Lies aus der gegebenen Kugelgleichung die Koordinaten des Mittelpunktes $M$ und den Radius $r$ ab:

$M(2|3|1)$ und $r=\sqrt{16}=4$.

Berechne den Vektor $\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OP}=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ 4\end{array}\right)$.

Dann folgt für die gesuchte Bedingung: $|\overrightarrow{PM}\circ {\overrightarrow{n}}_0|=r\Rightarrow |\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ 4\end{array}\right)\circ {\overrightarrow{n}}_0|=4$

Antwort: Erfüllt der Normaleneinheitsvektor ${\overrightarrow{n}}_0$ der Ebene $E$ die folgende Bedingung $|\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ 4\end{array}\right)\circ {\overrightarrow{n}}_0|=4$, dann ist die Ebene $E$ eine Tangentialebene an die Kugel $K$ und enthält den Punkt $P$.