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Gegenseitige Lage von zwei Kugeln

Lage von zwei Kugeln zueinander

Es wird die Lage zweier Kugeln K1K_1 und K2K_2 zueinander untersucht.

Dabei treten fünf Fälle auf:

  • die Kugeln schneiden sich nicht (oberes linkes Bild)

  • die Kugeln berühren sich in genau einem äußeren Punkt BB. Die Kugeln haben eine gemeinsame Tangentialebene (oberes mittleres Bild).

  • die beiden Kugeln schneiden sich in einem Schnittkreis (oberes rechtes Bild)

  • die Kugeln liegen ineinander und berühren sich innen in einem Punkt BB. Die Kugeln haben eine gemeinsame Tangentialebene (unteres linkes Bild).

  • die Kugeln liegen ineinander und berühren sich nicht (unteres rechtes Bild)

Allgemeines Vorgehen

Die Kugel K1K_1 ist gegeben durch ihren Mittelpunkt M1M_1 und den Radius r1 r_1.

Die Kugel K2K_2 ist gegeben durch ihren Mittelpunkt M2M_2 und den Radius r2 r_2.

Die Ermittlung der Lage von zwei Kugeln erfolgt über die Berechnung des Abstandes der beiden Kugelmittelpunkte M1M_1 und M2M_2.

Nun sind fünf Fälle möglich:

  • d(M1,M2)>r1+r2d(M_1,M_2)>r_1+r_2; die Kugeln schneiden sich nicht

  • d(M1,M2)=r1+r2d(M_1,M_2)=r_1+r_2; die Kugeln berühren sich in genau einem Punkt BB. Die Kugeln haben eine gemeinsame Tangentialebene.

  • r1r2<d(M1,M2)<r1+r2|r_1-r_2|<d(M_1,M_2)<r_1+r_2; die beiden Kugeln schneiden sich in einem Schnittkreis

  • d(M1,M2)=r1r2d(M_1,M_2)=|r_1-r_2|; die Kugeln liegen ineinander und berühren sich innen in einem Punkt BB. Die Kugeln haben eine gemeinsame Tangentialebene.

  • d(M1,M2)<r1r2d(M_1,M_2)<|r_1-r_2|; die Kugeln liegen ineinander und berühren sich nicht

Beispiel 1

Die Kugel K1K_1 ist gegeben durch ihren Mittelpunkt M1(800)M_1(8|0|0) und den Radius r1=3 r_1=3.

Die Kugel K2K_2 ist gegeben durch ihren Mittelpunkt M2(000)M_2(0|0|0) und den Radius r2=2 r_2=2.

Berechne den Abstand der beiden Mittelpunkte und vergleiche mit der Summe der beiden Radien.

d(M1,M2)=8d(M_1,M_2)=8; r1+r2=3+2=5r_1+r_2=3+2=5

Hier gilt d(M1,M2)=8>r1+r2=5d(M_1,M_2)=8>r_1+r_2=5, d.h. die Kugeln schneiden sich nicht.

Beispiel 2

Die Kugel K1K_1 ist gegeben durch ihren Mittelpunkt M1(500)M_1(5|0|0) und den Radius r1=3 r_1=3.

Die Kugel K2K_2 ist gegeben durch ihren Mittelpunkt M2(000)M_2(0|0|0) und den Radius r2=2 r_2=2.

Berechne den Abstand der beiden Mittelpunkte und vergleiche mit der Summe der beiden Radien.

d(M1,M2)=5d(M_1,M_2)=5; r1+r2=3+2=5r_1+r_2=3+2=5

Hier gilt d(M1,M2)=r1+r2=5d(M_1,M_2)=r_1+r_2=5, d.h. die Kugeln berühren sich außen in genau einem Punkt BB. Die Kugeln haben eine gemeinsame Tangentialebene.

Siehe auch: Zwei Kugeln mit gemeinsamen äußeren Berührpunkt

Beispiel 3

Die Kugel K1K_1 ist gegeben durch ihren Mittelpunkt M1(400)M_1(4|0|0) und den Radius r1=3 r_1=3.

Die Kugel K2K_2 ist gegeben durch ihren Mittelpunkt M2(000)M_2(0|0|0) und den Radius r2=2 r_2=2.

Berechne den Abstand der beiden Mittelpunkte und vergleiche mit der Summe der beiden Radien.

d(M1,M2)=4d(M_1,M_2)=4; r1+r2=3+2=5r_1+r_2=3+2=5; r1r2=32=1|r_1-r_2|=|3-2|=1

Hier gilt r1r2=1<d(M1,M2)=4<r1+r2=5|r_1-r_2|=1<d(M_1,M_2)=4<r_1+r_2=5, d.h. die beiden Kugeln schneiden sich in einem Schnittkreis.

Siehe auch: Zwei sich schneidende Kugeln

Beispiel 4

Die Kugel K1K_1 ist gegeben durch ihren Mittelpunkt M1(100)M_1(1|0|0) und den Radius r1=3 r_1=3.

Die Kugel K2K_2 ist gegeben durch ihren Mittelpunkt M2(000)M_2(0|0|0) und den Radius r2=2 r_2=2.

Berechne den Abstand der beiden Mittelpunkte und vergleiche mit der Summe der beiden Radien.

d(M1,M2)=1d(M_1,M_2)=1; r1r2=32=1|r_1-r_2|=|3-2|=1

Hier gilt d(M1,M2)=r1r2=1d(M_1,M_2)=|r_1-r_2|=1, d.h. die Kugeln liegen ineinander und berühren sich innen in einem Punkt BB.

Siehe auch: Zwei Kugeln mit gemeinsamen inneren Berührpunkt

Beispiel 5

Die Kugel K1K_1 ist gegeben durch ihren Mittelpunkt M1(0,500)M_1(0{,}5|0|0) und den Radius r1=3 r_1=3.

Die Kugel K2K_2 ist gegeben durch ihren Mittelpunkt M2(000)M_2(0|0|0) und den Radius r2=2 r_2=2.

Berechne den Abstand der beiden Mittelpunkte und vergleiche mit der Summe der beiden Radien.

d(M1,M2)=0,5d(M_1,M_2)=0{,}5; r1r2=32=1|r_1-r_2|=|3-2|=1

Hier gilt d(M1,M2)=0,5<r1r2=1d(M_1,M_2)=0{,}5<|r_1-r_2|=1, d.h. die Kugeln liegen ineinander und berühren sich nicht.

Übungsaufgaben: Gegenseitige Lage von zwei Kugeln

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zu Kreisen und Kugeln

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