Kugel und Tangentialkegel

Von einem außerhalb einer Kugel KK liegenden Punkt PP können unendlich viele Tangenten an die Kugel gelegt werden. Diese Tangenten bilden einen (doppelten) Kreiskegel, den Tangentialkegel der Kugel KK mit der Spitze PP. Die Berührpunkte aller Tangenten mit der Kugel liegen auf einem Kreis, den die Ebene EE aus der Kugel KK ausschneidet. Diese Ebene EE wird auch Polarebene genannt.

Hinweis: In der Abbildung sind 2020 Tangenten eingezeichnet.

Alle Berührpunkte der Tangenten mit der Kugel liegen auf einem Kreis, den die Ebene

aus der Kugel ausschneidet.

Beispiel für die Erstellung der Ebenengleichung EE

Gegeben sind eine Kugel KK mit Kugelmittelpunkt M(312)M(3|1|2), Kugelradius r=4r=4 und ein Punkt P(751)P(7|5|1) außerhalb der Kugel. Vom Punkt PP aus werden Tangenten an die Kugel KK gelegt. Alle Berührpunkte der Tangenten mit der Kugel liegen auf einem Kreis, den die Ebene EE aus der Kugel KK ausschneidet. Bestimme die Gleichung der Ebene EE in Koordinatenform.

Benutze die Ebenengleichung E:  (xm)(pm)=r2E:\;\left(\vec{x}-\vec{m}\right)\circ\left(\vec{p}-\vec{m}\right)=r^2 und setze die gegebenen Werte ein.

r2\displaystyle \textcolor{006400}{r}^2==(xm)(pm)\displaystyle \left(\vec{x}-\textcolor{ff6600}{\vec{m}}\right)\circ\left(\textcolor{660099}{\vec{p}}-\textcolor{ff6600}{\vec{m}}\right)

Setze M(312)\textcolor{ff6600}{M(3|1|2)}, P(751)\textcolor{660099}{P(7|5|1)} und r=4\textcolor{006400}{r=4} ein.

42\displaystyle \textcolor{006400}{4}^2==(x(312))((751)(312))\displaystyle \left(\vec{x}-\textcolor{ff6600}{\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}}\right)\circ\left(\textcolor{660099}{\begin{pmatrix}7\\5\\1\end{pmatrix}}-\textcolor{ff6600}{\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}}\right)

Vereinfache.

16\displaystyle 16==(x(312))(441)\displaystyle \left(\vec{x}-\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}\right)\circ\begin{pmatrix}4\\4\\-1\end{pmatrix}

Berechne das Skalarprodukt.

16\displaystyle 16==4x1+4x2x3(34+14+2(1)\displaystyle 4x_1+4x_2-x_3-(3\cdot4+1\cdot4+2\cdot(-1)

Vereinfache.

16\displaystyle 16==4x1+4x2x314\displaystyle 4x_1+4x_2-x_3-14+14\displaystyle +14
30\displaystyle 30==4x1+4x2x3\displaystyle 4x_1+4x_2-x_3

Antwort: Die Gleichung der Ebene EE lautet E:  4x1+4x2x3=30E: \; 4x_1+4x_2-x_3=30.

Der Tangentenkegel

Beim Tangentenkegel können

  • der Mittelpunkt des Schnittkreises MM'

  • der Schnittkreisradius rr'

  • der Öffnungswinkel α\alpha

  • das Kegelvolumen VV

berechnet werden.

Berechnung des Schnittkreismittelpunktes MM'

Den Mittelpunkt MM' des Schnittkreises berechnest du, indem du die Lotgerade von MM auf die Ebene EE mit der Ebene EE schneidest: gLotEg_{Lot}\cap E

Verwende als Aufpunkt den Mittelpunkt MM und als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene EE:

Beispiel für die Berechnung des Schnittkreismittelpunktes MM'

Gegeben sind die Schnittkreisebene E:  4x1+4x2x3=30E: \; 4x_1+4x_2-x_3=30 und der Kugelmittelpunkt M(312)M(3|1|2). Gesucht ist MM'.

Berechne die Gleichung der Lotgeraden gLotg_{Lot} durch den Mittelpunkt MM auf die Ebene EE.

Verwende als Aufpunkt den Mittelpunkt M(312)M(3|1|2) und als Richtungsvektor den Normalenvektor n=(441)\vec n=\begin{pmatrix}4\\4\\-1\end{pmatrix}der Ebene EE.

Schneide die Lotgerade gLot:  X=(3+4t1+4t2t)g_{Lot}:\;\vec X=\begin{pmatrix}\textcolor{006400}{ 3+4t} \\\textcolor{ff6600}{1+4t} \\\textcolor{660099}{2-t} \end{pmatrix} mit der Ebene E:  4x1+4x2x3=30 E: \; 4\textcolor{006400}{x_1}+4\textcolor{ff6600}{x_2}-\textcolor{660099}{x_3}=30

4(3+4t)+4(1+4t)1(2t)\displaystyle 4\cdot\textcolor{006400}{(3+4t)}+4\cdot\textcolor{ff6600}{(1+4t)}-1\cdot\textcolor{660099}{(2-t)}==30\displaystyle 30

Löse die Klammern auf.

