Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen

Geraden können im Raum auf unterschiedliche Art und Weise zu Ebenen liegen. Die verschiedenen Möglichkeiten sind folgende:

Mögliche Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen:

Gerade liegt in Ebene

Jeder Punkt der Gerade liegt in der Ebene, also gibt es unendlich viele Schnittpunkte

Gerade und Ebene schneiden sich

Es gibt genau einen Schnittpunkt, den die Ebene und die Gerade gemeinsam haben.

Gerade und Ebene echt parallel

Gerade und Ebene besitzen keine gemeinsamen Punkte, insbesondere auch keinen Schnittpunkt

Orientierung bestimmen (analytische Geometrie)

Um den Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene oder die Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene zu berechnen, benötigst du eine Ebene in Koordinatenform und eine Gerade in Parameterform. Falls die Ebene in Paramenterform gegeben ist, so formst du diese zuerst in Koordinatenform um. Anschließend kannst du wie folgt vorgehen.

Vorgehensweise:

  1. Setze die rechte Seite der Geradengleichung in die Koordinatenform der Ebene ein.

  2. Versuche λ\lambda (allg. den Parameter der Geradengleichung) zu bestimmen.

Aus dem Ergebnis der Gleichung folgt, welcher der oberen 3 Fälle vorliegt.

Ist das Ergebnis:

  • für alle λ\lambda erfüllt,

    z.B. bei  1=11=1

so liegt die Gerade in der Ebene, und alle Punkte der Geraden liegen auch in der Ebene

  • für kein λ\lambda erfüllt,

    z.B. bei  5  =  35\;=\;3

so sind Gerade und Ebene echt parallel und haben keinen gemeinsamen Punkt

  • für genau ein  λ\lambda   erfüllt,

    z.B. bei λ=  1\lambda=\;-1

so schneiden sich Gerade und Ebene in genau einem Punkt. Dieser Schnittpunkt lässt sich berechnen, indem man den Wert von λ\lambda in die Geradengleichung einsetzt.

Beispiel:

Sei g:x=(010)+λ(012)g:\overset\rightharpoonup x=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}0\\-1\\2\end{pmatrix} und     E:  x1+3x22x310  =0\;\;E:\;x_1+3x_2-2x_3-10\;=0

Nun setzt du gg in EE ein und versuchst λ\lambda zu bestimmen:

Offensichtlich ist die Gleichung für genau ein λ\lambda erfüllt. Folglich schneiden sich die Gerade gg und die Ebene EE in genau einem Punkt.

Diesen Schnittpunkt S kannst du nun bestimmen, indem du λ=1\lambda=-1 in die Geradengleichung einsetzt:


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