Aufgaben zum Trapez - lernen mit Serlo!

Winkelberechnungen am Trapez

Im Trapez $A B C D$ gelte $AB\Vert CD$ , $\alpha=32°$ , $\gamma=75°$ . Berechne $\beta$ und $\delta$ !

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez
Gegeben: $AB\,\Vert CD$
$\quad \quad \quad\;\alpha =32°$
$\quad \quad \quad\;\gamma=75°$
Gesucht: $\,\beta,\; \delta$
Die Innenwinkel an den beiden Grundseiten ergeben zusammen 180°.
$\begin {array}{rcl}32°+\delta &=180°\quad|-32°\\\delta&=148°\end {array}$
$\begin {array}{rcl}75°+ \beta&= 180°\quad |-75°\\\beta &=105° \end {array}$
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Im Trapez $A B C D$ gelte $AB\,\Vert CD$ , $AD\perp BC$ , $\alpha=20°$ . Berechne $\beta,\,\gamma,\,\delta$ !

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez

Gegeben: $AB\,\Vert\,CD$ (Die Figur ist ein Trapez)

$\quad \quad\quad \, AD\,\perp\,BC$ (im Punkt E steckt ein

rechter Winkel)

$\quad \quad\quad \,\alpha=20°$

Gesucht: $\;\beta,\,\gamma,\,\delta$

Erweitert man die Figur $A, B, C, D$ indem man die Strecken $\overline{AD}$ und $\overline{BC}$ weiterzeichnet, erhält man den Punkt $E$ , wie im Bild. Die Information $AD\,\perp\,BC$ sagt aus, dass sich die Linien dort in einem rechten Winkel schneiden.

Winkel $\beta$

Die Figur $A, B, E$ ist ein rechtwinkliges Dreieck. Dort ist die Winkelsumme, wie in allen Dreiecken $180 °$ .

$\displaystyle \alpha+\beta+90°$	$=$	$\displaystyle 180°$
	↓	$\alpha=20°$
$\displaystyle 20°+\beta+90°$	$=$	$\displaystyle 180°$	$\displaystyle -110°$
$\displaystyle \beta$	$=$	$\displaystyle 70°$

Winkel $\delta$

Oberhalb von $\delta$ ist ein Stufenwinkel von $\alpha$ . Dieser Winkel könnte zum Beispiel $\epsilon$ genannt werden. Es gilt:

\displaystyle \alpha=\epsilon

Da $\delta$ und $\epsilon$ zudem Nebenwinkel sind, gilt:

$\displaystyle \delta+\epsilon$	$=$	$\displaystyle 180°$
	↓	$\epsilon=\alpha=20°$
$\displaystyle \delta+20°$	$=$	$\displaystyle 180°$	$\displaystyle -20°$
$\displaystyle \delta$	$=$	$\displaystyle 160°$

Winkel $\gamma$

In einem Viereck ist die Winkelsumme immer $360 °$ . Damit ist im Trapez:

$\displaystyle \alpha+\beta+\gamma+\delta$	$=$	$\displaystyle 360°$
$\displaystyle 20°+70°+\gamma+160°$	$=$	$\displaystyle 360°$	$\displaystyle -250°$
$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 110°$

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Im Trapez $A B C D$ gelte: $AD\,\Vert\,BC,\;\alpha=\delta=100°$ . Berechne $\beta$ und $\gamma$ !

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez
Gegeben: $AD\,\Vert\,BC$
$\quad \quad\quad \,\alpha=\delta=100°$
Gesucht: $\beta,\;\gamma$
Die Innenwinkel an den parallelen Seiten ergeben zusammen 180°.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}100°+\beta&=180°\quad |-100°\\\beta&=80°\end{array}$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}100°+\gamma &=180°\quad|-100°\\\gamma &=80° \end{array}$
Anmerkung:
Das Trapez $A B C D$ ist gleichschenklig mit den Schenkeln $[A B] = [C D]$ .
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