Schnittwinkel in der analytischen Geometrie

Schnittwinkel zwischen zwei Geraden

Seien $\overrightarrow{𝐮},\overrightarrow{𝐯}$ die Richtungsvektoren der Geraden.

Dann lässt sich der Schnittwinkel $\alpha$ so berechnen:

$𝐜𝐨𝐬𝛂=\frac{|\overrightarrow{𝐮}\circ \overrightarrow{𝐯}|}{\left|\overrightarrow{𝐮}\right|\cdot \left|\overrightarrow{𝐯}\right|}$

Beispiel

Gegeben sind zwei sich schneidende Geraden g und h:

$g:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 5\end{array}\right)$und $h:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 5\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 4\end{array}\right)$:

Berechne den Schnittwinkel $\alpha$.

Für die Winkelberechnung der beiden Geraden benötigst du ihre Richtungsvektoren und deren Beträge.

$g:\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 5\end{array}\right)$, $|\overrightarrow{u}|=\sqrt{1^2+3^2+5^2}=\sqrt{35}$

$h:\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 4\end{array}\right)$, $|\overrightarrow{v}|=\sqrt{2^2+(-3{)}^2+4^2}=\sqrt{29}$

Du hast die Gleichung $\cos \alpha =\mathrm{0,4080}$ erhalten. Durch Anwendung der Umkehrfunktion des Kosinus kannst du den Winkel $\alpha$ berechnen. Benutze auf dem Taschenrechner die Funktion ${\cos }^{-1}(x)$.

$\alpha =\arccos (\mathrm{0,4080})\approx {\mathrm{65,92}}^{\circ }$

Antwort: Der Schnittwinkel zwischen den beiden Geraden beträgt rund ${\mathrm{65,9}}^{\circ }$.

Schnittwinkel zwischen Ebene und Gerade

Sei $\overrightarrow{n}$ der Normalenvektor der Ebene und $\overrightarrow{u}$ der Richtungsvektor der Gerade.

Dann kann der Schnittwinkel $\alpha$ so berechnet werden:

$𝐬𝐢𝐧𝛂=\frac{|\overrightarrow{𝐧}\circ \overrightarrow{𝐮}|}{\left|\overrightarrow{𝐧}\right|\cdot \left|\overrightarrow{𝐮}\right|}$

Eine weitere Möglichkeit ist, $𝐜𝐨𝐬({\mathrm{𝟗𝟎}}^{\circ }-𝛂)=𝐬𝐢𝐧𝛂=\frac{|\overrightarrow{𝐧}\circ \overrightarrow{𝐮}|}{\left|\overrightarrow{𝐧}\right|\cdot \left|\overrightarrow{𝐮}\right|}$ auszurechnen.

Beispiel

Gegeben sind eine Geraden g und eine Ebene $E$:

$g:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 5\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 4\end{array}\right)$ und $E:2x_1-x_2+3x_3=4$

Berechne den Schnittwinkel $\alpha$.

Für die Winkelberechnung zwischen Gerade $g$ und Ebene $E$ benötigst du von der Geraden den Richtungsvektor und dessen Betrag und von der Ebene den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ und dessen Betrag.

$g:\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 4\end{array}\right)$, $|\overrightarrow{v}|=\sqrt{2^2+(-3{)}^2+4^2}=\sqrt{29}$

$E:\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 3\end{array}\right)$, $|\overrightarrow{n}|=\sqrt{2^2+(-1{)}^2+3^2}=\sqrt{4+1+9}=\sqrt{14}$

Setze in die oben genannte Formel ein:

Du hast die Gleichung $\sin \alpha =\mathrm{0,9430}$ erhalten. Durch Anwendung der Umkehrfunktion des Sinus kannst du den Winkel $\alpha$ berechnen. Benutze auf dem Taschenrechner die Funktion ${\sin }^{-1}(x)$.

$\alpha =\arcsin \left(\mathrm{0,9430}\right)\approx {\mathrm{70,56}}^{\circ }$

Antwort: Der Schnittwinkel $\alpha$ zwischen der Geraden und der Ebene beträgt rund ${\mathrm{70,6}}^{\circ }$.

Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen

Seien  $\overrightarrow{n},\overrightarrow{m}$ die  Normalenvektoren der Ebenen.

Dann lässt sich der Schnittwinkel $\alpha$ so berechnen:

$𝐜𝐨𝐬𝛂=\frac{|\overrightarrow{𝐧}\circ \overrightarrow{𝐦}|}{\left|\overrightarrow{𝐧}\right|\cdot \left|\overrightarrow{𝐦}\right|}$

Beispiel

Gegeben sind zwei sich schneidende Ebenen $E:2x_1-x_2+3x_3=4$ und $F:x_1-x_2-x_3=2$. Berechne den Schnittwinkel $\alpha$.

Für die Winkelberechnung zwischen zwei Ebenen benötigst du von den Ebenen deren Normalenvektoren und deren Beträge.

Lies die Normalenvektoren aus den Koordinatengleichungen ab:

$\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 3\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{m}=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ -1\end{array}\right)$

Für den Betrag von $\overrightarrow{n}$ gilt: $|\overrightarrow{n}|=\sqrt{2^2+(-1{)}^2+3^2}=\sqrt{4+1+9}=\sqrt{14}$

Für den Betrag von $\overrightarrow{m}$ gilt: $|\overrightarrow{m}|=\sqrt{1^2+(-1{)}^2+(-1{)}^2}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}$

Setze in die oben genannte Formel ein:

Du hast die Gleichung $\cos \alpha =0$ erhalten. Durch Anwendung der Umkehrfunktion des Kosinus kannst du den Winkel $\alpha$ berechnen. Benutze auf dem Taschenrechner die Funktion ${\cos }^{-1}(x)$.

$\alpha =\arccos \left(0\right)={90}^{\circ }$

Antwort: Der Schnittwinkel $\alpha$ zwischen den beiden Ebenen beträgt ${90}^{\circ }$.