Aufgaben zum Trapez

Richtige Beschriftung

Richtige Lösung

$\color{darkgreen}A=\dfrac{(a+c)\cdot h}{2}$

• $h$ ist die Höhe

• $a$ die Grundseite

• $c$ die Seite gegenüber der Grundseite

Die Erklärung für die Formel findest du hier.

Erweitert man die Figur $A,B,C,D$ indem man die Strecken $\overline{AD}$ und $\overline{BC}$ weiterzeichnet, erhält man den Punkt $E$, wie im Bild. Die Information $AD\,\perp\,BC$ sagt aus, dass sich die Linien dort in einem rechten Winkel schneiden.

Winkel $\beta$

Die Figur $A,B,E$ ist ein rechtwinkliges Dreieck. Dort ist die Winkelsumme, wie in allen Dreiecken $180°$.

Winkel $\delta$

Winkel $\gamma$

In einem Viereck ist die Winkelsumme immer $360°$. Damit ist im Trapez:

Anmerkung:

Das Trapez $ABCD$ ist gleichschenklig mit den Schenkeln $[AB]=[CD]$.

Die zentrische Streckung mit dem Zentrum $E$ und dem Streckungsfaktor$\;\displaystyle-\frac{\overline{EC}}{\overline{AE}}\;$bildet $A$ auf $C$ und - weil die Grundseiten des Trapezes parallel sind - $B$ auf $D$ ab.

Da bei einer zentrischen Streckung die Mittelpunktseigenschaft erhalten bleibt, ist $M_2$ der Bildpunkt von $M_1$. Damit geht deren Verbindungsstrecke, die Mittenlinie des Trapezes, durch $E$.

Der Diagonalenschnittpunkt eines Trapezes ist also tatsächlich ein richtiger "Meetingpoint" wichtiger Linien des Trapezes.

Der Schwerpunkt $S$ eines Trapezes liegt auf der Mittellinie $[M_1M_2]$ und sein y-Wert beträgt $\displaystyle y_S= \frac{h}{3}\cdot\frac{a+2c}{a+c}$.

Wenn das Trapez $ABCD$ zu einem Parallelogramm wird, gilt: $a=c$.

Wenn das Trapez zu einem Parallelogramm wird, fallen also der Diagonalenschnittpunkt und der Schwerpunkt des Trapezes zusammen.

Im nachfolgenden Applet mit der Höhe $h=3\,LE$ liegt eine Grundlinie auf der x-Achse und alle Eckpunkte können längs der Grundlinien beliebig verschoben werden.

Überzeuge dich bei unterschiedlichen Trapezformen von den jeweiligen Lagen des Schwerpunkts.

Was passiert, wenn das Trapez nicht nur zu einem Parallelogramm "entartet", sondern zu einem Dreieck oder gar zu einer Strecke?(Ganz schön spannend - findest du nicht?)

Die Konstruktion des Schwerpunktes im Trapez und auch den Übergang vom Trapez zum Dreieck kannst du im folgenden Applet nachvollziehen.

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Um den Flächeninhalt des Trapezes zu berechnen, brauchst du eine Formel in die du die sich parallel, gegenüberliegenden Seiten a und c und die Höhe h einsetzen musst. Diese lautet wie folgt:

A = $\frac{(a+c)\cdot h}{2}$

A = $\frac{(4\mathrm{cm}+8\mathrm{cm})\cdot5\mathrm{cm}}{2}$

A = 30$\mathrm{cm^2}$

Um den Flächeninhalt des Trapezes zu berechnen, brauchst du eine Formel in die du die sich parallel, gegenüberliegenden Seiten a und c und die Höhe h einsetzen musst. Diese lautet wie folgt:

A = $\frac{(a+c)\cdot h}{2}$

A = $\frac{(3\mathrm{cm}+4\mathrm{cm})\cdot4{,}5\mathrm{cm}}{2}$

A=15,75$\mathrm{cm^2}$

Um den Flächeninhalt des Trapezes zu berechnen, brauchst du eine Formel in die du die sich parallel, gegenüberliegenden Seiten a und c und die Höhe h einsetzen musst. Diese lautet wie folgt:

