Eine Exponentialfunktion ist eine Abbildung der Form %%f(x)=a^x%%. Sie werden oft gebraucht zur Modellierung von Wachstum und Zerfall.

Definition

Eine Exponentialfunktion %%f%% ist definiert als

$$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\ f(x)=a^x.$$ Dabei ist %%a%% eine reelle Zahl mit %%a>0%%.

Man kann jede Exponentialfunktion auf eine natürliche Exponentialfunktion zurückführen. Es gilt nämlich:

$$a^x=e^{\ln(a^x)}=e^{x\ln(a)}.$$

Bezeichnungen

  • %%a%%  ist die Basis.
  • %%x%%  ist der Exponent.
  • %%f(x)%% heißt Wachstumsfunktion, falls  %%a%%  größer ist als 1. Liegt  %%a%%  zwischen 0 und 1, wird  %%f(x)%% Zerfallsfunktion genannt.

Definierende Eigenschaft/Potenzgesetze

Sei %%f%% eine Exponentialfunktion, dann gilt

$$f(x+y)=f(x)\cdot f(y)$$

Diese Eigenschaft ist sogar definierend. Das heißt wenn man versucht, eine Funktion mit der obigen Eigenschaft zu konstruieren, würde man genau die Definition von Exponentialfunktionen bekommen.

Ausgehend von der Definition sieht man leicht, dass diese Eigenschaft wegen den Potenzgesetzen gilt. Analog gilt auch $$f(x-y)=\frac{f(x)}{f(y)}$$

Wertebereich

Exponentialfunktionen nehmen nur positive Werte an, d.h.

%%a^x>0%% für alle %%x%% und alle %%a>0%%.

Nullstellen

Exponentialfunktionen besitzen keine Nullstellen. Dies folgt direkt aus der Tatsache, dass sie einen positiven Wertebreich haben.

Asymptotisches Verhalten

Der Graph einer Exponentialfunktion nähert sich der x-Achse immer mehr an und hat diese somit als waagerechte Asymptote.

Monotonieverhalten

Das Monotonieverhalten einer Exponentialfunktion wird durch die Basis bestimmt.

  • Für %%0<a<1%% ist die Funktion streng monoton fallend,
  • für %%a=1%% ist die Funktion konstant,
  • für %%a>1%% ist sie streng monoton wachsend.

Insgesamt sind also alle Exponentialfunktionen stets monoton.

Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion einer Exponentialfunktion ist eine Logarithmusfunktion. Für %%f(x)=a^x%% ist die Umkehrfunktion

$$f^{-1}(x)=\log_ax.$$

Erste Ableitung

Man kann die erste Ableitung einer Exponentialfunktion mit Hilfe der Kettenregel berechnen. Dazu benötigt man einige Umformungen.

Da der natürliche Logarithmus die Umkehrfunktion der e-Funktion ist, gilt %%e^{\ln(x)}=x%% und damit: $$\frac{\mathrm d}{\mathrm d x} a^x=\frac{\mathrm d}{\mathrm d x} e^{\ln(a^x)}$$

Mit der Potenzregel für Logarithmen folgt: $$\frac{\mathrm d}{\mathrm d x} e^{\ln(a^x)}=\frac{\mathrm d}{\mathrm d x} e^{x\cdot\ln(a)}$$

Mit der Kettenregel und %%\frac{\mathrm d}{\mathrm d x}e^x=e^x%% folgt: $$\frac{\mathrm d}{\mathrm d x} e^{x\cdot\ln(a)}=\ln(a)\cdot e^{x\cdot\ln(a)}$$

Mit nochmaliger Anwendung der Potenzregel für Logarithmen und Umformen folgt: $$\ln(a)\cdot e^{x\cdot\ln(a)}=\ln(a)\cdot e^{\ln(a^x)}=\ln(a)\cdot a^x$$

Und somit insgesamt: $$\frac{\mathrm d}{\mathrm d x} a^x=\ln(a)\cdot a^x$$

Zweite Ableitung

Da die erste Ableitung nichts anderes ist als die Funktion selbst multipliziert mit einem konstanten Faktor, kann man die zweite Ableitung relativ leicht berechnen.

$$\frac{\mathrm d^2}{\mathrm d x^2} a^x=\frac{\mathrm d}{\mathrm d x}\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm d x} a^x\right)$$ $$=\frac{\mathrm d}{\mathrm d x}\ln(a)\cdot a^x$$ $$=\ln(a) \frac{\mathrm d}{\mathrm d x} a^x$$ $$=\ln(a)\cdot\ln(a)\cdot a^x$$ $$=\left(\ln(a)\right)^2\cdot a^x$$

Eine Stammfunktion %%F(x)%% einer Exponentialfunktion %%f(x)=a^x%% ist: $$F(x)=\frac1{\ln(a)}\cdot a^x$$ Das sieht man durch eine einfache Gleichung: $$f^\prime(x)=\ln(a)\cdot f(x)$$ $$\Rightarrow \int f^\prime(x)\;\mathrm dx=\int \ln(a)\cdot f(x)\;\mathrm dx$$ $$\Rightarrow f(x)+C=\ln(a)\cdot\int f(x)\;\mathrm dx$$ $$\Rightarrow f(x)=\ln(a)\cdot F(x)$$ $$\Rightarrow F(x)=\frac 1{\ln(a)}f(x)=\frac 1{\ln(a)}a^x$$

Natürliche Exponentialfunktion

Ein wichtiger Spezialfall ist die natürliche Exponentialfunktion, oder auch  e-Funktion.