Hypergeometrische Verteilung

Man verwendet die Hypergeometrische Verteilung, wenn das Zufallsexperiment auf ein Urnenmodell mit folgenden Eigenschaften zurückgeführt werden kann:

N Kugeln in der Urne
- M Kugeln einer ersten Farbe
- N-M restliche Kugeln einer zweiten Farbe
n mal ziehen
ohne Zurücklegen
ohne Beachtung der Reihenfolge

Die Wahrscheinlichkeit genau k Kugeln der ersten Farbe zu ziehen berechnet sich mit:

$P\left(\text{genau}\ k\ \text{Kugeln\ der\ ersten\ Farbe}\right)=\frac{ \begin{pmatrix} M \\ k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} N-M \\ n-k \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} N \\ n \end{pmatrix}}$

$\begin{pmatrix} N \\ n \end{pmatrix}$ ist die Gesamtzahl der Möglichkeiten beim n-maligen ziehen
$\begin{pmatrix} M \\ k \end{pmatrix}$ ist die Zahl der Möglichkeiten die Kugeln der ersten Farbe zu ziehen
$\begin{pmatrix} N-M \\ n-k \end{pmatrix}$ ist die Zahl der Möglichkeiten die Kugeln der zweiten Farbe zu ziehen

Beispiel

"Ziehen eines Vierers" beim Lotto 6 aus 49.

$N = 49$ da aus 49 Kugeln gezogen wird
$n = 6$ da 6 Kugeln gezogen werden
ohne Zurücklegen (jede Zahl kann nur einmal gezogen werden)
ohne Beachtung der Reihenfolge (für einen Vierer spielt es keine Rolle, welche Zahl zuerst gezogen wird)
$M = 6$ sind die "Richtigen" Zahlen
$k = 4$ da genau vier Richtige gesucht sind

$P(\text{Vierer})=\frac{ \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 43 \\ 2 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 49 \\ 6 \end{pmatrix}} \approx 0.001$

Verallgemeinerung

Wenn in der Urne nicht nur Kugeln zweier Farben enthalten sind, sondern dreier Farben, dann verändert sich die Formel zur Berechnung von:

A: $k_{1}$ aus $M_{1}$ roten, $k_{2}$ aus $M_{2}$ blauen, $k_{3}$ aus $M_{3}$ grünen

zu:

$P \left( A \right) =\frac{ \begin{pmatrix} M_1 \\ k_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} M_2 \\ k_2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} M_3 \\ k_3 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} N \\ n \end{pmatrix}}$

Die Denkweise ist folgende:

"Aus $M_{1}$ Kugeln der ersten Farbe werden $k_{1}$ gezogen"
"Aus $M_{2}$ Kugeln der ersten Farbe werden $k_{2}$ gezogen"
"Aus $M_{3}$ Kugeln der ersten Farbe werden $k_{3}$ gezogen"
...
und das ganze durch eine Ziehung von insgesamt $\text {n Kugeln aus N}$ dividiert

Bei noch mehr verschiedenen Farben erweitert sich die Formel entsprechend.

Beispiel

Quelle: Wikimedia.org

Aus einer Urne mit vier roten, drei blauen und zwei Grünen Kugeln sollen sechs Kugeln ohne zurücklegen gezogen werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit von "Es werden alle grünen, drei rote und eine blaue Kugeln gezogen" (Ereignis A)?

$P \left( A \right) =\frac{ \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 9 \\ 6 \end{pmatrix}} \approx 0.1429$

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