Löse die Ebenengleichung nach ${\mathrm{x}}_3$ auf:

${\mathrm{x}}_3=-\frac{2}{3}{\mathrm{x}}_1+\frac{1}{3}{\mathrm{x}}_2+\frac{5}{3}$

Ersetze  ${\mathrm{x}}_1$  durch  $\mathrm{\lambda }$  und  ${\mathrm{x}}_2$  durch  $\mathrm{\mu }$  .

${\mathrm{x}}_3=-\frac{2}{3}\mathrm{\lambda }+\frac{1}{3}\mathrm{\mu }+\frac{5}{3}$

Schreibe ${\mathrm{x}}_1$,  ${\mathrm{x}}_2$ und  ${\mathrm{x}}_3$ passend übereinander.

$\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_1=0+1\cdot \mathrm{\lambda }+0\cdot \mathrm{\mu }\\ {\mathrm{x}}_2=0+0\cdot \mathrm{\lambda }+1\cdot \mathrm{\mu }\\ {\mathrm{x}}_3=\frac{5}{3}-\frac{2}{3}\cdot \mathrm{\lambda }+\frac{1}{3}\cdot \mathrm{\mu }\end{array}$

Lese den Aufpunkt und die Richtungsvektoren ab.

$\mathrm{E}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ \frac{5}{3}\end{array}\right)+\mathrm{\lambda }\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -\frac{2}{3}\end{array}\right)+\mathrm{\mu }\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ \frac{1}{3}\end{array}\right)$

Die beiden Richtungsvektoren können noch mit  $3$  multipliziert werden.

$\mathrm{E}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ \frac{5}{3}\end{array}\right)+\mathrm{\lambda }\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ -2\end{array}\right)+\mathrm{\mu }\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 1\end{array}\right)$

Löse die Ebenengleichung nach  ${\mathrm{x}}_3$  auf:

${\mathrm{x}}_3=\frac{1}{4}{\mathrm{x}}_1-\frac{1}{2}{\mathrm{x}}_2$

Ersetze ${\mathrm{x}}_1$ durch $\mathrm{\lambda }$ und ${\mathrm{x}}_2$ durch $\mathrm{\mu }$ .

${\mathrm{x}}_3=\frac{1}{4}\mathrm{\lambda }-\frac{1}{2}\mathrm{\mu }$

Schreibe ${\mathrm{x}}_1$,  ${\mathrm{x}}_2$ und  ${\mathrm{x}}_3$ passend übereinander.

$\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_1=0+1\cdot \mathrm{\lambda }+0\cdot \mathrm{\mu }\\ {\mathrm{x}}_2=0+0\cdot \mathrm{\lambda }+1\cdot \mathrm{\mu }\\ {\mathrm{x}}_3=0+\frac{1}{4}\cdot \mathrm{\lambda }-\frac{1}{2}\cdot \mathrm{\mu }\end{array}$

Lese den Aufpunkt und die Richtungsvektoren ab.

$\mathrm{E}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)+\mathrm{\lambda }\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ \frac{1}{4}\end{array}\right)+\mathrm{\mu }\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -\frac{1}{2}\end{array}\right)$

Die beiden Richtungsvektoren können noch mit $4$  bzw. $2$ multipliziert werden.

$\mathrm{E}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)+\mathrm{\lambda }\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 1\end{array}\right)+\mathrm{\mu }\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -1\end{array}\right)$

$\mathrm{E}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\mathrm{\lambda }\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 1\end{array}\right)+\mathrm{\mu }\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -1\end{array}\right)$

Löse die Ebenengleichung nach  ${\mathrm{x}}_3$  auf:

${\mathrm{x}}_3=-\frac{3}{4}{\mathrm{x}}_1+\frac{5}{4}$

Ersetze ${\mathrm{x}}_1$ durch $\mathrm{\lambda }$ und setze ${\mathrm{x}}_2=\mathrm{\mu }$.

