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Schnittwinkel in der analytischen Geometrie

Damit ein Schnittwinkel existiert, müssen sich die geometrischen Objekte schneiden.

Weiterführende Artikel zur Lagenbestimmung von geometrischen Objekten

Schnittwinkel zwischen zwei Geraden

legacy geogebra formula

Zwei Geraden besitzen nur einen Schnittwinkel, wenn sie sich schneiden.

Seien u,v\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf u}\boldsymbol,\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf v} die Richtungsvektoren der Geraden.

Dann lässt sich der Schnittwinkel α\alpha so berechnen:

cosα=uvuv{\mathbf{cos}\,\mathbf\alpha\boldsymbol=\frac{\left|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf u}\boldsymbol\circ\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf v}\right|}{\left|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf u}\right|\boldsymbol\cdot\left|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf v}\right|}}

Beispiel

Gegeben sind zwei sich schneidende Geraden g und h:

g:X=(205)+r(135)g: \vec X=\begin{pmatrix}2\\0\\5\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1 \\3 \\ 5\end{pmatrix}und h:X=(205)+s(234)h: \vec X=\begin{pmatrix}2\\0\\5\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}2 \\-3 \\ 4\end{pmatrix}:

Berechne den Schnittwinkel α\alpha.

Für die Winkelberechnung der beiden Geraden benötigst du ihre Richtungsvektoren und deren Beträge.

g:  u=(135)g:\;\vec u=\begin{pmatrix}1 \\3 \\ 5\end{pmatrix}, u=12+32+52=35|\vec{u}|=\sqrt{1^2+3^2+5^2}=\sqrt{35}

h:  v=(234)h:\;\vec v=\begin{pmatrix}2 \\-3 \\ 4\end{pmatrix}, v=22+(3)2+42=29|\vec{v}|=\sqrt{2^2+(-3)^2+4^2}=\sqrt{29}

cos  α\displaystyle \cos\;\alpha==uvuv\displaystyle \dfrac{|\vec u\circ \vec v|}{|\vec u|\cdot |v|}

Setze die Vektoren und ihre Beträge ein.

==(135)(234)3529\displaystyle \dfrac{\left|\begin{pmatrix}1 \\3 \\ 5\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}2 \\-3 \\ 4\end{pmatrix}\right|}{\sqrt{35}\cdot \sqrt{29}}

Berechne das Skalarprodukt und vereinfache.

==29+201015\displaystyle \dfrac{\left|2-9+20\right|}{\sqrt{1015}}

Vereinfache.

==131015\displaystyle \dfrac{\left|13\right|}{\sqrt{1015}}

Berechne den Betrag

0,4080\displaystyle 0{,}4080

Du hast die Gleichung cos  α=0,4080\cos\;\alpha=0{,}4080 erhalten. Durch Anwendung der Umkehrfunktion des Kosinus kannst du den Winkel α\alpha berechnen. Benutze auf dem Taschenrechner die Funktion cos1(x)\cos^{-1}(x).

α=arccos(0,4080)65,92\alpha=\arccos(0{,}4080)\approx 65{,}92^\circ

Antwort: Der Schnittwinkel zwischen den beiden Geraden beträgt rund 65,965{,}9^\circ.

Schnittwinkel zwischen Ebene und Gerade

legacy geogebra formula

Eine Ebene und eine Gerade haben einen Schnittpunkt, solange sie nicht echt parallel sind.

Sei n\overrightarrow n der Normalenvektor der Ebene und u\overrightarrow u der Richtungsvektor der Gerade.

Dann kann der Schnittwinkel α\alpha so berechnet werden:

sinα=nunu{\mathbf{sin}\,\mathbf\alpha\boldsymbol=\frac{\left|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf n}\boldsymbol\circ\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf u}\right|}{\left|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf n}\right|\boldsymbol\cdot\left|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf u}\right|}}

Eine weitere Möglichkeit ist, cos(90α)=sinα=nunu\mathbf{cos}\boldsymbol(\mathbf{90^\circ}\boldsymbol-\mathbf\alpha\boldsymbol)\boldsymbol=\mathbf{sin}\mathbf\alpha\boldsymbol=\frac{\left|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf n}\boldsymbol\circ\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf u}\right|}{\left|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf n}\right|\boldsymbol\cdot\left|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf u}\right|} auszurechnen.

Beispiel

Gegeben sind eine Geraden g und eine Ebene EE:

g:X=(205)+s(234)g: \vec X=\begin{pmatrix}2\\0\\5\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}2 \\-3 \\ 4\end{pmatrix} und E:  2x1x2+3x3=4E: \;2x_1-x_2+3x_3=4

Berechne den Schnittwinkel α\alpha.

