Periode (einer Funktion)

Beispiel

Ein Beispiel einer periodischen Funktion ist die Sinusfunktion.

An dem Graphen erkennt man (auch anhand der Farben), dass sich $\sin(x)$ im Abstand von $2\mathrm\pi$ wiederholt. Das heißt, die Sinusfunktion besitzt die Periode $2 \pi$.

Startet man an einer beliebigen Stelle $x$, kann man beliebig oft $2\pi$ addieren/subtrahieren und der Funktionswert des Sinus bleibt derselbe. Zum Beispiel:

$\sin(0)=\sin(4\pi)=\sin(-2\pi)$

$\sin(1)=\sin(1+2\pi)=\sin(1+24\pi)$

Das selbe gilt auch für die Kosinusfunktion.

Formel

Falls eine Funktion $f$ die Periode $p$ besitzt, dann gilt

$f\left( x\right)= f\left( x+ p\right)= f\left( x+2 p\right)=f (x+3p)=~…$

und $~f(x)=f(x-p)=f(x-2p)=f(x-3p)=~…$

Hieran erkennt man, dass man zu jedem $x$ ein Vielfaches der Periode $p$ addieren/subtrahieren kann und der Funktionswert bleibt dabei derselbe.

Eigenschaften

• Die verschobenen und gestreckten Sinus- und Kosinusfunktionen können durch $a \cdot \sin\left(b\cdot (x+c)\right)+d$ und $a \cdot \cos\left(b\cdot (x+c)\right)+d$ dargestellt werden. Sie besitzen jeweils die Periode $p=\frac{2\pi}{|b|}$.

• Eine Funktion mit Periode $p$ wiederholt sich ebenfalls auch alle $2p, 3p ,\dots$. Als Periode bezeichnet man aber den kleinsten Wert mit dieser Eigenschaft.

• Besitzt eine Funktion die Periode $p$, dann spricht man davon, dass die Funktion $p$-periodisch ist.  

• Man sagt, der Graph einer periodischen Funktion ist verschiebungssymmetrisch mit ihrer Periode.

• Addiert man zwei Funktionen mit verschiedenen Perioden, dann ist das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Perioden die Periode der neuen Funktion.

• Den Kehrwert der Periode, also $\frac1{ p}$, nennt man auch Frequenz.