Zwei Kugeln mit gemeinsamen äußeren Berührpunkt

Allgemeines Vorgehen

Berechnung von $B$

Die Kugel $K_1$ hat den Mittelpunkt $M_1$ und den Radius $r_1$. Die Kugel $K_2$ hat den Mittelpunkt $M_2$ und den Radius $r_2$.

Berechne den Vektor $\overrightarrow{M_1M_2}$ und dann seinen Betrag $d(M_1M_2)=\Big\vert \overrightarrow{M_1M_2}\Big\vert$.

Berechnung von $E_T$

Mit Hilfe des berechneten Einheitsvektors $\vec n_0$ und einem Punkt der Ebene (hier der Berührpunkt $B$) kann die Gleichung der Tangentialebene erstellt werden. Bei Verwendung von $\vec n_0$ erhältst du die Hessesche Normalenform der Ebene bzw. nach Berechnung des Skalarproduktes eine Koordinatenform.

Beispiel:

Gegeben sind die Kugeln $K_1: \left(\vec x-\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}\right)^2=4$ und $K_2: \left(\vec x-\begin{pmatrix}3\\1\\4\end{pmatrix}\right)^2=1$

Berechne den gemeinsamen Berührpunkt $B$ und die Koordinatengleichung der Tangentialebene $E_T$.

Haben die beiden Kugeln einen gemeinsamen äußeren Berührpunkt?

Berechne den Vektor $\overrightarrow{M_1M_2}$ und dann seinen Betrag $d(M_1M_2)=\Big\vert \overrightarrow{M_1M_2}\Big\vert$.

$\overrightarrow{M_1M_2}=\begin{pmatrix}3\\1\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$

$d(M_1M_2)=\Big\vert \overrightarrow{M_1M_2}\Big\vert=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt{9}=3$

$r_1=\sqrt{4}=2$ und $r_2=\sqrt{1}=1\;\;\Rightarrow\; r_1+r_2=2+1=3$

Der Abstand der beiden Kugelmittelpunkte beträgt $3$ und die Summe der beiden Kugelradien beträgt auch $3$.

$d(M_1M_2)=r_1+r_2=3\;\; \Rightarrow\;\;$ Die beiden Kugeln berühren sich außen.

Berechnung von $B$

Berechne den Vektor $\overrightarrow{OB}$:

$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OM_1}+r_1\cdot\vec{n}_0=\overrightarrow{OM_1}+r_1\cdot\dfrac{\overrightarrow{M_1M_2}}{\Big\vert\overrightarrow{M_1M_2}\Big\vert}$

Dabei ist $r_1=2$ , $\Big\vert\overrightarrow{M_1M_2}\Big\vert=3$ und der Einheitsvektor ist $\vec n_0=\dfrac{1}{3}\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$.

$\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}+2\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2+\dfrac{2}{3}\\-1+\dfrac{4}{3}\\2+\dfrac{4}{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{8}{3}\\[2ex]\dfrac{1}{3}\\[2ex]\dfrac{10}{3}\end{pmatrix}$

Antwort: Der Berührpunkt hat die Koordinaten $B\left(\dfrac{8}{3}\Big\vert \dfrac{1}{3}\Big\vert \dfrac{10}{3}\right)$.

Berechnung von $E_T$

Mit Hilfe des oben berechneten Einheitsvektors $\vec n_0$ und einem Punkt der Ebene (hier der Berührpunkt $B$) kann die Gleichung der Tangentialebene erstellt werden. Bei Verwendung von $\vec n_0$ erhältst du die Hessesche Normalenform der Ebene bzw. nach Berechnung des Skalarproduktes eine Koordinatenform.

Antwort: Die Hessesche Koordinatenform der Tangentialebene $E_T$ lautet: $\dfrac{1}{3}\cdot(x_1+2x_2+2x_3-10)=0$ bzw. Tangentialebene $E_T$ als Koordinatengleichung: $x_1+2x_2+2x_3=10$