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Hypergeometrische Verteilung

Man verwendet die Hypergeometrische Verteilung, wenn das Zufallsexperiment auf ein Urnenmodell mit folgenden Eigenschaften zurückgeführt werden kann:

  • N Kugeln in der Urne

    • M Kugeln einer ersten Farbe

    • N-M restliche Kugeln einer zweiten Farbe

  • n mal ziehen

  • ohne Zurücklegen

  • ohne Beachtung der Reihenfolge

Hypergeometrische Verteilung

Die Wahrscheinlichkeit genau k Kugeln der ersten Farbe zu ziehen berechnet sich mit:

P(genau k Kugeln der ersten Farbe)=(Mk)(NMnk)(Nn)

  • (Nn) ist die Gesamtzahl der Möglichkeiten beim n-maligen ziehen

  • (Mk) ist die Zahl der Möglichkeiten die Kugeln der ersten Farbe zu ziehen

  • (NMnk) ist die Zahl der Möglichkeiten die Kugeln der zweiten Farbe zu ziehen

Beispiel

"Ziehen eines Vierers" beim Lotto 6 aus 49.

  • N=49 da aus 49 Kugeln gezogen wird

  • n=6 da 6 Kugeln gezogen werden

  • ohne Zurücklegen (jede Zahl kann nur einmal gezogen werden)

  • ohne Beachtung der Reihenfolge (für einen Vierer spielt es keine Rolle, welche Zahl zuerst gezogen wird)

  • M=6 sind die "Richtigen" Zahlen

  • k=4 da genau vier Richtige gesucht sind

P(Vierer)=(64)(432)(496)0.001

Verallgemeinerung

Wenn in der Urne nicht nur Kugeln zweier Farben enthalten sind, sondern dreier Farben, dann verändert sich die Formel zur Berechnung von:

A: k1 aus M1 roten, k2 aus M2 blauen, k3 aus M3 grünen

zu:

P(A)=(M1k1)(M2k2)(M3k3)(Nn)

Die Denkweise ist folgende:

  • "Aus M1 Kugeln der ersten Farbe werden k1 gezogen"

  • "Aus M2 Kugeln der ersten Farbe werden k2 gezogen"

  • "Aus M3 Kugeln der ersten Farbe werden k3 gezogen"

  • ...

  • und das ganze durch eine Ziehung von insgesamt n Kugeln aus N dividiert

Bei noch mehr verschiedenen Farben erweitert sich die Formel entsprechend.

Beispiel

hypergeometrische mit drei Farben

Aus einer Urne mit vier roten, drei blauen und zwei Grünen Kugeln sollen sechs Kugeln ohne zurücklegen gezogen werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit von "Es werden alle grünen, drei rote und eine blaue Kugeln gezogen" (Ereignis A)?

P(A)=(22)(43)(31)(96)0.1429


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