Ebene von Koordinatenform in Parameterform umwandeln

Um eine Ebene in Koordinatenform in die entsprechende Parameterform umzuwandeln, setzt man

\displaystyle x_1=0+k\cdot1+l\cdot0,\ \ \ \ x_2=0+k\cdot0+l\cdot1,

löst die Ebenengleichung nach $x_3$ auf, und schreibt schließlich $x_1,\;x_2\;\mathrm{und}\;x_3$ passend so übereinander, dass sich die gesuchte Parameterform leicht ablesen lässt.

Einschränkung: das geht so nur, wenn $x_3$ in der Koordinatenform vorkommt. Falls das nicht der Fall ist, aber z.B. $x_2$ vorkommt, vertausche die Rollen von $x_2$ und $x_3$ im Text oben.

Weitere Darstellungswechsel

Koordinatenform	Parameterform
$E:a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3-b=0$	$E:\vec x=\vec a+k\cdot\vec b+l\cdot\vec c$

Vorgehen Beispiel 1

Koordinatenform der Ebene E

\displaystyle x_1=0+k\cdot1+l\cdot0,\ \ \ \ x_2=0+k\cdot0+l\cdot1,

Ebenengleichung nach $x_3$ auflösen und den erhaltenen Term so sortieren, dass die Zahl von $x_1\;\mathrm{und}\;x_2$ gefolgt wird

\displaystyle x_1=0+k\cdot1+l\cdot0,\ \ \ \ x_2=0+k\cdot0+l\cdot1,

In der erhaltenen Gleichung $x_1$ durch k und $x_2$ durch l ersetzen

\displaystyle x_1=0+k\cdot1+l\cdot0,\ \ \ \ x_2=0+k\cdot0+l\cdot1,

\displaystyle x_1=0+k\cdot1+l\cdot0,\ \ \ \ x_2=0+k\cdot0+l\cdot1,

\displaystyle x_1=0+k\cdot1+l\cdot0,\ \ \ \ x_2=0+k\cdot0+l\cdot1,

$x_1,\;x_2\;\mathrm{und}\;x_3$ passend übereinander schreiben

\displaystyle x_1=0+k\cdot1+l\cdot0,\ \ \ \ x_2=0+k\cdot0+l\cdot1,

Parameterform der Ebene E

\displaystyle x_1=0+k\cdot1+l\cdot0,\ \ \ \ x_2=0+k\cdot0+l\cdot1,

Vorgehen Beispiel 2

Ist eine Koordinate nicht enthalten, dann kann man „⁣ $0\cdot Koordinate$ ⁣“ ergänzen.

Koordinatenform der Ebene E

\displaystyle x_1=0+k\cdot1+l\cdot0,\ \ \ \ x_2=0+k\cdot0+l\cdot1,

ergänzen zu:

\displaystyle x_1=0+k\cdot1+l\cdot0,\ \ \ \ x_2=0+k\cdot0+l\cdot1,

Ebenengleichung nach $x_3$ auflösen und den so erhaltenen Term so sortieren, dass die Zahl von $x_1\;\mathrm{und}\;x_2$ gefolgt wird

\displaystyle x_1=0+k\cdot1+l\cdot0,\ \ \ \ x_2=0+k\cdot0+l\cdot1,

In der erhaltenen Gleichung $x_1$ durch k und $x_2$ durch l ersetzen

\displaystyle x_1=0+k\cdot1+l\cdot0,\ \ \ \ x_2=0+k\cdot0+l\cdot1,

\displaystyle x_1=0+k\cdot1+l\cdot0,\ \ \ \ x_2=0+k\cdot0+l\cdot1,

\displaystyle x_1=0+k\cdot1+l\cdot0,\ \ \ \ x_2=0+k\cdot0+l\cdot1,

$x_1$ , $x_2$ und $x_3$ passend übereinander schreiben

\displaystyle x_1=0+k\cdot1+l\cdot0,\ \ \ \ x_2=0+k\cdot0+l\cdot1,

Parameterform der Ebene E

\displaystyle x_1=0+k\cdot1+l\cdot0,\ \ \ \ x_2=0+k\cdot0+l\cdot1,

Vorgehen am Beispiel 3

Ist in der Koordinatenform der Ebene kein $x_3$ enthalten, formt man nach einer enthaltenen Koordinate um. Die nicht enthaltenen Koordinaten ergänzt man mit „⁣ $0\cdot Koordinate$ “.

Koordinatenform der Ebene E

\displaystyle x_1=0+k\cdot1+l\cdot0,\ \ \ \ x_2=0+k\cdot0+l\cdot1,

ergänzen zu:

\displaystyle x_1=0+k\cdot1+l\cdot0,\ \ \ \ x_2=0+k\cdot0+l\cdot1,

Ebenengleichung nach $x_1$ auflösen.

\displaystyle x_1=0+k\cdot1+l\cdot0,\ \ \ \ x_2=0+k\cdot0+l\cdot1,

In der erhaltenen Gleichung $x_2$ durch k und $x_3$ durch l ersetzen

\displaystyle x_1=0+k\cdot1+l\cdot0,\ \ \ \ x_2=0+k\cdot0+l\cdot1,

\displaystyle x_1=0+k\cdot1+l\cdot0,\ \ \ \ x_2=0+k\cdot0+l\cdot1,

\displaystyle x_1=0+k\cdot1+l\cdot0,\ \ \ \ x_2=0+k\cdot0+l\cdot1,

$x_1$ , $x_2$ und $x_3$ passend übereinander schreiben

\displaystyle x_1=0+k\cdot1+l\cdot0,\ \ \ \ x_2=0+k\cdot0+l\cdot1,

Parameterform der Ebene E

\displaystyle x_1=0+k\cdot1+l\cdot0,\ \ \ \ x_2=0+k\cdot0+l\cdot1,

Übungsaufgaben: Ebene von Koordinatenform in Parameterform umwandeln

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