Schnittwinkel in der analytischen Geometrie

Schnittwinkel zwischen zwei Geraden

Seien $\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf u}\boldsymbol,\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf v}$ die Richtungsvektoren der Geraden.

Dann lässt sich der Schnittwinkel $\alpha$ so berechnen:

${\mathbf{cos}\,\mathbf\alpha\boldsymbol=\frac{\left|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf u}\boldsymbol\circ\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf v}\right|}{\left|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf u}\right|\boldsymbol\cdot\left|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf v}\right|}}$

Beispiel

Gegeben sind zwei sich schneidende Geraden g und h:

$g: \vec X=\begin{pmatrix}2\\0\\5\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1 \\3 \\ 5\end{pmatrix}$und $h: \vec X=\begin{pmatrix}2\\0\\5\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}2 \\-3 \\ 4\end{pmatrix}$:

Berechne den Schnittwinkel $\alpha$.

Für die Winkelberechnung der beiden Geraden benötigst du ihre Richtungsvektoren und deren Beträge.

$g:\;\vec u=\begin{pmatrix}1 \\3 \\ 5\end{pmatrix}$, $|\vec{u}|=\sqrt{1^2+3^2+5^2}=\sqrt{35}$

$h:\;\vec v=\begin{pmatrix}2 \\-3 \\ 4\end{pmatrix}$, $|\vec{v}|=\sqrt{2^2+(-3)^2+4^2}=\sqrt{29}$

Du hast die Gleichung $\cos\;\alpha=0{,}4080$ erhalten. Durch Anwendung der Umkehrfunktion des Kosinus kannst du den Winkel $\alpha$ berechnen. Benutze auf dem Taschenrechner die Funktion $\cos^{-1}(x)$.

$\alpha=\arccos(0{,}4080)\approx 65{,}92^\circ$

Antwort: Der Schnittwinkel zwischen den beiden Geraden beträgt rund $65{,}9^\circ$.

Schnittwinkel zwischen Ebene und Gerade

Sei $\overrightarrow n$ der Normalenvektor der Ebene und $\overrightarrow u$ der Richtungsvektor der Gerade.

Dann kann der Schnittwinkel $\alpha$ so berechnet werden:

${\mathbf{sin}\,\mathbf\alpha\boldsymbol=\frac{\left|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf n}\boldsymbol\circ\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf u}\right|}{\left|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf n}\right|\boldsymbol\cdot\left|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf u}\right|}}$

Eine weitere Möglichkeit ist, $\mathbf{cos}\boldsymbol(\mathbf{90^\circ}\boldsymbol-\mathbf\alpha\boldsymbol)\boldsymbol=\mathbf{sin}\mathbf\alpha\boldsymbol=\frac{\left|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf n}\boldsymbol\circ\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf u}\right|}{\left|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf n}\right|\boldsymbol\cdot\left|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf u}\right|}$ auszurechnen.

Beispiel

Gegeben sind eine Geraden g und eine Ebene $E$:

$g: \vec X=\begin{pmatrix}2\\0\\5\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}2 \\-3 \\ 4\end{pmatrix}$ und $E: \;2x_1-x_2+3x_3=4$

Berechne den Schnittwinkel $\alpha$.

Für die Winkelberechnung zwischen Gerade $g$ und Ebene $E$ benötigst du von der Geraden den Richtungsvektor und dessen Betrag und von der Ebene den Normalenvektor $\vec n$ und dessen Betrag.

$g:\;\vec v=\begin{pmatrix}2 \\-3 \\ 4\end{pmatrix}$, $|\vec{v}|=\sqrt{2^2+(-3)^2+4^2}=\sqrt{29}$

$E:\;\vec n=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$, $|\vec n|=\sqrt{2^2+(-1)^2+3^2} =\sqrt{4+1+9}= \sqrt{14}$

Setze in die oben genannte Formel ein:

Du hast die Gleichung $\sin\;\alpha=0{,}9430$ erhalten. Durch Anwendung der Umkehrfunktion des Sinus kannst du den Winkel $\alpha$ berechnen. Benutze auf dem Taschenrechner die Funktion $\sin^{-1}(x)$.

$\alpha=\arcsin\left(0{,}9430\right)\approx 70{,}56^\circ$

Antwort: Der Schnittwinkel $\alpha$ zwischen der Geraden und der Ebene beträgt rund $70{,}6^\circ$.

Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen

Seien  $\overrightarrow n,\;\overrightarrow m$ die  Normalenvektoren der Ebenen.

Dann lässt sich der Schnittwinkel $\alpha$ so berechnen:

${\mathbf{cos}\;\mathbf\alpha\;\boldsymbol=\;\frac{\left|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf n}\;\boldsymbol\circ\;\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf m}\right|}{\left|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf n}\right|\boldsymbol\cdot\left|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf m}\right|}}$

Beispiel

Gegeben sind zwei sich schneidende Ebenen $E: \;2x_1-x_2+3x_3=4$ und $F: \;x_1-x_2-x_3=2$. Berechne den Schnittwinkel $\alpha$.

Für die Winkelberechnung zwischen zwei Ebenen benötigst du von den Ebenen deren Normalenvektoren und deren Beträge.

Lies die Normalenvektoren aus den Koordinatengleichungen ab:

$\vec n=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$ und $\vec m=\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\end{pmatrix}$

Für den Betrag von $\vec n$ gilt: $|\vec n|=\sqrt{2^2+(-1)^2+3^2} =\sqrt{4+1+9}= \sqrt{14}$

Für den Betrag von $\vec m$ gilt: $|\vec m|=\sqrt{1^2+(-1)^2+(-1)^2} =\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}$

Setze in die oben genannte Formel ein:

Du hast die Gleichung $\cos\;\alpha=0$ erhalten. Durch Anwendung der Umkehrfunktion des Kosinus kannst du den Winkel $\alpha$ berechnen. Benutze auf dem Taschenrechner die Funktion $\cos^{-1}(x)$.

$\alpha=\arccos\left(0\right)=90^\circ$

Antwort: Der Schnittwinkel $\alpha$ zwischen den beiden Ebenen beträgt $90^\circ$.