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Schnittwinkel in der analytischen Geometrie

Damit ein Schnittwinkel existiert, müssen sich die geometrischen Objekte schneiden.

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Schnittwinkel zwischen zwei Geraden

legacy geogebra formula

Zwei Geraden besitzen nur einen Schnittwinkel, wenn sie sich schneiden.

Seien u,v\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf u}\boldsymbol,\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf v} die Richtungsvektoren der Geraden.

Dann lässt sich der Schnittwinkel α\alpha so berechnen:

cosα=uvuv{\mathbf{cos}\,\mathbf\alpha\boldsymbol=\frac{\left|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf u}\boldsymbol\circ\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf v}\right|}{\left|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf u}\right|\boldsymbol\cdot\left|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf v}\right|}}

Beispiel

Gegeben sind zwei sich schneidende Geraden g und h:

g:X=(205)+r(135)g: \vec X=\begin{pmatrix}2\\0\\5\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1 \\3 \\ 5\end{pmatrix}und h:X=(205)+s(234)h: \vec X=\begin{pmatrix}2\\0\\5\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}2 \\-3 \\ 4\end{pmatrix}:

Berechne den Schnittwinkel α\alpha.

Für die Winkelberechnung der beiden Geraden benötigst du ihre Richtungsvektoren und deren Beträge.

g:  u=(135)g:\;\vec u=\begin{pmatrix}1 \\3 \\ 5\end{pmatrix}, u=12+32+52=35|\vec{u}|=\sqrt{1^2+3^2+5^2}=\sqrt{35}

h:  v=(234)h:\;\vec v=\begin{pmatrix}2 \\-3 \\ 4\end{pmatrix}, v=22+(3)2+42=29|\vec{v}|=\sqrt{2^2+(-3)^2+4^2}=\sqrt{29}

cos  α\displaystyle \cos\;\alpha==uvuv\displaystyle \dfrac{|\vec u\circ \vec v|}{|\vec u|\cdot |v|}

Setze die Vektoren und ihre Beträge ein.

==(135)(234)3529\displaystyle \dfrac{\left|\begin{pmatrix}1 \\3 \\ 5\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}2 \\-3 \\ 4\end{pmatrix}\right|}{\sqrt{35}\cdot \sqrt{29}}

Berechne das Skalarprodukt und vereinfache.

==29+201015\displaystyle \dfrac{\left|2-9+20\right|}{\sqrt{1015}}

Vereinfache.

==131015\displaystyle \dfrac{\left|13\right|}{\sqrt{1015}}

Berechne den Betrag

0,4080\displaystyle 0{,}4080

Du hast die Gleichung cos  α=0,4080\cos\;\alpha=0{,}4080 erhalten. Durch Anwendung der Umkehrfunktion des Kosinus kannst du den Winkel α\alpha berechnen. Benutze auf dem Taschenrechner die Funktion cos1(x)\cos^{-1}(x).

α=arccos(0,4080)65,92\alpha=\arccos(0{,}4080)\approx 65{,}92^\circ

Antwort: Der Schnittwinkel zwischen den beiden Geraden beträgt rund 65,965{,}9^\circ.

Schnittwinkel zwischen Ebene und Gerade

legacy geogebra formula

Eine Ebene und eine Gerade haben einen Schnittpunkt, solange sie nicht echt parallel sind.

Sei n\overrightarrow n der Normalenvektor der Ebene und u\overrightarrow u der Richtungsvektor der Gerade.

Dann kann der Schnittwinkel α\alpha so berechnet werden:

sinα=nunu{\mathbf{sin}\,\mathbf\alpha\boldsymbol=\frac{\left|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf n}\boldsymbol\circ\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf u}\right|}{\left|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf n}\right|\boldsymbol\cdot\left|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf u}\right|}}

Eine weitere Möglichkeit ist, cos(90α)=sinα=nunu\mathbf{cos}\boldsymbol(\mathbf{90^\circ}\boldsymbol-\mathbf\alpha\boldsymbol)\boldsymbol=\mathbf{sin}\mathbf\alpha\boldsymbol=\frac{\left|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf n}\boldsymbol\circ\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf u}\right|}{\left|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf n}\right|\boldsymbol\cdot\left|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf u}\right|} auszurechnen.

Beispiel

Gegeben sind eine Geraden g und eine Ebene EE:

g:X=(205)+s(234)g: \vec X=\begin{pmatrix}2\\0\\5\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}2 \\-3 \\ 4\end{pmatrix} und E:  2x1x2+3x3=4E: \;2x_1-x_2+3x_3=4

Berechne den Schnittwinkel α\alpha.

