Aufgaben zu Kugeln, Ebenen und Tangentialebenen

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Gegeben ist eine Kugel $K:\;(x_1-2)^2+(x_2-3)^2+(x_3-1)^2=16$ .

Die Ebene $E$ enthält den Punkt $P(2|5|-3)$ . Gib eine Bedingung an, so dass die Ebene $E$ eine Tangentialebene an die Kugel $K$ ist.

Die gesuchte Bedingung enthält den Normaleneinheitsvektor $\vec{n}_0$ der Ebene $E$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt

Kugel mit Tangentialebene und Punkt P in E

Das Skalarprodukt zwischen den Vektoren $\overrightarrow{PM}$ und $\vec{n}_0$ ist gleich der Länge der Projektion des Vektors $\overrightarrow{PM}$ auf den Einheitsvektor $\vec{n}_0$ .

Die Länge der Projektion ist in diesem Fall gleich dem Radius $r$ . Es gilt also:

$|\overrightarrow{PM}\circ\vec{n}_0|=r$

Lies aus der gegebenen Kugelgleichung die Koordinaten des Mittelpunktes $M$ und den Radius $r$ ab:

$M(2|3|1)$ und $r=\sqrt{16}=4$ .

Berechne den Vektor $\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\5\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-2\\4\end{pmatrix}$ .

Dann folgt für die gesuchte Bedingung: $|\overrightarrow{PM}\circ \vec{n}_0|=r\;\;\Rightarrow\;\;\left|\begin{pmatrix}0\\-2\\4\end{pmatrix}\circ \vec{n}_0\right|=4$

Antwort: Erfüllt der Normaleneinheitsvektor $\vec{n}_0$ der Ebene $E$ die folgende Bedingung $\left|\begin{pmatrix}0\\-2\\4\end{pmatrix}\circ \vec{n}_0\right|=4$ , dann ist die Ebene $E$ eine Tangentialebene an die Kugel $K$ und enthält den Punkt $P$ .

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Das Skalarprodukt zwischen einem Vektor $\overrightarrow{OA}$ und einem Einheitsvektor $\vec{n}_0$ ist gleich der Länge der Projektion des Vektors $\overrightarrow{OA}$ auf den Einheitsvektor $\vec{n}_0$ . Die Länge dieser Projektion muss gleich dem Kugelradius $r$ sein.