Aufgaben zum Trapez

Wiederhole wichtige Grundlagen zum Trapez mit diesen Aufgaben. Hier lernst du, Trapeze zu erkennen, fehlende Seiten und andere Größen zu berechnen.

1
Sortiere das Trapez
Beim Zeichnen des Trapezes ist die Beschriftung durcheinander geraten.
1. Ordne die Beschriftung richtig zu.
2. Der Flächeninhalt $A$ vom Trapez wird berechnet. Welche der Formeln ist korrekt?
  $A=\dfrac{(a+c)\cdot h}{2}$
  $A=a+ b+c+d$
  $A=a^2+b^2$
  $A=\dfrac{a\cdot h}{2}$
2
Augen auf!
Wie viele "echte" Trapeze (d.h. solche, die keine Parallelogramme sind), erkennst du in der gezeichneten Figur?
3
Die beiden parallelen Seiten eines Trapezes werden mit a und c bezeichnet, die Höhe mit h; für seinen Flächeninhalt gilt: $A=\frac12\cdot\left(a+c\right)\cdot h$ .
Wie ändert sich der Flächeninhalt des Trapezes, wenn die Seite a um eine Längeneinheit verlängert und die Seite c um eine Längeneinheit verkürzt wird?
- Die Fläche des Trapezes wird kleiner.
- Die Fläche des Trapezes wird größer.
- Die Fläche des Trapezes bleibt gleich groß.
4
Vom Trapez zum Parallelogramm und zurück
Die Figur zeigt ein Trapez $ABCD$ mit der gegebenen Höhe $h=3\,\text{LE}$ .
Welche der folgenden Aussagen treffen dann zu, wenn jeder der Eckpunkte $A,\,B,\,C,\,D$ längs seiner Grundseite beliebig weit nach links oder rechts verschoben werden kann?
- Man kann Parallelogramme mit dem Inhalt $10\,\text{FE}$ erhalten.
- Man kann Quadrate mit dem Inhalt $10\,\text{FE}$ erhalten.
5
Winkelberechnungen am Trapez
1. Im Trapez $ABCD$ gelte $AB\Vert CD$ , $\alpha=32°$ , $\gamma=75°$ . Berechne $\beta$ und $\delta$ !
2. Im Trapez $ABCD$ gelte $AB\,\Vert CD$ , $AD\perp BC$ , $\alpha=20°$ . Berechne $\beta,\,\gamma,\,\delta$ !
3. Im Trapez $ABCD$ gelte: $AD\,\Vert\,BC,\;\alpha=\delta=100°$ . Berechne $\beta$ und $\gamma$ !
6
Konstruiere ein Trapez $ABCD$ aus der gegebenen Länge der Differenz der beiden Grundseitenlängen $a-c=3\,\text{LE}$ , den Schenkellängen $b=\overline{BC}=2{,}5\,\text{LE}$ und $d=\overline{AD}=4\,\text{LE}$ sowie der Diagonalenlänge $f=\overline{BD}=5\,\text{LE}$ .
7
Konstruiere ein Trapez $ABCD$ aus den Grundseitenlängen $\overline{AB}=a=5\,\text{cm}$ und $\overline{CD}=c=3\,\text{cm}$ sowie den Diagonalenlängen $\overline{AC}=6\,\text{cm}$ und $\overline{BD}=5\,\text{cm}$ .
8
Konstruiere ein Trapez $ABCD$ aus den Seitenlängen
$a=10{,}5\,\text{cm};\,b=5{,}4\,\text{cm};\,c=6\,\text{cm};\,d=4{,}8\,\text{cm}$ .
9
Meetingpoints am Trapez
Wie bei anderen Vierecken sind auch beim Trapez der Schnittpunkt der Diagonalen und der Schwerpunkt von besonderer Bedeutung.
$\quad \quad \quad$
Im Trapez $ABCD$ mit den Grundseiten $a$ und $c$ und der Höhe $h$ sei $E$ der Schnittpunkt der Diagonalen und $S$ der Schwerpunkt des Trapezes.
Der Schwerpunkt $S$ eines Trapezes liegt auf der Verbindungstrecke der Mittelpunkte der Grundseiten (Mittenlinie) und hat von der Grundseite den Abstand $\displaystyle h_{S}=\frac{h}{3}\cdot \frac{a+2c}{a+c}$
1. Beweise, dass die Mittenlinie eines jeden Trapezes durch den Schnittpunkt der Diagonalen geht.
2. Begründe, dass der Schwerpunkt $S$ und der Diagonlenschnittpunkt $E$ zusammenfallen, wenn das Trapez zu einem Parallelogramm wird.
3. So konstruiert man den Schwerpunkt eines Trapezes:
  Zeichne die Mittenlinie $[M_1M_2]$ des Trapezes.
  Verlängere $[DC]$ über $C$ hinaus um die Strecke $a$ zum Endpunkt $E$ .
  Verlängere $[AB]$ über $A$ hinaus um die Strecke $c$ zum Endpunkt $F$ .
  Der Schnittpunkt von $[FE]$ mit $[M_1M_2]$ ist der Schwerpunkt $S$ .
  Begründe, warum für $c=0$ mit dieser Konstruktion der Schwerpunkt eines Dreiecks konstruiert wird.
10
Berechne jeweils die gesuchte Größe im Trapez.
1. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c|c}a & c & h & A \\\hline4 \mathrm{cm}& 8\mathrm{cm} & 5\mathrm{cm} & ?\end{array}$
  cm²
2. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c|c}a & c & h & A \\\hline3 \mathrm{cm}& 4\mathrm{cm} & 4{,}5\mathrm{cm} & ?\end{array}$
  cm²
3. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c|c}a & c & h & A \\\hline5 \mathrm{dm}& 14\mathrm{cm} & 2\mathrm{dm} & ?\end{array}$
  dm²
4. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c|c}a & c & h & A \\\hline6 \mathrm{cm}& 4\mathrm{cm} & ? & 25 \mathrm{cm}\end{array}$
  cm
5. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c|c}a & c & h & A \\\hline1{,}5 \mathrm{cm}& 3{,}5\mathrm{cm} & ? & 11{,}25 \mathrm{cm} \end{array}$
  cm
6. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c|c}a & c & h & A \\\hline? & 4\mathrm{cm} & 5\mathrm{cm} & 30 \mathrm{cm}\end{array}$
  cm
11
Die Fläche eines Trapezes ist um $40~\text m^2$ kleiner als die Fläche eines Rechtecks, das über der größeren Grundlinie errichtet ist und die gleiche Höhe hat.
1. Wie groß sind die Grundlinien des Trapezes, wenn die eine um $17 m$ , die andere um $7 m$ länger ist als die Höhe?
2. Wie lang ist die Grundlinie eines Dreiecks, das dem Trapez flächen- und höhengleich ist?
  m

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