${\mathrm{x}}_3=-\frac{3}{4}\mathrm{\lambda }+\frac{5}{4}$

Schreibe ${\mathrm{x}}_1$, ${\mathrm{x}}_2$ und ${\mathrm{x}}_3$ passend übereinander.

$\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_1=0+1\cdot \mathrm{\lambda }+0\cdot \mathrm{\mu }\\ {\mathrm{x}}_2=0+0\cdot \mathrm{\lambda }+1\cdot \mathrm{\mu }\\ {\mathrm{x}}_3=\frac{5}{4}-\frac{3}{4}\cdot \mathrm{\lambda }+0\cdot \mathrm{\mu }\end{array}$

Lese den Aufpunkt und die Richtungsvektoren ab.

$\mathrm{E}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ \frac{5}{4}\end{array}\right)+\mathrm{\lambda }\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -\frac{3}{4}\end{array}\right)+\mathrm{\mu }\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$

Die erste Richtungsvektor kann noch mit $4$ multipliziert werden.

$\mathrm{E}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ \frac{5}{4}\end{array}\right)+\mathrm{\lambda }\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -3\end{array}\right)+\mathrm{\mu }\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$

Die Ebenengleichung kann nicht nach  ${\mathrm{x}}_3$  aufgelöst werden. Löse deshalb nach  ${\mathrm{x}}_2$  auf:

${\mathrm{x}}_2=-\frac{2}{3}{\mathrm{x}}_1+\frac{1}{3}$

Ersetze ${\mathrm{x}}_1$ durch $\mathrm{\lambda }$ und setze ${\mathrm{x}}_3=\mathrm{\mu }$.

${\mathrm{x}}_2=-\frac{2}{3}\mathrm{\lambda }+\frac{1}{3}$

Schreibe ${\mathrm{x}}_1$, ${\mathrm{x}}_2$ und ${\mathrm{x}}_3$ passend übereinander.

$\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_1=0+1\cdot \mathrm{\lambda }+0\cdot \mathrm{\mu }\\ {\mathrm{x}}_2=\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\mathrm{\lambda }+0\cdot \mathrm{\mu }\\ {\mathrm{x}}_3=0+0\cdot \mathrm{\lambda }+1\cdot \mathrm{\mu }\end{array}$

Lese den Aufpunkt und die Richtungsvektoren ab.

$\mathrm{E}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}0\\ \frac{1}{3}\\ 0\end{array}\right)+\mathrm{\lambda }\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -\frac{2}{3}\\ 0\end{array}\right)+\mathrm{\mu }\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

Die erste Richtungsvektor kann noch mit $3$ multipliziert werden.

$\mathrm{E}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}0\\ \frac{1}{3}\\ 0\end{array}\right)+\mathrm{\lambda }\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 0\end{array}\right)+\mathrm{\mu }\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

Die Ebenengleichung kann nicht nach ${\mathrm{x}}_3$ aufgelöst werden. Löse deshalb nach ${\mathrm{x}}_2$ auf:

${\mathrm{x}}_2=\frac{3}{2}$

Setze ${\mathrm{x}}_1=\mathrm{\lambda }$ und ${\mathrm{x}}_3=\mathrm{\mu }$ und schreibe ${\mathrm{x}}_1$, ${\mathrm{x}}_2$ und ${\mathrm{x}}_3$ passend übereinander.

$\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_1=0+1\cdot \mathrm{\lambda }+0\cdot \mathrm{\mu }\\ {\mathrm{x}}_2=\frac{3}{2}+0\cdot \mathrm{\lambda }+0\cdot \mathrm{\mu }\\ {\mathrm{x}}_3=0+0\cdot \mathrm{\lambda }+1\cdot \mathrm{\mu }\end{array}$

Lese den Aufpunkt und die Richtungsvektoren ab.

$\mathrm{E}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}0\\ \frac{3}{2}\\ 0\end{array}\right)+\mathrm{\lambda }\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+\mathrm{\mu }\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$