12+16t+4+16t2+t\displaystyle 12+16t+4+16t-2+t==30\displaystyle 30

Vereinfache.

33t+14\displaystyle 33t+14==30\displaystyle 3014\displaystyle -14

Löse nach tt auf.

33t\displaystyle 33t==16\displaystyle 16:33\displaystyle :33
t\displaystyle t==1633\displaystyle \dfrac{16}{33}

Zur Berechnung des Schnittpunktes MM' setzt du t=1633t=\dfrac{16}{33} in die Gleichung der Lotgeraden ein.

Antwort: Der Mittelpunkt MM' des Schnittkreises hat die Koordinaten

M(1633397335033)M'\left(\dfrac{163}{33}\Big\vert\dfrac{97}{33}\Big\vert\dfrac{50}{33}\right).

Berechnung des Schnittkreisradius rr'

Mit dem Satz von Pythagoras berechnest du den Schnittkreisradius rr'. Der Abstand der Ebene EE vom Mittelpunkt MM ist d=MMd=|\overrightarrow{MM'}|.

Dann gilt im rechtwinkligen Dreieck : r2=r2+d2r^2=r'^2+d^2. Für der Schnittkreisradius rr' folgt daraus:

r=r2d2r'=\sqrt{r^2-d^2} .

Beispiel für die Berechnung des Schnittkreisradius rr'

Gegeben sind der Kugelmittelpunkt M(312)M(3|1|2) , der Mittelpunkt des Schnittkreises M(1633397335033)M'\left(\dfrac{163}{33}\Big\vert\dfrac{97}{33}\Big\vert\dfrac{50}{33}\right) und der Kugelradius r=4r=4. Gesucht ist r r'.

Berechne den Vektor MM\overrightarrow{MM'} und dann dessen Betrag d=MMd=\Big\vert\overrightarrow{MM'}\Big\vert.

r\displaystyle r'==r2d2\displaystyle \sqrt{r^2-d^2}

Setze r=4r=4 und d=25633d= \sqrt{\dfrac{256}{33}} ein.

==42(25633)2\displaystyle \sqrt{4^2-\left(\sqrt{\dfrac{256}{33}}\right)^2}

Vereinfache

==1625633\displaystyle \sqrt{16-\dfrac{256}{33}}

Berechne die Differenz.

==27233\displaystyle \sqrt{\dfrac{272}{33}}
2,87\displaystyle 2{,}87

Antwort: Der Schnittkreisradius beträgt r=272332,87  LEr'=\sqrt{\dfrac{272}{33}}\approx 2{,}87\;\text{LE}.

Berechnung des Öffnungswinkels α\alpha des Tangentialkegels

Im rechtwinkligen Dreieck MPBMPB gilt:

α2=arcsin(rMP)\dfrac{\alpha}{2}=\arcsin\left(\dfrac{r}{\overline{MP}}\right) bzw.

Beispiel für die Berechnung des Öffnungswinkels α\alpha des Tangentialkegels

Gegeben sind der Kugelmittelpunkt M(312)M(3|1|2), der Kugelradius r=4r=4 und der Punkt P(751)P(7|5|1). Gesucht ist der Öffnungswinkel α\alpha.

Für den halben Öffnungswinkel gilt:

Berechne den Vektor MP\overrightarrow{MP} und dann dessen Betrag.

Antwort: Der Öffnungswinkel des Tangentialkegels beträgt etwa 88,388{,}3^\circ.

Volumenberechnung des Tangentialkegels

Für das Volumen eines Kegels gilt:

Der Kegelradius ist rr' und die Kegelhöhe hh ist die Länge der Strecke [MP][M'P].

Beispiel für die Berechnung des Tangentialkegelvolumens

Gegeben sind der Mittelpunkt des Schnittkreises M(1633397335033)M'\left(\dfrac{163}{33}\Big\vert\dfrac{97}{33}\Big\vert\dfrac{50}{33}\right), der Punkt P(751)P(7|5|1) und der Schnittkreisradius r=2,87r'=2{,}87. Gesucht ist VV.

Der Kegelradius r r ist gleich dem Schnittkreisradius r=2,87r'=2{,}87 und die Kegelhöhe hh ist die Länge der Strecke [MP][M'P].

Berechne den Vektor MP\overrightarrow{M'P} und dann dessen Betrag.

Berechne nun das Volumen des Kegels:

VK\displaystyle V_K==13πr2h\displaystyle \dfrac{1}{3}\cdot\pi\cdot r^2\cdot h

Setze r=2,87r=2{,}87 und h=2,96h=2{,}96 in die Volumenformel ein

==13π2,8722,96\displaystyle \dfrac{1}{3}\cdot\pi\cdot 2{,}87^2\cdot 2{,}96

Vereinfache.

==25,53\displaystyle 25{,}53

Antwort: Das Volumen des Tangentialkegels beträgt etwa 25,5  VE25{,}5 \;\text{VE}.

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