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Normale

Die Normale ist eine Gerade, die in einem bestimmten Punkt senkrecht auf einem Funktionsgraphen oder einer geometrischen Figur steht.

Sie schneidet die Tangente im entsprechenden Punkt unter einem 9090^\circ-Winkel.

Normalenformel

Die Normale gg ist damit gegeben durch eine lineare Funktion und kann mithilfe der Normalenformel aufgestellt werden:

Bestimmen der Normalensteigung mnm_n

Ausgehend von einer Tangente (oder allgemein einer Geraden) ist es zu deren Normalen nicht weit. Da diese beiden Geraden senkrecht aufeinander stehen, erfüllen ihre Steigungen mtm_t und mnm_n folgende Gleichung:

und damit lässt sich mnm_n berechnen mithilfe:

 

Beispiele zur Bestimmung von mnm_n

Steigung der Tangente mtm_t

Steigung der Normale mnm_n

Normalengleichung aufstellen

Setzt man die Steigung mnm_n in die allgemeine Geradengleichung ein, besitzt die Normale die Form:

Hier steht bb für den y-Achsenabschnitt der Normale. Diesen können wir berechnen, indem für xx und g(x)g\left(x\right) die Koordinaten eines Punktes P(xy)P\left(x|y\right) eingesetzt werden.

Beispiel zur Berechnung des y-Achsenabschnittes bb

Eine Normale habe die Steigung mn=2m_n=-2 und verlaufe durch den Punkt P(34)P(-3|-4). Wir berechnen deren y-Achsenabschnitt. Dieser Ablauf ist für die Berechnung des y-Achsenabschnittes immer gleich und lässt sich ganz allgemein anwenden.

Allgemeines Rezept

Beispiel

Geradengleichung hinschreiben.

g(x)=mx+bg(x)=mx+b \\ g(x)=2x+bg(x)=-2x+b

Koordinaten des Punktes einsetzen.

4=(2)(3)+b-4=(-2)\cdot(-3)+b \\ 4=6+b\phantom{-4}=6+b

Nach bb umstellen.

bb in die Geradengleichung einsetzen.

Die Normale wird durch den Funktionsterm g(x)=2x10g(x)=-2x-10 beschrieben.

Normalenformel

Das Aufstellen der Normalengleichung ist genauso systematisch wie das Bestimmen einer Tangente und kann mit der Formel

vorgenommen werden.

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