelpunktes $M(4|0|5)$ von der Ebene $E$, indem du die Koordinaten von $M$ in die Hessesche Normalenform einsetzt.

Der Abstand des Mittelpunktes $M$ von der Ebene $E$ ist $d=\sqrt{14}$. Der Kugelradius ist $r=\sqrt{14}$. Da $d=r$ ist, handelt es sich um eine Tangentialebene.

Berechnung des Berührpunktes:

Stelle die Gleichung der Lotgeraden $g_{Lot}$ durch den Mittelpunkt auf die Ebene $E$ auf. Verwende als Aufpunkt den Mittelpunkt $M$ und als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene $E$.

$g_{Lot}:\;\vec X=\begin{pmatrix}4\\0\\5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 3 \\1 \\-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4+3t\\t\\5-2t\end{pmatrix}$

Berechne den Berührpunkt, indem du die Lotgerade $g_{Lot}$ mit der Ebene $E$ schneidest: $g_{Lot}\cap E$

Zur Berechnung des Berührpunktes setzt du $t=1$ in die Gleichung der Lotgeraden ein.

$\vec X_B=\begin{pmatrix}4\\0\\5\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix} 3 \\1 \\-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4+3\\0+1\\5-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\1\\3\end{pmatrix}$

Antwort: Der Berührpunkt hat die Koordinaten $B(7|1|3)$.