Für die Winkelberechnung zwischen Gerade gg und Ebene EE benötigst du von der Geraden den Richtungsvektor und dessen Betrag und von der Ebene den Normalenvektor n\vec n und dessen Betrag.

g:  v=(234)g:\;\vec v=\begin{pmatrix}2 \\-3 \\ 4\end{pmatrix}, v=22+(3)2+42=29|\vec{v}|=\sqrt{2^2+(-3)^2+4^2}=\sqrt{29}

E:  n=(213)E:\;\vec n=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix} , n=22+(1)2+32=4+1+9=14|\vec n|=\sqrt{2^2+(-1)^2+3^2} =\sqrt{4+1+9}= \sqrt{14}

Setze in die oben genannte Formel ein:

sin  α\displaystyle \sin\;\alpha==nunu\displaystyle \dfrac{|\vec n\circ \vec u|}{|\vec n|\cdot |u|}

Setze die Vektoren und ihre Beträge ein.

==(213)(234)1429\displaystyle \dfrac{\left|\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}2 \\-3 \\ 4\end{pmatrix}\right|}{\sqrt{14}\cdot \sqrt{29}}

Berechne das Skalarprodukt und vereinfache.

==4+3+12406\displaystyle \dfrac{\left|4+3+12\right|}{\sqrt{406}}

Vereinfache.

==19406\displaystyle \dfrac{\left|19\right|}{\sqrt{406}}

Berechne den Betrag.

0,9430\displaystyle 0{,}9430

Du hast die Gleichung sin  α=0,9430\sin\;\alpha=0{,}9430 erhalten. Durch Anwendung der Umkehrfunktion des Sinus kannst du den Winkel α\alpha berechnen. Benutze auf dem Taschenrechner die Funktion sin1(x)\sin^{-1}(x).

α=arcsin(0,9430)70,56\alpha=\arcsin\left(0{,}9430\right)\approx 70{,}56^\circ

Antwort: Der Schnittwinkel α\alpha zwischen der Geraden und der Ebene beträgt rund 70,670{,}6^\circ.

Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen

legacy geogebra formula

Zwei Ebenen schneiden sich, solange sie nicht echt parallel sind.

Seien  n,  m\overrightarrow n,\;\overrightarrow m die  Normalenvektoren der Ebenen.

Dann lässt sich der Schnittwinkel α\alpha so berechnen:

cos  α  =  n    mnm{\mathbf{cos}\;\mathbf\alpha\;\boldsymbol=\;\frac{\left|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf n}\;\boldsymbol\circ\;\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf m}\right|}{\left|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf n}\right|\boldsymbol\cdot\left|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf m}\right|}}

Beispiel

Gegeben sind zwei sich schneidende Ebenen E:  2x1x2+3x3=4E: \;2x_1-x_2+3x_3=4 und F:  x1x2x3=2F: \;x_1-x_2-x_3=2. Berechne den Schnittwinkel α\alpha.

Für die Winkelberechnung zwischen zwei Ebenen benötigst du von den Ebenen deren Normalenvektoren und deren Beträge.

Lies die Normalenvektoren aus den Koordinatengleichungen ab:

n=(213)\vec n=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix} und m=(111)\vec m=\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\end{pmatrix}

Für den Betrag von n\vec n gilt: n=22+(1)2+32=4+1+9=14|\vec n|=\sqrt{2^2+(-1)^2+3^2} =\sqrt{4+1+9}= \sqrt{14}

Für den Betrag von m\vec m gilt: m=12+(1)2+(1)2=1+1+1=3|\vec m|=\sqrt{1^2+(-1)^2+(-1)^2} =\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}

Setze in die oben genannte Formel ein:

cosα\displaystyle \cos\,\alpha==nmnm\displaystyle \dfrac{|\vec{n}\circ\vec{m}|}{|\vec{n}|\cdot|\vec{m}|}

Setze die Vektoren und ihre Beträge ein.

==(213)(111)143\displaystyle \dfrac{\left|\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\end{pmatrix}\right|}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{3}}

Berechne das Skalarprodukt und vereinfache.

==2+1342\displaystyle \dfrac{\left|2+1-3\right|}{\sqrt{42}}

Vereinfache.

==042\displaystyle \dfrac{\left|0\right|}{\sqrt{42}}

Berechne den Betrag.

==0\displaystyle 0

Du hast die Gleichung cos  α=0\cos\;\alpha=0 erhalten. Durch Anwendung der Umkehrfunktion des Kosinus kannst du den Winkel α\alpha berechnen. Benutze auf dem Taschenrechner die Funktion cos1(x)\cos^{-1}(x).

α=arccos(0)=90\alpha=\arccos\left(0\right)=90^\circ

Antwort: Der Schnittwinkel α\alpha zwischen den beiden Ebenen beträgt 9090^\circ.

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