Kugel und Tangentialkegel

Beispiel für die Erstellung der Ebenengleichung $E$

Gegeben sind eine Kugel $K$ mit Kugelmittelpunkt $M(3|1|2)$, Kugelradius $r=4$ und ein Punkt $P(7|5|1)$ außerhalb der Kugel. Vom Punkt $P$ aus werden Tangenten an die Kugel $K$ gelegt. Alle Berührpunkte der Tangenten mit der Kugel liegen auf einem Kreis, den die Ebene $E$ aus der Kugel $K$ ausschneidet. Bestimme die Gleichung der Ebene $E$ in Koordinatenform.

Benutze die Ebenengleichung $E:\;\left(\vec{x}-\vec{m}\right)\circ\left(\vec{p}-\vec{m}\right)=r^2$ und setze die gegebenen Werte ein.

Antwort: Die Gleichung der Ebene $E$ lautet $E: \; 4x_1+4x_2-x_3=30$.

Der Tangentenkegel

Berechnung des Schnittkreismittelpunktes $M'$

Beispiel für die Berechnung des Schnittkreismittelpunktes $M'$

Gegeben sind die Schnittkreisebene $E: \; 4x_1+4x_2-x_3=30$ und der Kugelmittelpunkt $M(3|1|2)$. Gesucht ist $M'$.

Berechne die Gleichung der Lotgeraden $g_{Lot}$ durch den Mittelpunkt $M$ auf die Ebene $E$.

Verwende als Aufpunkt den Mittelpunkt $M(3|1|2)$ und als Richtungsvektor den Normalenvektor $\vec n=\begin{pmatrix}4\\4\\-1\end{pmatrix}$der Ebene $E$.

$g_{Lot}:\;\vec X=\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}4\\4\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3+4t \\1+4t \\2-t \end{pmatrix}$

Schneide die Lotgerade $g_{Lot}:\;\vec X=\begin{pmatrix}\textcolor{006400}{ 3+4t} \\\textcolor{ff6600}{1+4t} \\\textcolor{660099}{2-t} \end{pmatrix}$ mit der Ebene $E: \; 4\textcolor{006400}{x_1}+4\textcolor{ff6600}{x_2}-\textcolor{660099}{x_3}=30$

Zur Berechnung des Schnittpunktes $M'$ setzt du $t=\dfrac{16}{33}$ in die Gleichung der Lotgeraden ein.

$\vec X_{M'}=\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}+\dfrac{16}{33}\cdot\begin{pmatrix} 4 \\4 \\-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3+\dfrac{64}{33}\\[2ex]1+\dfrac{64}{33}\\[2ex]2-\dfrac{16}{33}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{163}{33}\\[2ex]\dfrac{97}{33}\\[2ex]\dfrac{50}{33}\end{pmatrix}$

Antwort: Der Mittelpunkt $M'$ des Schnittkreises hat die Koordinaten

$M'\left(\dfrac{163}{33}\Big\vert\dfrac{97}{33}\Big\vert\dfrac{50}{33}\right)$.

Berechnung des Schnittkreisradius $r'$

Beispiel für die Berechnung des Schnittkreisradius $r'$

Gegeben sind der Kugelmittelpunkt $M(3|1|2)$ , der Mittelpunkt des Schnittkreises $M'\left(\dfrac{163}{33}\Big\vert\dfrac{97}{33}\Big\vert\dfrac{50}{33}\right)$ und der Kugelradius $r=4$. Gesucht ist $r'$.

Berechne den Vektor $\overrightarrow{MM'}$ und dann dessen Betrag $d=\Big\vert\overrightarrow{MM'}\Big\vert$.

$\overrightarrow{MM'}=\begin{pmatrix}\dfrac{163}{33}\\[2ex]\dfrac{97}{33}\\[2ex]\dfrac{50}{33}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{163}{33}-3\\[2ex]\dfrac{97}{33}-1\\[2ex]\dfrac{50}{33}-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{64}{33}\\[2ex]\dfrac{64}{33}\\[2ex]-\dfrac{16}{33}\end{pmatrix}$

$d=\Big\vert\overrightarrow{MM'}\Big\vert=\sqrt{\left(\dfrac{64}{33}\right)^2+\left(\dfrac{64}{33}\right)^2+\left(-\dfrac{16}{33}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{256}{33}}$

Antwort: Der Schnittkreisradius beträgt $r'=\sqrt{\dfrac{272}{33}}\approx 2{,}87\;\text{LE}$.

Berechnung des Öffnungswinkels $\alpha$ des Tangentialkegels

Beispiel für die Berechnung des Öffnungswinkels $\alpha$ des Tangentialkegels

Gegeben sind der Kugelmittelpunkt $M(3|1|2)$, der Kugelradius $r=4$ und der Punkt $P(7|5|1)$. Gesucht ist der Öffnungswinkel $\alpha$.

Für den halben Öffnungswinkel gilt:

$\sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\dfrac{r}{\left|\overrightarrow{MP}\right|}$

Berechne den Vektor $\overrightarrow{MP}$ und dann dessen Betrag.

$\overrightarrow{MP}=\begin{pmatrix}7\\5\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\4\\1\end{pmatrix}\;\Rightarrow \left|\overrightarrow{MP}\right|=\sqrt{4^2+4^2+1^2}=\sqrt{33}$

$\dfrac{\alpha}{2}=\arcsin\left(\dfrac{r}{\left|\overrightarrow{MP}\right|}\right)=\arcsin\left(\dfrac{4}{\sqrt{33}}\right)\approx 44{,}13^\circ$

$\alpha\approx 2\cdot 44{,}13^\circ=88{,}26^\circ$

Antwort: Der Öffnungswinkel des Tangentialkegels beträgt etwa $88{,}3^\circ$.

Volumenberechnung des Tangentialkegels

Beispiel für die Berechnung des Tangentialkegelvolumens

Gegeben sind der Mittelpunkt des Schnittkreises $M'\left(\dfrac{163}{33}\Big\vert\dfrac{97}{33}\Big\vert\dfrac{50}{33}\right)$, der Punkt $P(7|5|1)$ und der Schnittkreisradius $r'=2{,}87$. Gesucht ist $V$.

Der Kegelradius $r$ ist gleich dem Schnittkreisradius $r'=2{,}87$ und die Kegelhöhe $h$ ist die Länge der Strecke $[M'P]$.

Berechne den Vektor $\overrightarrow{M'P}$ und dann dessen Betrag.

$\overrightarrow{M'P}=\begin{pmatrix}7\\5\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\dfrac{163}{33}\\[2ex]\dfrac{97}{33}\\[2ex]\dfrac{50}{33}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{68}{33}\\[2ex]\dfrac{68}{33}\\[2ex]-\dfrac{17}{33}\end{pmatrix}\;\Rightarrow$

$h=\left|\overrightarrow{M'P}\right|=\sqrt{\left(\dfrac{68}{33}\right)^2+\left(\dfrac{68}{33}\right)^2+\left(-\dfrac{17}{33}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{289}{33}}\approx 2{,}96$

Berechne nun das Volumen des Kegels:$$

Antwort: Das Volumen des Tangentialkegels beträgt etwa $25{,}5 \;\text{VE}$.