Für die Winkelberechnung zwischen Gerade gg und Ebene EE benötigst du von der Geraden den Richtungsvektor und dessen Betrag und von der Ebene den Normalenvektor n\vec n und dessen Betrag.

g:  v=(234)g:\;\vec v=\begin{pmatrix}2 \\-3 \\ 4\end{pmatrix}, v=22+(3)2+42=29|\vec{v}|=\sqrt{2^2+(-3)^2+4^2}=\sqrt{29}

E:  n=(213)E:\;\vec n=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix} , n=22+(1)2+32=4+1+9=14|\vec n|=\sqrt{2^2+(-1)^2+3^2} =\sqrt{4+1+9}= \sqrt{14}

Setze in die oben genannte Formel ein:

sin  α\displaystyle \sin\;\alpha==nunu\displaystyle \dfrac{|\vec n\circ \vec u|}{|\vec n|\cdot |u|}

Setze die Vektoren und ihre Beträge ein.

==(213)(234)1429\displaystyle \dfrac{\left|\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}2 \\-3 \\ 4\end{pmatrix}\right|}{\sqrt{14}\cdot \sqrt{29}}

Berechne das Skalarprodukt und vereinfache.

==4+3+12406\displaystyle \dfrac{\left|4+3+12\right|}{\sqrt{406}}

Vereinfache.

==19406\displaystyle \dfrac{\left|19\right|}{\sqrt{406}}

Berechne den Betrag.

0,9430\displaystyle 0{,}9430

Du hast die Gleichung sin  α=0,9430\sin\;\alpha=0{,}9430 erhalten. Durch Anwendung der Umkehrfunktion des Sinus kannst du den Winkel α\alpha berechnen. Benutze auf dem Taschenrechner die Funktion sin1(x)\sin^{-1}(x).

α=arcsin(0,9430)70,56\alpha=\arcsin\left(0{,}9430\right)\approx 70{,}56^\circ

Antwort: Der Schnittwinkel α\alpha zwischen der Geraden und der Ebene beträgt rund 70,670{,}6^\circ.

Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen

legacy geogebra formula

Zwei Ebenen schneiden sich, solange sie nicht echt parallel sind.

Seien  n,  m\overrightarrow n,\;\overrightarrow m die  Normalenvektoren der Ebenen.

Dann lässt sich der Schnittwinkel α\alpha so berechnen:

cos  α  =  n    mnm{\mathbf{cos}\;\mathbf\alpha\;\boldsymbol=\;\frac{\left|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf n}\;\boldsymbol\circ\;\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf m}\right|}{\left|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf n}\right|\boldsymbol\cdot\left|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf m}\right|}}

Beispiel

Gegeben sind zwei sich schneidende Ebenen E:  2x1x2+3x3=4E: \;2x_1-x_2+3x_3=4 und F:  x1x2x3=2F: \;x_1-x_2-x_3=2. Berechne den Schnittwinkel α\alpha.

Für die Winkelberechnung zwischen zwei Ebenen benötigst du von den Ebenen deren Normalenvektoren und deren Beträge.

Lies die Normalenvektoren aus den Koordinatengleichungen ab:

n=(213)\vec n=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix} und m=(111)\vec m=\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\end{pmatrix}

Für den Betrag von n\vec n gilt: n=22+(1)2+32=4+1+9=14|\vec n|=\sqrt{2^2+(-1)^2+3^2} =\sqrt{4+1+9}= \sqrt{14}

Für den Betrag von m\vec m gilt: m=12+(1)2+(1)2=1+1+1=3|\vec m|=\sqrt{1^2+(-1)^2+(-1)^2} =\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}

Setze in die oben genannte Formel ein:

cosα\displaystyle \cos\,\alpha==nmnm\displaystyle \dfrac{|\vec{n}\circ\vec{m}|}{|\vec{n}|\cdot|\vec{m}|}

Setze die Vektoren und ihre Beträge ein.

==(213)(111)143\displaystyle \dfrac{\left|\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\end{pmatrix}\right|}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{3}}

Berechne das Skalarprodukt und vereinfache.

==2+1342\displaystyle \dfrac{\left|2+1-3\right|}{\sqrt{42}}

Vereinfache.

==042\displaystyle \dfrac{\left|0\right|}{\sqrt{42}}

Berechne den Betrag.

==0\displaystyle 0

Du hast die Gleichung cos  α=0\cos\;\alpha=0 erhalten. Durch Anwendung der Umkehrfunktion des Kosinus kannst du den Winkel α\alpha berechnen. Benutze auf dem Taschenrechner die Funktion cos1(x)\cos^{-1}(x).

α=arccos(0)=90\alpha=\arccos\left(0\right)=90^\circ

Antwort: Der Schnittwinkel α\alpha zwischen den beiden Ebenen beträgt 9090^\circ.

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