Gegenseitige Lage von zwei Kugeln

Es wird die Lage zweier Kugeln $K_{1}K\_1$ und $K_{2}K\_2$ zueinander untersucht.

Dabei treten fünf Fälle auf:

• die Kugeln schneiden sich nicht (oberes linkes Bild)

• die Kugeln berühren sich in genau einem äußeren Punkt $BB$. Die Kugeln haben eine gemeinsame Tangentialebene (oberes mittleres Bild).

• die beiden Kugeln schneiden sich in einem Schnittkreis (oberes rechtes Bild)

• die Kugeln liegen ineinander und berühren sich innen in einem Punkt $BB$. Die Kugeln haben eine gemeinsame Tangentialebene (unteres linkes Bild).

• die Kugeln liegen ineinander und berühren sich nicht (unteres rechtes Bild)

Allgemeines Vorgehen

Die Kugel $K_{1}K\_1$ ist gegeben durch ihren Mittelpunkt $M_{1}M\_1$ und den Radius $r_{1}r\_1$.

Die Kugel $K_{2}K\_2$ ist gegeben durch ihren Mittelpunkt $M_{2}M\_2$ und den Radius $r_{2}r\_2$.

Die Ermittlung der Lage von zwei Kugeln erfolgt über die Berechnung des Abstandes der beiden Kugelmittelpunkte $M_{1}M\_1$ und $M_{2}M\_2$.

Nun sind fünf Fälle möglich:

• $d(M_1,M_2)>r_1+r_{2}d(M\_1,M\_2)>r\_1+r\_2$; die Kugeln schneiden sich nicht

• $d(M_1,M_2)=r_1+r_{2}d(M\_1,M\_2)=r\_1+r\_2$; die Kugeln berühren sich in genau einem Punkt $BB$. Die Kugeln haben eine gemeinsame Tangentialebene.

• ; die beiden Kugeln schneiden sich in einem Schnittkreis

• $d(M_1,M_2)=\mathrm{\mid }{r}_1-r_2\mathrm{\mid }d(M\_1,M\_2)=|r\_1-r\_2|$; die Kugeln liegen ineinander und berühren sich innen in einem Punkt $BB$. Die Kugeln haben eine gemeinsame Tangentialebene.

• ; die Kugeln liegen ineinander und berühren sich nicht

Beispiel 1

Die Kugel $K_{1}K\_1$ ist gegeben durch ihren Mittelpunkt $M_1(8\mathrm{\mid }0\mathrm{\mid }0)M\_1(8|0|0)$ und den Radius $r_1=3r\_1=3$.

Die Kugel $K_{2}K\_2$ ist gegeben durch ihren Mittelpunkt $M_2(0\mathrm{\mid }0\mathrm{\mid }0)M\_2(0|0|0)$ und den Radius $r_2=2r\_2=2$.

Berechne den Abstand der beiden Mittelpunkte und vergleiche mit der Summe der beiden Radien.

$d(M_1,M_2)=8d(M\_1,M\_2)=8$; $r_1+r_2=3+2=5r\_1+r\_2=3+2=5$

Hier gilt $d(M_1,M_2)=8>r_1+r_2=5d(M\_1,M\_2)=8>r\_1+r\_2=5$, d.h. die Kugeln schneiden sich nicht.

Beispiel 2

Die Kugel $K_{1}K\_1$ ist gegeben durch ihren Mittelpunkt $M_1(5\mathrm{\mid }0\mathrm{\mid }0)M\_1(5|0|0)$ und den Radius $r_1=3r\_1=3$.

Die Kugel $K_{2}K\_2$ ist gegeben durch ihren Mittelpunkt $M_2(0\mathrm{\mid }0\mathrm{\mid }0)M\_2(0|0|0)$ und den Radius $r_2=2r\_2=2$.

Berechne den Abstand der beiden Mittelpunkte und vergleiche mit der Summe der beiden Radien.

$d(M_1,M_2)=5d(M\_1,M\_2)=5$; $r_1+r_2=3+2=5r\_1+r\_2=3+2=5$

Hier gilt $d(M_1,M_2)=r_1+r_2=5d(M\_1,M\_2)=r\_1+r\_2=5$, d.h. die Kugeln berühren sich außen in genau einem Punkt $BB$. Die Kugeln haben eine gemeinsame Tangentialebene.

Siehe auch: Zwei Kugeln mit gemeinsamen äußeren Berührpunkt

Beispiel 3

Die Kugel $K_{1}K\_1$ ist gegeben durch ihren Mittelpunkt $M_1(4\mathrm{\mid }0\mathrm{\mid }0)M\_1(4|0|0)$ und den Radius $r_1=3r\_1=3$.

Die Kugel $K_{2}K\_2$ ist gegeben durch ihren Mittelpunkt $M_2(0\mathrm{\mid }0\mathrm{\mid }0)M\_2(0|0|0)$ und den Radius $r_2=2r\_2=2$.

Berechne den Abstand der beiden Mittelpunkte und vergleiche mit der Summe der beiden Radien.

$d(M_1,M_2)=4d(M\_1,M\_2)=4$; $r_1+r_2=3+2=5r\_1+r\_2=3+2=5$; $\mathrm{\mid }{r}_1-r_2\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }3-2\mathrm{\mid }=1|r\_1-r\_2|=|3-2|=1$

Hier gilt , d.h. die beiden Kugeln schneiden sich in einem Schnittkreis.

Siehe auch: Zwei sich schneidende Kugeln

Beispiel 4

Die Kugel $K_{1}K\_1$ ist gegeben durch ihren Mittelpunkt $M_1(1\mathrm{\mid }0\mathrm{\mid }0)M\_1(1|0|0)$ und den Radius $r_1=3r\_1=3$.

Die Kugel $K_{2}K\_2$ ist gegeben durch ihren Mittelpunkt $M_2(0\mathrm{\mid }0\mathrm{\mid }0)M\_2(0|0|0)$ und den Radius $r_2=2r\_2=2$.

Berechne den Abstand der beiden Mittelpunkte und vergleiche mit der Summe der beiden Radien.

$d(M_1,M_2)=1d(M\_1,M\_2)=1$; $\mathrm{\mid }{r}_1-r_2\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }3-2\mathrm{\mid }=1|r\_1-r\_2|=|3-2|=1$

Hier gilt $d(M_1,M_2)=\mathrm{\mid }{r}_1-r_2\mathrm{\mid }=1d(M\_1,M\_2)=|r\_1-r\_2|=1$, d.h. die Kugeln liegen ineinander und berühren sich innen in einem Punkt $BB$.

Siehe auch: Zwei Kugeln mit gemeinsamen inneren Berührpunkt

Beispiel 5

Die Kugel $K_{1}K\_1$ ist gegeben durch ihren Mittelpunkt $M_1(\mathrm{0,5}\mathrm{\mid }0\mathrm{\mid }0)M\_1(0\{,\}5|0|0)$ und den Radius $r_1=3r\_1=3$.

Die Kugel $K_{2}K\_2$ ist gegeben durch ihren Mittelpunkt $M_2(0\mathrm{\mid }0\mathrm{\mid }0)M\_2(0|0|0)$ und den Radius $r_2=2r\_2=2$.

Berechne den Abstand der beiden Mittelpunkte und vergleiche mit der Summe der beiden Radien.

$d(M_1,M_2)=\mathrm{0,5}d(M\_1,M\_2)=0\{,\}5$; $\mathrm{\mid }{r}_1-r_2\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }3-2\mathrm{\mid }=1|r\_1-r\_2|=|3-2|=1$

Hier gilt , d.h. die Kugeln liegen ineinander und berühren sich nicht.