Zwei Kugeln mit gemeinsamen äußeren Berührpunkt

Ist der Abstand der beiden Kugelmittelpunkte gleich der Summe der beiden Kugelradien, dann berühren sich die Kugeln in einem äußeren Punkt $B$ .

Die beiden Kugeln haben eine gemeinsame Tangentialebene $E_{T}$ .

Gesucht sind die Berührpunktkoordinaten und die Gleichung der Tangentialebene.

Allgemeines Vorgehen

Berechnung von $B$

Die Kugel $K_{1}$ hat den Mittelpunkt $M_{1}$ und den Radius $r_{1}$ . Die Kugel $K_{2}$ hat den Mittelpunkt $M_{2}$ und den Radius $r_{2}$ .

Berechne den Vektor $\overrightarrow{M_1M_2}$ und dann seinen Betrag $d(M_1M_2)=\Big\vert \overrightarrow{M_1M_2}\Big\vert$ .

Aus der nebenstehenden Abbildung kannst du folgende Vektorgleichung ablesen:

\displaystyle \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OM_1}+r_1\cdot\vec{n}_0

Dabei ist der Vektor $\vec n_0$ ein Einheitsvektor:

$\vec{n}_0=\dfrac{\overrightarrow{M_1M_2}}{\Big\vert\overrightarrow{M_1M_2}\Big\vert}$

$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OM_1}+r_1\cdot\dfrac{\overrightarrow{M_1M_2}}{\Big\vert\overrightarrow{M_1M_2}\Big\vert}$

Berechnung von $E_{T}$

Mit Hilfe des berechneten Einheitsvektors $\vec n_0$ und einem Punkt der Ebene (hier der Berührpunkt $B$ ) kann die Gleichung der Tangentialebene erstellt werden. Bei Verwendung von $\vec n_0$ erhältst du die Hessesche Normalenform der Ebene bzw. nach Berechnung des Skalarproduktes eine Koordinatenform.

Beispiel:

Gegeben sind die Kugeln $K_1: \left(\vec x-\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}\right)^2=4$ und $K_2: \left(\vec x-\begin{pmatrix}3\\1\\4\end{pmatrix}\right)^2=1$

Berechne den gemeinsamen Berührpunkt $B$ und die Koordinatengleichung der Tangentialebene $E_{T}$ .

Haben die beiden Kugeln einen gemeinsamen äußeren Berührpunkt?

Berechne den Vektor $\overrightarrow{M_1M_2}$ und dann seinen Betrag $d(M_1M_2)=\Big\vert \overrightarrow{M_1M_2}\Big\vert$ .

$\overrightarrow{M_1M_2}=\begin{pmatrix}3\\1\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$

$d(M_1M_2)=\Big\vert \overrightarrow{M_1M_2}\Big\vert=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt{9}=3$

$r_1=\sqrt{4}=2$ und $r_2=\sqrt{1}=1\;\;\Rightarrow\; r_1+r_2=2+1=3$

Der Abstand der beiden Kugelmittelpunkte beträgt $3$ und die Summe der beiden Kugelradien beträgt auch $3$ .

$d(M_1M_2)=r_1+r_2=3\;\; \Rightarrow\;\;$ Die beiden Kugeln berühren sich außen.

Berechnung von $B$

Berechne den Vektor $\overrightarrow{OB}$ :

$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OM_1}+r_1\cdot\vec{n}_0=\overrightarrow{OM_1}+r_1\cdot\dfrac{\overrightarrow{M_1M_2}}{\Big\vert\overrightarrow{M_1M_2}\Big\vert}$

Dabei ist $r_{1} = 2$ , $\Big\vert\overrightarrow{M_1M_2}\Big\vert=3$ und der Einheitsvektor ist $\vec n_0=\dfrac{1}{3}\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$ .

$\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}+2\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2+\dfrac{2}{3}\\-1+\dfrac{4}{3}\\2+\dfrac{4}{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{8}{3}\\[2ex]\dfrac{1}{3}\\[2ex]\dfrac{10}{3}\end{pmatrix}$

Antwort: Der Berührpunkt hat die Koordinaten $B\left(\dfrac{8}{3}\Big\vert \dfrac{1}{3}\Big\vert \dfrac{10}{3}\right)$ .

Berechnung von $E_{T}$

Mit Hilfe des oben berechneten Einheitsvektors $\vec n_0$ und einem Punkt der Ebene (hier der Berührpunkt $B$ ) kann die Gleichung der Tangentialebene erstellt werden. Bei Verwendung von $\vec n_0$ erhältst du die Hessesche Normalenform der Ebene bzw. nach Berechnung des Skalarproduktes eine Koordinatenform.

$\displaystyle E:\;(\vec x-\vec p)\circ \vec n_0$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Setze $B\left(\dfrac{8}{3}\Big\vert \dfrac{1}{3}\Big\vert \dfrac{10}{3}\right)$ und $\vec n_0=\dfrac{1}{3}\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$ ein.
$\displaystyle \left(\vec x-\begin{pmatrix}\dfrac{8}{3}\\[2ex]\dfrac{1}{3}\\[2ex]\dfrac{10}{3}\end{pmatrix}\right)\circ \dfrac{1}{3}\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Das ist die Hessesche Normalenform der Tangentialebene.
$\displaystyle \left(\begin{pmatrix}x_1\\[2ex]x_2\\[2ex]x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\dfrac{8}{3}\\[2ex]\dfrac{1}{3}\\[2ex]\dfrac{10}{3}\end{pmatrix}\right)\circ \dfrac{1}{3}\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Umwandlung in die Koordinatenform.
$\displaystyle \begin{pmatrix}x_1-\dfrac{8}{3}\\[2ex]x_2-\dfrac{1}{3}\\[2ex]x_3-\dfrac{10}{3}\end{pmatrix}\circ \dfrac{1}{3}\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot((x_1-\frac{8}{3})\cdot1+(x_2-\frac{1}{3})\cdot2+(x_3-\frac{10}{3})\cdot2)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Löse die Klammern auf.
$\displaystyle \dfrac{1}{3}\cdot(x_1-\dfrac{8}{3}+2x_2-\dfrac{2}{3}+2x_3-\dfrac{20}{3})$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \dfrac{1}{3}\cdot(x_1+2x_2+2x_3-\dfrac{30}{3})$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \dfrac{1}{3}\cdot(x_1+2x_2+2x_3-10)$	$=$	$\displaystyle 0$

Antwort: Die Hessesche Koordinatenform der Tangentialebene $E_{T}$ lautet: $\dfrac{1}{3}\cdot(x_1+2x_2+2x_3-10)=0$ bzw. Tangentialebene $E_{T}$ als Koordinatengleichung: $x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} = 10$

Übungsaufgaben

Laden

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zu Kreisen und Kugeln

Du hast noch nicht genug vom Thema?

Hier findest du noch weitere passende Inhalte zum Thema:

Artikel

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Zwei Kugeln mit gemeinsamen äußeren Berührpunkt

Allgemeines Vorgehen

Berechnung von BBB

Berechnung von ETE_TET​

Beispiel:

Haben die beiden Kugeln einen gemeinsamen äußeren Berührpunkt?

Berechnung von BBB

Berechnung von ETE_TET​

Übungsaufgaben

Du hast noch nicht genug vom Thema?

Artikel

Berechnung von $B$

Berechnung von $E_{T}$

Berechnung von $B$

Berechnung von $E_{T}$