Linearfaktordarstellung einer Polynomfunktion beliebigen Grades
Viele Polynome kannst du als Produkt der Form f(x)=aâ (xâN1â)âŻ(xâNnâ) darstellen. Hierbei sind N1â bis Nnâ die Nullstellen der Funktion f und aâR.
Bringt man ein Polynom in seine Linearfaktordarstellung, so nennt man diesen Vorgang Linearfaktorzerlegung.
Beispiel:
f(x)=2x2â4xâ6 kann umgeformt werden zu
Die Funktion hat die Nullstellen N1â=â1 und N2â=3.
FĂŒr Polynome, bei denen eine solche Darstellung nicht möglich ist, gibt es eine Darstellung, die der Linearfaktordarstellung Ă€hnlich ist:
Das Restglied ist wieder ein Polynom, welches keine reellen Nullstellen hat und daher nicht weiter zerlegt werden kann.
Beispiel:
f(x)=x3â2x2+3xâ6 kannst du zerlegen in
(x2+3) hat in den reellen Zahlen keine Nullstellen, da
nicht weiter lösbar ist.
Bestimmung der Linearfaktordarstellung
Geschicktes Umformen
Versuche als erstes, ob du durch geschicktes Ausklammern und/oder Einsatz der binomischen Formeln dein gegebenes Polynom in eine Linearfaktordarstellung bringen kannst.
Beispiel: f(x)=3x3â3x
Durch Umformen erhÀltst du:
f(x)
=
3x3â3x
â
Klammere 3x aus.
=
3xâ (x2â1)
â
x2â1 ist eine binomische Formel. Schreibe diese um.
=
3xâ (xâ1)â (x+1)
Die Linearfaktordarstellung ist also f(x)=3â (xâ0)â (xâ1)â (x+1)
Nullstellenbestimmung
Wenn du mit geschicktem Umformen nicht weiterkommst, bestimme alle Nullstellen.
Rate Nullstellen bei Polynomen vom Grad gröĂer 3, um eine Polynomdivision durchzufĂŒhren.
Bilde ein Produkt aus den Linearfaktoren der Nullstellen und ĂŒberprĂŒfe, ob dieses Produkt deiner Funktion f entspricht. Passe, wenn nötig, die Linearfaktordarstellung ein wenig an.
Gegebenenfalls kommen manchen Linearfaktoren mehrfach vor, je nach Vielfachheit der Nullstelle.
FĂŒge, wenn nötig, einen geeigneten Faktor a hinzu.
Beispiel: f(x)=2x2â12xâ14
Berechne mit der Mitternachtsformel oder der pq-Formel alle Nullstellen der Funktion. Mit der Mitternachtsformel ergeben sich folgende Nullstellen x1â und x2â:
x1,2â
=
2â 2â(â12)±(â12)2â4â 2â (â14)ââ
=
412±144+112ââ
=
412±256ââ
=
412±16â
âx1â=412â16â=â44â=â1 und x2â=412+16â=428â=7
f enthĂ€lt in der Linearfaktorzerlegung also die Linearfaktoren (xâ(â1)) und (xâ7). Teste, ob (xâ(â1))â (xâ7)=f(x) ist:
Probe:
(xâ(â1))â (xâ7)
=
(x+1)â (xâ7)
=
x2+xâ7xâ7
=
x2â6xâ7î =f(x)
(x+1)(xâ7) unterscheidet sich nur um den Faktor 2 von f(x). Multipliziere mit 2, um die Linearfaktordarstellung von f zu erhalten:
f hat also die Linearfaktordarstellung f(x)=2â (x+1)(xâ7).
Linearfaktordarstellung in AbhÀngigkeit der Nullstellen
Im Allgemeinen hat ein Polynom n-ten Grades die Form
und besitzt maximal n Nullstellen.Â
Es lassen sich nun 2 FĂ€lle unterscheiden:
Entweder das Polynom hat n Nullstellen, wenn man mehrfache Nullstellen dabei auch mehrfach zĂ€hlt, (es mĂŒssen also nicht n verschiedene Nullstellen sein)
oder das Polynom hat trotz ZĂ€hlung aller Nullstellen mit ihren Vielfachheiten immer noch weniger als n Nullstellen.
Beispiele
Polynom n-ten Grades hat n Nullstellen:
Das Polynom 2x2â4xâ6 von oben hat den Grad 2 und zwei Nullstellen, und zwar â1 und 3.
Das Polynom x2â2x+1 hat den Grad 2 und eine doppelte Nullstelle, und zwar die Zahl 1.
Polynom n-ten Grades hat weniger als n Nullstellen:
Das Polynom x3â2x2+3xâ6 von oben hat den Grad 3 und nur eine Nullstelle, und zwar die Zahl 2.
n Nullstellen
Wenn f ein Polynom n-ten Grades mit n Nullstellen ist und mehrfache Nullstellen auch mehrfach gezÀhlt werden, dann gibt es eine Linearfaktorzerlegung von f. f lÀsst sich also umformen zu
mit N1â,âŠ,Nnâ als Nullstellen des Polynoms (wobei auch mehrere Nullstellen gleich sein können).Â
Beispiele
1. f(x)=3x3â3x
Linearfaktordarstellung:
f(x)=3â (x+1)â (x+0)â (xâ1)
2. f(x)=x3â2x2
Linearfaktordarstellung:
f(x)=1â (xâ0)â (xâ0)â (xâ2)
3. f(x)=2x3
Linearfaktordarstellung:
f(x)=2â (xâ0)â (xâ0)â (xâ0)
Weniger als n Nullstellen
Im Allgemeinen kann man ĂŒber den reellen Zahlen aber nicht davon ausgehen, dass ein Polynom seinem Grad entsprechend viele Nullstellen besitzt (z. B. besitzt x2+1 Â ĂŒberhaupt keine Nullstellen, hat aber Grad 2).
FĂŒr solche Polynome gibt es eine Darstellung, die der Linearfaktordarstellung Ă€hnlich ist:
wobei das Restglied wieder ein Polynom ist, welches allerdings keine reellen Nullstellen besitzt.
Das Restglied lÀsst sich zum Beispiel mithilfe der Polynomdivision berechnen, indem man das Ausgangspolynom durch die zu seinen Nullstellen gehörenden Linearfaktoren teilt.
Beispiel
AuĂerdem lĂ€sst sich das Restglied selbst als Produkt von Polynomen vom Grad 2 schreiben.
Vorteile der Linearfaktordarstellung
Ablesen der Nullstellen des Polynoms
Liegt ein Polynom in Linearfaktordarstellung vor, so kann man an ihm ohne weitere Rechnung die Nullstellen und ihre Vielfachheiten ablesen, da in jedem Linearfaktor eine Nullstelle steht.
1) Die Linearfaktorzerlegung verwandelt eine Summe oder Differenz in ein Produkt. Nur aus Produkten heraus kann man kĂŒrzen, nicht aus Differenzen oder Summen. Das KĂŒrzen vereinfacht den Term oft erheblich.
Beispiel
2) Will man den Hauptnenner zweier oder mehrerer Bruchterme bestimmen, muss man zunĂ€chst die Nenner der BrĂŒche faktorisieren. Dazu benötigt man ihre Linearfaktordarstellung.
Beispiel
soll zusammengefasst werden. Mithilfe der Linearfaktordarstellung erkennt man den Hauptnenner und kann die Terme gleichnamig machen: