Kurvendiskussion mit Parameter

Nullstellen bestimmen: Zähler gleich 0 setzen

$x^2+\left(k+1\right)x+k=0$

Diskriminante bestimmen und Mitternachtsformel anwenden.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}D=\left(k+1\right)^2-4k=\left(k-1\right)^2\\D\geq 0 \ \forall k\\D=0\Leftrightarrow k=1\\x_{1;2}=\frac{-k-1\pm\sqrt{\left(k-1\right)^2}}2\end{array}$

Fall 1: $k<1$

$x_1=\frac{-k-1+(1-k)}{2}=-k$ $\\$ $x_2=\frac{−k−1−(1−k)}{2}=−1$

Fall 2: $k>1$

$x_1=\frac{-k-1+k-1}{2}=-1$ $\\$ $x_2=\frac{-k-1-k+1}{2}=-k$

Fall 1: Grenzwert gegen $k$ für alle $k\in\mathbb{R}\setminus\left\{-1;\;0\right\}$ $\\$ Nicht hebbare Definitionslücken.

$\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow k\pm0}f_k\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow k\pm0}\frac{x^2+\left(k+1\right)x+k}{\underbrace{x-k}_{\rightarrow \pm0}}=\pm\infty$

Fall 2: $k=-1$ $\\$ Hebbare Definitionslücke.

$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\begin{array}{l}\lim\limits_{x\rightarrow-1}f_{-1}\left(x\right)\\=\lim\limits_{x\rightarrow-1}\frac{x^2+\left(-1+1\right)x+(-1)}{x+1}\\=\lim\limits_{x\rightarrow-1}\frac{x^2-1}{x+1}\\=\lim\limits_{x\rightarrow-1}x-1=-2\end{array}$

Leite $\displaystyle f_k\left(x\right)=\frac{x^2+\left(k+1\right)x+k}{x-k}$ ab.

$f_k'(x)=\frac {(x-k)(2x+k+1)-(x^2+ (k+1)x+k)}{(x-k)^2}=\frac{x^2-2kx-k^2-2k}{(x-k)^2}$

Setze die Ableitung gleich 0.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lrcl}&f_k'\left(x\right)&=&0\\\Leftrightarrow&\frac{x^2-2kx-k^2-2k}{\left(x-k\right)^2}&=&0\\\Leftrightarrow&\textstyle x^2-2kx-k^2-2k&=&0\end{array}$

Bestimme die Diskriminante.

$D=4k^2+4(k^2+2k)$ $\\$ $D=0\\\Leftrightarrow 4k^2+4(k^2+2k)=0\\\Leftrightarrow 8k(k+1)=0\\\Leftrightarrow k=0 \text{ oder } k=-1$

Löse mit der Mitternachtsformel. $\\$ Fall 1: $k=-1$ oder $k=0$

$\displaystyle x=\frac{2k\pm\sqrt{4k^2+4\left(k^2+2k\right)}}2=\textstyle k$

Beachte: In diesem Fall gibt es keine Extrema, da $k\not\in D_{f_k}$.

Fall 2: $k<-1$ oder $k>0$

$x_{1;2}=\frac{2k\pm\sqrt{4k^2+4\left(k^2+2k\right)}}{2}=k\pm\sqrt{8k\left(k+1\right)}$