$E:\begin{pmatrix}6\\-1\\-4\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\{x}_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}\right]=0$

Multipliziere die Klammern mit Hilfe des  Distributivgesetzes aus und berechne das Skalarprodukt.

$E:\;6{x}_1-6-{x}_2-4{x}_3+12=0$

Fasse zusammen.

$E:6{x}_1-{x}_2-4{x}_3+6=0$

$E:\begin{pmatrix}4\\-7\\2\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}{x}_1\\{x}_2\\{x}_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}\right]=0$

Berechne zunächst das Skalarprodukt :

$E: 4\cdot{x}_1+\left(-7\right)\cdot\left({x}_2-1\right)+2\cdot\left({x}_3-2\right)=0$

Multipliziere nun die Klammern mit Hilfe des  Distributivgesetzes aus:

$E:\;4{x}_1-7{x}_2+7+2{x}_3-4=0$

Fasse zusammen:

$E: 4{x}_1-7{x}_2+2{x}_3+3=0$

$E:\;\begin{pmatrix}-6\\-3\\2\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}{x}_1\\{x}_2\\{x}_3\end{pmatrix}=0$

Der zweite Faktor enthält keine Differenz. Berechne daher nur das Skalarprodukt :

$E:-6{x}_1-3{x}_2+2{x}_3=0\; | \cdot (-1)$

$E:\phantom{-}6{x}_1+3{x}_2-2{x}_3=0$

$E: \begin{pmatrix}-4\\-2\\1\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}{x}_1\\{x}_2\\{x}_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\right]=0$

Berechne das Skalarprodukt :

$E: -4\cdot\left({x}_1-1\right)+\left(-2\right)\cdot\left({x}_2-1\right)+1\cdot\left({x}_3+1\right)=0$

Multipliziere die Klammern mit Hilfe des  Distributivgesetzes aus:

$E: -4{x}_1+4-2{x}_2+2+{x}_3+1=0$

Fasse zusammen:

$E: -4{x}_1-2{x}_2+{x}_3+7=0$

$E: \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}{x}_1\\{x}_2\\{x}_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}\right]=0$

Berechne das Skalarprodukt :

$E: 1\cdot\left({x}_1-3\right)+\left(-1\right)\cdot\left({x}_3-2\right)=0$

Multipliziere die Klammern mit Hilfe des  Distributivgesetzes aus:

$E: x_1-3-{x}_3+2=0$

Fasse zusammen:

$E: {x}_1-{x}_3-1=0$

$E:\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}{x}_1\\{x}_2\\{x}_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}\right]=0$

Berechne das Skalarprodukt :

$E: 1\cdot\left({x}_2-2\right)=0$

$E: {x}_2-2=0$

(Hinweis: Die Ebene ist parallel zur  ${x}_1-{x}_3-\text{Ebene}$ )

$E: \begin{pmatrix}-500\\550\\100\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}{\mathrm x}_1\\{x}_2\\{x}_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}40\\80\\0\end{pmatrix}\right]=0$

Berechne das Skalarprodukt .

$E: -500\cdot\left({x}_1-40\right)+550\cdot\left({ x}_2-80\right)+100\cdot{x}_3=0$

Multipliziere die Klammern mit Hilfe des  Distributivgesetzes aus.

$E: -500{x}_1+20000+550 {x}_2-44000+100 {x}_3=0$

Fasse zusammen.

$E: -500{x}_1+550{x}_2+100{x}_3-24000=0$

Um die Gleichung noch zu vereinfachen, kann man sie auf beide Seiten durch  $50$  dividieren.

$E: -10{x}_1+11{x}_2+2{x}_3-480=0$

Alternative Lösung: 

Meistens ist es einfacher, zuerst den Normalenvektor der Ebene zu vereinfachen und dann erst das Skalarprodukt zu berechnen.

Klammere  $50$  im Normalenvektor aus, teile durch $50$ und berechne dann das Skalarprodukt:

$E: \begin{pmatrix}-10\\11\\22\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}{x}_1\\{x}_2\\{x}_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}40\\80\\0\end{pmatrix}\right]=0$

Multipliziere die Klammern mit Hilfe des  Distributivgesetzes aus:

$E:-10\cdot\left(x_1-40\right)+11\cdot\left(x_2-80\right)+2\cdot x_3=0_{ }^{ }$

Multipliziere die Klammern mit Hilfe des  Distributivgesetzes aus:

$E: -10{x}_1+400+11{x}_2-880+2{x}_3=0$

Fasse zusammen.

$E: -10{x}_1+11{x}_2+2{x}_3-480=0$