Zwei Kugeln mit gemeinsamen äußeren Berührpunkt

Ist der Abstand der beiden Kugelmittelpunkte gleich der Summe der beiden Kugelradien, dann berühren sich die Kugeln in einem äußeren Punkt $B$ .

Die beiden Kugeln haben eine gemeinsame Tangentialebene $E_{T}$ .

Gesucht sind die Berührpunktkoordinaten und die Gleichung der Tangentialebene.

Allgemeines Vorgehen

Berechnung von $B$

Die Kugel $K_{1}$ hat den Mittelpunkt $M_{1}$ und den Radius $r_{1}$ . Die Kugel $K_{2}$ hat den Mittelpunkt $M_{2}$ und den Radius $r_{2}$ .

Berechne den Vektor $\vec{M_{1} M_{2}}$ und dann seinen Betrag $d (M_{1} M_{2}) = | \vec{M_{1} M_{2}} |$ .

Aus der nebenstehenden Abbildung kannst du folgende Vektorgleichung ablesen:

\vec{O B} = \vec{O M_{1}} + r_{1} \cdot {\vec{n}}_{0}

Dabei ist der Vektor ${\vec{n}}_{0}$ ein Einheitsvektor:

${\vec{n}}_{0} = \frac{\vec{M_{1} M_{2}}}{| \vec{M_{1} M_{2}} |}$

$\vec{O B} = \vec{O M_{1}} + r_{1} \cdot \frac{\vec{M_{1} M_{2}}}{| \vec{M_{1} M_{2}} |}$

Berechnung von $E_{T}$

Mit Hilfe des berechneten Einheitsvektors ${\vec{n}}_{0}$ und einem Punkt der Ebene (hier der Berührpunkt $B$ ) kann die Gleichung der Tangentialebene erstellt werden. Bei Verwendung von ${\vec{n}}_{0}$ erhältst du die Hessesche Normalenform der Ebene bzw. nach Berechnung des Skalarproduktes eine Koordinatenform.

Beispiel:

Gegeben sind die Kugeln $K_{1} : {(\vec{x} - (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 2 \end{array}))}^{2} = 4$ und $K_{2} : {(\vec{x} - (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 4 \end{array}))}^{2} = 1$

Berechne den gemeinsamen Berührpunkt $B$ und die Koordinatengleichung der Tangentialebene $E_{T}$ .

Haben die beiden Kugeln einen gemeinsamen äußeren Berührpunkt?

Berechne den Vektor $\vec{M_{1} M_{2}}$ und dann seinen Betrag $d (M_{1} M_{2}) = | \vec{M_{1} M_{2}} |$ .

$\vec{M_{1} M_{2}} = (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 4 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})$

$d (M_{1} M_{2}) = | \vec{M_{1} M_{2}} | = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}} = \sqrt{9} = 3$

$r_{1} = \sqrt{4} = 2$ und $r_{2} = \sqrt{1} = 1 \Rightarrow r_{1} + r_{2} = 2 + 1 = 3$

Der Abstand der beiden Kugelmittelpunkte beträgt $3$ und die Summe der beiden Kugelradien beträgt auch $3$ .

$d (M_{1} M_{2}) = r_{1} + r_{2} = 3 \Rightarrow$ Die beiden Kugeln berühren sich außen.

Berechnung von $B$

Berechne den Vektor $\vec{O B}$ :

$\vec{O B} = \vec{O M_{1}} + r_{1} \cdot {\vec{n}}_{0} = \vec{O M_{1}} + r_{1} \cdot \frac{\vec{M_{1} M_{2}}}{| \vec{M_{1} M_{2}} |}$

Dabei ist $r_{1} = 2$ , $| \vec{M_{1} M_{2}} | = 3$ und der Einheitsvektor ist ${\vec{n}}_{0} = \frac{1}{3} \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})$ .

$\vec{O B} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) + 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 + \frac{2}{3} \\ - 1 + \frac{4}{3} \\ 2 + \frac{4}{3} \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{8}{3} \\ \frac{1}{3} \\ \frac{10}{3} \end{array})$

Antwort: Der Berührpunkt hat die Koordinaten $B (\frac{8}{3} | \frac{1}{3} | \frac{10}{3})$ .

Berechnung von $E_{T}$

Mit Hilfe des oben berechneten Einheitsvektors ${\vec{n}}_{0}$ und einem Punkt der Ebene (hier der Berührpunkt $B$ ) kann die Gleichung der Tangentialebene erstellt werden. Bei Verwendung von ${\vec{n}}_{0}$ erhältst du die Hessesche Normalenform der Ebene bzw. nach Berechnung des Skalarproduktes eine Koordinatenform.

$E : (\vec{x} - \vec{p}) \circ {\vec{n}}_{0}$	$=$	$0$
	↓	Setze $B (\frac{8}{3} \| \frac{1}{3} \| \frac{10}{3})$ und ${\vec{n}}_{0} = \frac{1}{3} \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})$ ein.
$(\vec{x} - (\begin{array}{c} \frac{8}{3} \\ \frac{1}{3} \\ \frac{10}{3} \end{array})) \circ \frac{1}{3} \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Das ist die Hessesche Normalenform der Tangentialebene.
$((\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} \frac{8}{3} \\ \frac{1}{3} \\ \frac{10}{3} \end{array})) \circ \frac{1}{3} \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Umwandlung in die Koordinatenform.
$(\begin{array}{c} x_{1} - \frac{8}{3} \\ x_{2} - \frac{1}{3} \\ x_{3} - \frac{10}{3} \end{array}) \circ \frac{1}{3} \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$\frac{1}{3} \cdot ((x_{1} - \frac{8}{3}) \cdot 1 + (x_{2} - \frac{1}{3}) \cdot 2 + (x_{3} - \frac{10}{3}) \cdot 2)$	$=$	$0$
	↓	Löse die Klammern auf.
$\frac{1}{3} \cdot (x_{1} - \frac{8}{3} + 2 x_{2} - \frac{2}{3} + 2 x_{3} - \frac{20}{3})$	$=$	$0$
	↓	Vereinfache.
$\frac{1}{3} \cdot (x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} - \frac{30}{3})$	$=$	$0$
	↓	Vereinfache.
$\frac{1}{3} \cdot (x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} - 10)$	$=$	$0$

Antwort: Die Hessesche Koordinatenform der Tangentialebene $E_{T}$ lautet: $\frac{1}{3} \cdot (x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} - 10) = 0$ bzw. Tangentialebene $E_{T}$ als Koordinatengleichung: $x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} = 10$

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