Geradengleichung in der analytischen Geometrie

Wenn man beispielsweise zwei Punkte $P$ und $Q$ auf der Geraden gegeben hat, dann berechnet man den Richtungsvektor $\vec u$, indem man die zugehörigen Ortsvektoren $p$ und $q$ voneinander subtrahiert:

$\vec u = \vec q - \vec p$

Geraden in der Ebene

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, eine Gerade in der Ebene durch eine Gleichung zu beschreiben. Hier werden die Parameterform (man nennt sie auch Punkt-Richtungs-Form) und die Normalenform erklärt.

Parameterform (Punkt-Richtungs-Form)

Die Parameterform ist von der Vorstellung her eine einfache Form. Man nimmt einen beliebigen Punkt $P$, der auf der gesuchten Geraden $g$ liegt. Diesen Punkt nennt man Aufpunkt. An den Aufpunkt setzt man einen Vektor $\vec u$ an, der in die Richtung der Geraden zeigt.

Der Endpunkt dieses Vektors liegt dann auch auf der Geraden. Diesen Punkt berechnet man, indem man zum Ortsvektor $p$ von $P$ den Vektor $u$ addiert. So erhält man den Ortsvektor dieses Punktes.

Aber nicht nur dieser Punkt liegt auf der Geraden, sondern auch alle Punkte, zu denen man kommt, wenn man vom Punkt $P$ aus ein beliebiges Vielfaches des Vektors $u$ anträgt.

Man erhält also alle Ortsvektoren $\vec x$, indem man zu $p$ alle Vielfachen $\lambda \cdot \vec u$ addiert. Die Variable $\lambda$ heißt Parameter. Für $\lambda$ kann man alle reellen Zahlen einsetzen. Weil $\lambda$ auch negativ sein kann, erhält man auch die Punkte auf der Geraden, die in der entgegengesetzten Richtung liegen.

Deshalb gilt:

Beispiel

Man kennt die Koordinaten des Punktes $P(2|3)$, der auf der Geraden $g$ liegt. Sein Ortsvektor ist $\vec p = \begin{pmatrix}2\\3 \end{pmatrix}$. Für die Gerade soll gelten, dass sie eine Steigung von $m=\frac25$ hat. Darauf erhält man als Richtungsvektor den Vektor $\vec u=\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}$.

Die Koordinaten des Richtungsvektors können einfach aus der Steigung gelesen werden, wobei beachtet werden muss, dass für die Steigung die Gleichung $m=\frac{y}{x}$ gilt, und für Vektoren $\vec u =\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$.

Nun setzt man die Vektoren noch in die allgemeine Gleichung $\vec x = \vec p + \lambda \cdot \vec{u}$ ein und erhält:

Normalform (Normalenform)

Hat man den Normalenvektor $\vec{n}$, also den senkrecht zur Geraden stehenden Vektor, kann man die Gerade mithilfe der Normalenform darstellen.

Die allgemeine Form der Normalengleichung ist:

Hierbei bezeichnet der Kringel $\circ$ das Skalarprodukt. Den Wert der Konstanten $c$ erhält man, indem man einen beliebigen Punkt $P$ auf der Geraden wählt und seinen Ortsvektor $p$ in die Gleichung einsetzt:

$c = \vec{p} \circ \vec{n}$

Wenn nicht der Normalenvektor, sondern der Richtungsvektor $\vec u$ gegeben ist, dann muss man zuerst aus dem Richtungsvektor den Normalenvektor bestimmen. Wie das geht, wird im folgenden Beispiel gezeigt.

Beispiel

Man kennt wieder die Koordinaten des Punktes $P(2|3)$, der auf der Geraden $g$ liegt. Sein Ortsvektor ist also $\vec{p} = \begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$. Die Steigung sei wieder $m=\frac25$ und daraus erhält man als Richtungsvektor $\vec u =\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}$. Nun braucht man aber den Normalenvektor zu diesem. Man kann diesen mithilfe des Skalarprodukts bestimmen. Da zwei rechtwinklig zueinander stehende Vektoren das Skalarprodukt null haben, erhält man die Gleichung

$0 = \vec u \circ \vec n = \begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}n_x\\n_y\end{pmatrix} = 5 \cdot n_x + 2 \cdot n_y$

Eine mögliche Lösung ist $n_x = -2$ und $n_y = 5$, also $\vec n = \begin{pmatrix}-2\\5\end{pmatrix}$. Nun setzen wir die beiden Vektoren ein und berechnen $c$:

$c=\vec p\circ \vec{n}=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}-2\\5\end{pmatrix}=2\cdot(-2)+3\cdot5=(-4)+15=11$

Also erhalten wir als Normalform

$g\colon \quad \vec x \circ \begin{pmatrix}-2\\5\end{pmatrix}=11$

Geraden im Raum

Auch für Geraden im Raum gibt es die Parameterform bzw. Punkt-Richtungs-Form der Geradengleichung. Es gibt aber keine Normalenform.

Parameterform (Punkt-Richtungs-Form)

Die Parameterform ist sehr ähnlich zur Parameterform in der Ebene, nur dass die Vektoren nun eine Dimension mehr haben.  Für die Vorstellung verändert sich dadurch kaum etwas.

$\vec{x}=\vec{p}+\lambda\cdot\vec{u}$

Beispiel

$\vec p = \begin{pmatrix}2\\4\\1\end{pmatrix}$  ist der Ortsvektor des Aufpunkts und  $\vec u =\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}$ ist ein Richtungsvektor, so erhalten wir die Parameterform

$\vec x = \begin{pmatrix}2\\4\\1\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}$