Zwei zueinander senkrechte Geraden (analytische Geometrie)

Zwei Geraden können im Koordinatensystem gegenseitige Lagen einnehmen. In besonderen Fällen stehen sie senkrecht zueinander, siehe Bild.

Geraden können als Funktionsgraphen einer linearen Funktion oder im Sinne der analytischen Geometrie in Parameterform gegeben sein.

Geraden als Funktionsgraphen

Sind zwei Geraden als Graphen von Funktionen gegeben, so ist ihre Steigung ausschlaggebend dafür, ob sie senkrecht aufeinander stehen:

$\begin{array}{l} g_{1} : y = m x + t \\ g_{2} : y = n x + u \end{array}$ $m$ und $n$ sind die Geradensteigung

$g_{1} ⟂ g_{2} \Leftrightarrow m = - \frac{1}{n}$ entspricht: $g_{1} ⟂ g_{2} \Leftrightarrow m \cdot n = - 1$

MerkeRegel für senkrechte Geraden

Das heißt, die Geraden $g_{1}, g_{2}$ stehen aufeinander senkrecht (schreibe $g_{1} ⟂ g_{2}$ ), wenn ihre Steigungen multipliziert $- 1$ ergeben.

Parameterform

Bei Geraden, die je durch einen Aufpunkt und einen Richtungsvektor gegeben sind, überprüft man die Richtungsvektoren auf Orthogonalität:

\begin{array}{l} g_{1} : \vec{x} = {\vec{r}}_{1} + λ {\vec{b}}_{1} \\ g_{2} : \vec{x} = {\vec{r}}_{2} + λ {\vec{b}}_{2} \end{array}

g_{1} ⟂ g_{2} \Leftrightarrow {\vec{b}}_{1} \circ {\vec{b}}_{2} = 0

Vorausgesetzt $g_{1}$ und $g_{2}$ schneiden sich, so stehen sie senkrecht aufeinander, wenn das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren $0$ ergibt. Andersherum ist genauso zu folgern, dass senkrechte Vektoren im Skalarprodukt $0$ ergeben.

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