Aufgaben zum Trapez - lernen mit Serlo!

Die Fläche eines Trapezes ist um $40~\text m^2$ kleiner als die Fläche eines Rechtecks, das über der größeren Grundlinie errichtet ist und die gleiche Höhe hat.

Wie groß sind die Grundlinien des Trapezes, wenn die eine um $17 m$ , die andere um $7 m$ länger ist als die Höhe?

Gegeben:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}\text{I} \quad a &=h+17\,\text{m}\\\text{II}\quad c&=h+7\,\text{m}\quad |\;\text{I}-\text{II}\\\text{III}\quad a-c&=10\,\text{m}\end{aligned}$
$\text{IV}\quad A_{Rechteck}- A_{Trapez}=40\,{m^2}$
Gesucht:
Die Grundlinienlängen des Trapezes.
Flächenformeln für Rechteck und Trapez in IV einsetzen.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}\quad a\cdot h- \displaystyle \frac{a+c}{2}\cdot h &=40\,{m^2}\quad |\cdot 2 \\2ah-ah-ch&=80\,{m^2}\\ah-ch&=80\,{m^2}\\h\cdot(a-c)&=80\,{m^2}\\h\cdot10\,m&=80\,{m^2}\quad |\,:\,10\,m\\h&=8\,m \end{aligned}$
Zusammenfassen und III einsetzen.
h in I und II einsetzen.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned} \quad a&=25\,m\\c&=15\,m \end{aligned}$
Die Grundseiten des Trapezes sind $25\,\text{m}$ und $15\,\text{m}$ lang.
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Wie lang ist die Grundlinie eines Dreiecks, das dem Trapez flächen- und höhengleich ist?
m

Gesucht die Grundlinienlänge eines Dreiecks, das dem Trapez flächen- und höhengleich ist.
Berechne die Fläche des Trapezes mit den bekannten Werten für $a,\,c,\,h$
$A_{Trapez}=\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \frac{a+c}{2} \cdot h=160\,{m^2}$
Verwende die Flächenformel für ein Dreieck.
$A_{Dreieck}=\displaystyle \frac{1}{2} \cdot g\cdot 8\,m$
Setze die Flächen gleich und löse die Gleichung nach $g$ auf.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned} \quad \displaystyle \frac{1}{2} \cdot g \cdot 8\,m &=160\,{m^2}\quad|\,\cdot2\,:\,8\,{m} \\g&=40\,m\end{aligned}$
Die gesuchte Grundlinienlänge des zum Trapez flächen- und höhengleichen Dreiecks beträgt $40\,m$ .
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