Man verwendet die Hypergeometrische Verteilung, wenn das Zufallsexperiment auf ein Urnenmodell mit folgenden Eigenschaften zurĂŒckgefĂŒhrt werden kann:
N Kugeln in der Urne
M Kugeln einer ersten Farbe
N-M restliche Kugeln einer zweiten Farbe
n mal ziehen
ohne ZurĂŒcklegen
ohne Beachtung der Reihenfolge
Die Wahrscheinlichkeit genau k Kugeln der ersten Farbe zu ziehen berechnet sich mit:
ist die Gesamtzahl der Möglichkeiten beim n-maligen ziehen
ist die Zahl der Möglichkeiten die Kugeln der ersten Farbe zu ziehen
ist die Zahl der Möglichkeiten die Kugeln der zweiten Farbe zu ziehen
Beispiel
"Ziehen eines Vierers" beim Lotto 6 aus 49.
da aus 49 Kugeln gezogen wird
da 6 Kugeln gezogen werden
ohne ZurĂŒcklegen (jede Zahl kann nur einmal gezogen werden)
ohne Beachtung der Reihenfolge (fĂŒr einen Vierer spielt es keine Rolle, welche Zahl zuerst gezogen wird)
sind die "Richtigen" Zahlen
da genau vier Richtige gesucht sind
Verallgemeinerung
Wenn in der Urne nicht nur Kugeln zweier Farben enthalten sind, sondern dreier Farben, dann verÀndert sich die Formel zur Berechnung von:
A: aus roten, aus blauen, aus grĂŒnen
zu:
Die Denkweise ist folgende:
"Aus Kugeln der ersten Farbe werden gezogen"
"Aus Kugeln der ersten Farbe werden gezogen"
"Aus Kugeln der ersten Farbe werden gezogen"
...
und das ganze durch eine Ziehung von insgesamt dividiert
Bei noch mehr verschiedenen Farben erweitert sich die Formel entsprechend.
Beispiel
Quelle: Wikimedia.org
Aus einer Urne mit vier roten, drei blauen und zwei GrĂŒnen Kugeln sollen sechs Kugeln ohne zurĂŒcklegen gezogen werden. Wie groĂ ist die Wahrscheinlichkeit von "Es werden alle grĂŒnen, drei rote und eine blaue Kugeln gezogen" (Ereignis A)?