A = $\frac{(a+c)\cdot h}{2}$

A = $\frac{(5\mathrm{dm}+1{,}4\mathrm{dm})\cdot2\mathrm{dm}}{2}$

A = 6,4$\mathrm{dm^2}$

Um die Höhe des Trapezes zu berechnen, brauchst du eine Formel, in die du den Flächeninhalt $A$, die sich parallel gegenüberliegenden Seiten $a$ und $c$ und die Höhe $h$ einsetzen kannst. Dann kannst du nach $h$ auflösen. Die Formel ist

$A=\dfrac{(a+c)\cdot h}{2}$

Um den Flächeninhalt des Trapezes zu berechnen, brauchst du eine Formel in die du die sich parallel, gegenüberliegenden Seiten a und c und die Höhe h einsetzen musst. Diese lautet wie folgt:

A = $\frac{(a+c)\cdot h}{2}$

$11{,}25\mathrm{cm^2}$ = $\frac{(1{,}5\mathrm{cm}+3{,}5\mathrm{cm})\cdot h}{2}$

$11{,}25\mathrm{cm^2}$ = $\frac{5\mathrm{cm}\cdot h}{2}$ |$\cdot 2$

$22{,}5\mathrm{cm^2}$ = $5\mathrm{cm}\cdot h$ |$:5\mathrm{cm}$

$4{,}5\mathrm{cm}$ = $h$

Um den Flächeninhalt des Trapezes zu berechnen, brauchst du eine Formel in die du die sich parallel, gegenüberliegenden Seiten a und c und die Höhe h einsetzen musst. Diese lautet wie folgt:

A = $\frac{(a+c)\cdot h}{2}$

$30\mathrm{cm^2}$ = $\frac{(a+4\mathrm{cm})\cdot5\mathrm{cm}}{2}$ |$\cdot2$

$60\mathrm{cm^2}$ = $(a+4\mathrm{cm})\cdot5\mathrm{cm}$

$60\mathrm{cm^2}$ = $5\mathrm{cm}\cdot a+20\mathrm{cm^2}$ |$-20\mathrm{cm^2}$

$40\mathrm{cm^2}$ = $5\mathrm{cm}\cdot a$ |$:5\mathrm{cm}$

$8\mathrm{cm}$ = $a$

Gegeben:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}\text{I} \quad a &=h+17\,\text{m}\\\text{II}\quad c&=h+7\,\text{m}\quad |\;\text{I}-\text{II}\\\text{III}\quad a-c&=10\,\text{m}\end{aligned}$

$\text{IV}\quad A_{Rechteck}- A_{Trapez}=40\,{m^2}$

Gesucht:

Die Grundlinienlängen des Trapezes.

Flächenformeln für Rechteck und Trapez in IV einsetzen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}\quad a\cdot h- \displaystyle \frac{a+c}{2}\cdot h &=40\,{m^2}\quad |\cdot 2 \\2ah-ah-ch&=80\,{m^2}\\ah-ch&=80\,{m^2}\\h\cdot(a-c)&=80\,{m^2}\\h\cdot10\,m&=80\,{m^2}\quad |\,:\,10\,m\\h&=8\,m \end{aligned}$

Zusammenfassen und III einsetzen.

h in I und II einsetzen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned} \quad a&=25\,m\\c&=15\,m \end{aligned}$

Die Grundseiten des Trapezes sind $25\,\text{m}$ und $15\,\text{m}$ lang.

Gesucht die Grundlinienlänge eines Dreiecks, das dem Trapez flächen- und höhengleich ist.

Berechne die Fläche des Trapezes mit den bekannten Werten für $a,\,c,\,h$

$A_{Trapez}=\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \frac{a+c}{2} \cdot h=160\,{m^2}$

Verwende die Flächenformel für ein Dreieck.

$A_{Dreieck}=\displaystyle \frac{1}{2} \cdot g\cdot 8\,m$

Setze die Flächen gleich und löse die Gleichung nach $g$ auf.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned} \quad \displaystyle \frac{1}{2} \cdot g \cdot 8\,m &=160\,{m^2}\quad|\,\cdot2\,:\,8\,{m} \\g&=40\,m\end{aligned}$

Die gesuchte Grundlinienlänge des zum Trapez flächen- und höhengleichen Dreiecks beträgt $40\,m$.