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Schnittwinkel in der analytischen Geometrie

Damit ein Schnittwinkel existiert, müssen sich die geometrischen Objekte schneiden.

Weiterführende Artikel zur Lagenbestimmung von geometrischen Objekten

Schnittwinkel zwischen zwei Geraden

Zwei Geraden besitzen nur einen Schnittwinkel, wenn sie sich schneiden.

legacy geogebra formula

Seien 𝐮,𝐯 die Richtungsvektoren der Geraden.

Dann lässt sich der Schnittwinkel α so berechnen:

𝐜𝐨𝐬𝛂=|𝐮𝐯||𝐮||𝐯|

Beispiel

Gegeben sind zwei sich schneidende Geraden g und h:

g:X=(205)+r(135)und h:X=(205)+s(234):

Berechne den Schnittwinkel α.

Für die Winkelberechnung der beiden Geraden benötigst du ihre Richtungsvektoren und deren Beträge.

g:u=(135), |u|=12+32+52=35

h:v=(234), |v|=22+(3)2+42=29

cosα=|uv||u||v|

Setze die Vektoren und ihre Beträge ein.

=|(135)(234)|3529

Berechne das Skalarprodukt und vereinfache.

=|29+20|1015

Vereinfache.

=|13|1015

Berechne den Betrag

0,4080

Du hast die Gleichung cosα=0,4080 erhalten. Durch Anwendung der Umkehrfunktion des Kosinus kannst du den Winkel α berechnen. Benutze auf dem Taschenrechner die Funktion cos1(x).

α=arccos(0,4080)65,92

Antwort: Der Schnittwinkel zwischen den beiden Geraden beträgt rund 65,9.

Schnittwinkel zwischen Ebene und Gerade

Eine Ebene und eine Gerade haben einen Schnittpunkt, solange sie nicht echt parallel sind.

legacy geogebra formula

Dann kann der Schnittwinkel α so berechnet werden:

𝐬𝐢𝐧𝛂=|𝐧𝐮||𝐧||𝐮|

Eine weitere Möglichkeit ist, 𝐜𝐨𝐬(𝟗𝟎𝛂)=𝐬𝐢𝐧𝛂=|𝐧𝐮||𝐧||𝐮| auszurechnen.

Beispiel

Gegeben sind eine Geraden g und eine Ebene E:

g:X=(205)+s(234) und E:2x1x2+3x3=4

Berechne den Schnittwinkel α.

Für die Winkelberechnung zwischen Gerade g und Ebene E benötigst du von der Geraden den Richtungsvektor und dessen Betrag und von der Ebene den Normalenvektor n und dessen Betrag.

g:v=(234), |v|=22+(3)2+42=29

E:n=(213), |n|=22+(1)2+32=4+1+9=14

Setze in die oben genannte Formel ein:

sinα=|nu||n||u|

Setze die Vektoren und ihre Beträge ein.

=|(213)(234)|1429

Berechne das Skalarprodukt und vereinfache.

=|4+3+12|406

Vereinfache.

=|19|406

Berechne den Betrag.

0,9430

Du hast die Gleichung sinα=0,9430 erhalten. Durch Anwendung der Umkehrfunktion des Sinus kannst du den Winkel α berechnen. Benutze auf dem Taschenrechner die Funktion sin1(x).

α=arcsin(0,9430)70,56

Antwort: Der Schnittwinkel α zwischen der Geraden und der Ebene beträgt rund 70,6.

Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen

Zwei Ebenen schneiden sich, solange sie nicht echt parallel sind.

legacy geogebra formula

Seien  n,m die  Normalenvektoren der Ebenen.

Dann lässt sich der Schnittwinkel α so berechnen:

𝐜𝐨𝐬𝛂=|𝐧𝐦||𝐧||𝐦|

Beispiel

Gegeben sind zwei sich schneidende Ebenen E:2x1x2+3x3=4 und F:x1x2x3=2. Berechne den Schnittwinkel α.

Für die Winkelberechnung zwischen zwei Ebenen benötigst du von den Ebenen deren Normalenvektoren und deren Beträge.

Lies die Normalenvektoren aus den Koordinatengleichungen ab:

n=(213) und m=(111)

Für den Betrag von n gilt: |n|=22+(1)2+32=4+1+9=14

Für den Betrag von m gilt: |m|=12+(1)2+(1)2=1+1+1=3

Setze in die oben genannte Formel ein:

cosα=|nm||n||m|

Setze die Vektoren und ihre Beträge ein.

=|(213)(111)|143

Berechne das Skalarprodukt und vereinfache.

=|2+13|42

Vereinfache.

=|0|42

Berechne den Betrag.

=0

Du hast die Gleichung cosα=0 erhalten. Durch Anwendung der Umkehrfunktion des Kosinus kannst du den Winkel α berechnen. Benutze auf dem Taschenrechner die Funktion cos1(x).

α=arccos(0)=90

Antwort: Der Schnittwinkel α zwischen den beiden Ebenen beträgt 90.

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