Teilmenge einer Menge

Anmerkungen

• $\mathrm{\varnothing }\subseteq A\subset G\backslash varnothing\backslash subseteq\; A\backslash subset\; G$

  Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge und jede Menge muss Teilmenge der Grundmenge sein.

• $A\subseteq AA\backslash subseteq\; A$

  Jede Menge ist (unechte) Teilmenge von sich selbst.

• Wenn $A\subseteq BA\backslash subseteq\; B$ und $B\subseteq AB\backslash subseteq\; A$, dann sind $AA$ und $BB$ die gleiche Menge: $A=BA=B$

• Wenn $A\subseteq BA\backslash subseteq\; B$ und $B\subseteq CB\backslash subseteq\; C$, dann ist auch $A\subseteq CA\backslash subseteq\; C$.

• $A\subseteq (A\cup B)A\backslash subseteq\backslash left(A\backslash cup\; B\backslash right)$

  Jede Menge ist Teilmenge der Vereinigung von sich mit einer anderen Menge

• $(A\cap B)\subseteq A\backslash left(\; A\backslash cap\; B\backslash right)\backslash subseteq\; A$

  Der Schnitt einer Menge mit einer anderen Menge ist immer Teilmenge der ursprünglichen Menge

• Für die Mächtigkeit einer Teilmenge $A\subseteq BA\backslash subseteq\; B$ gilt: $\mid A\mid \le \mid B\mid \backslash left|\; A\backslash right|\backslash leq\backslash left|\; B\backslash right|$

Potenzmenge

Als Potenzmenge  $\mathcal{P}\left(A\right)\backslash mathcal\; P\backslash left(\; A\backslash right)$ bezeichnet man die Menge aller Teilmengen von $AA$.

Bei $A=(1,2,3)A=\backslash left(1,\backslash ;2,\backslash ;3\backslash right)$  ist  $\mathcal{P}(A)=(\mathrm{\varnothing },\left\{1\right\},\left\{2\right\},\left\{3\right\},\left\{\mathrm{1,2}\right\},\left\{\mathrm{1,3}\right\},\left\{\mathrm{2,3}\right\},\{\mathrm{1,2},3\})\backslash mathcal\; P(A)\backslash ;=\backslash ;\backslash left(\backslash varnothing,\backslash left\backslash \{1\backslash right\backslash \},\backslash left\backslash \{2\backslash right\backslash \},\backslash left\backslash \{3\backslash right\backslash \},\backslash left\backslash \{1\{,\}2\backslash right\backslash \},\backslash left\backslash \{1\{,\}3\backslash right\backslash \},\backslash left\backslash \{2\{,\}3\backslash right\backslash \},\backslash left\backslash \{1\{,\}2,3\backslash right\backslash \}\backslash right)$ .

Hierbei ist zu beachten, dass diese Menge selbst Mengen enthält.

$\left\{\left\{1\right\}\right\}\backslash left\backslash \{\backslash left\backslash \{1\backslash right\backslash \}\backslash right\backslash \}$ und $\left\{1\right\}\backslash left\backslash \{1\backslash right\backslash \}$ sind nicht das gleiche.

Die Mächtigkeit der Potenzmenge $\mid \mathcal{P}(A)\mid \backslash left|\backslash mathcal\; P(A)\backslash right|$ , kann berechnet werden durch  $\mid \mathcal{P}(A)\mid =2^{\mid A\mid }\backslash left|\; \backslash mathcal\; P(\; A)\backslash right|=2^\{\backslash left|\; A\backslash right|\}\backslash ;$ .

In jeder Teilmenge hat jedes Element 2 Möglichkeiten, es ist enthalten, oder eben nicht.

Im Beispiel ist also $\mid \mathcal{P}(A)\mid =2^{\mid A\mid }=2^3=8\backslash left|\backslash mathcal\; P(\; A)\backslash right|=2^\{\backslash left|\; A\backslash right|\}\backslash ;=2^3=8$.