Wenn zwei Ebenen identisch sind, oder eine Schnittgerade haben (sich schneiden), ist der Abstand zwischen den Ebenen 0 0 0
Der einzige Fall, bei dem der Abstand nicht Null und somit sinnvoll ist, ist, wenn die beiden Ebenen echt parallel sind. In diesem Fall haben sie überall den gleichen Abstand.
Allgemeine Berechnung Im Folgenden werden zwei verschiedene Wege zur Berechnung des Abstandes zwischen zwei Ebenen vorgestellt. Beide Methoden sind nur sinnvoll, wenn die beiden gegebenen Ebenen parallel sind. Es muss also erst die Lagebeziehung der beiden Ebenen geprüft werden.
Berechnung mit der Hesse-Normalform Gegeben sind zwei parallele Ebenen E 1 E_1 E 1 E 2 E_2 E 2 Parameter- bzw. Koordinatenform .
Hesse-Normalform von einer der Ebenen bestimmen (z. B. von E 1 E_1 E 1
Einen beliebigen Punkt auf E 2 E_2 E 2
Punkt in die Hesse-Normalform von E 1 E_1 E 1 E 1 E_1 E 1
Der so berechnete Abstand entspricht dem Abstand der beiden Ebenen, da bei parallelen Ebenen jeder Punkt auf der einen Ebene den gleichen Abstand zur anderen Ebene hat.
Beispiel Gegeben sind die zwei parallelen Ebenen E 1 : 2 x 1 − x 2 − 2 x 3 = 6 E_1\colon \ 2{ x}_1-{ x}_2-2{ x}_3=6 E 1 : 2 x 1 − x 2 − 2 x 3 = 6 E 2 : − x 1 + 0 , 5 x 2 + x 3 = 6 { E}_2:\;-{ x}_1+0{,}5{ x}_2+{ x}_3=6 E 2 : − x 1 + 0 , 5 x 2 + x 3 = 6 Koordinatenform .
Bestimmung des Abstandes mit der Hesse-Normalform Hesse-Normalform bestimmen:
n ⃗ = ( 2 − 1 − 2 ) \vec{n}=\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix} n = 2 − 1 − 2 ∣ n ⃗ ∣ = 2 2 + ( − 1 ) 2 + ( − 2 ) 2 = 9 = 3 \left|\vec n\right|=\sqrt{2^2+\left(-1\right)^2+\left(-2\right)^2}=\sqrt9=3 ∣ n ∣ = 2 2 + ( − 1 ) 2 + ( − 2 ) 2 = 9 = 3 ⇒ H N F E 1 : 2 x 1 − x 2 − 2 x 3 − 6 3 = 0 \Rightarrow\;\;\mathrm{HNF}\ E_1\colon\;\;\dfrac{2 x_1- x_2-2 x_3-6}3=0 ⇒ HNF E 1 : 3 2 x 1 − x 2 − 2 x 3 − 6 = 0
Punkt auf E 2 {\mathrm E}_2 E 2 P ⃗ = ( 0 0 6 ) \vec P=\begin{pmatrix}0\\0\\6\end{pmatrix} P = 0 0 6
Punkt in Hesse-Normalform einsetzen:
d ( E 1 , E 2 ) = ∣ 2 ⋅ 0 − 0 − 2 ⋅ 6 − 6 3 ∣ = ∣ − 6 ∣ = 6 d\left(E_1,E_2\right)=\left|\dfrac{2\cdot0-0-2\cdot6-6}{3}\right|=\left|-6\right|=6 d ( E 1 , E 2 ) = 3 2 ⋅ 0 − 0 − 2 ⋅ 6 − 6 = ∣ − 6 ∣ = 6
Berechnung mit einer Hilfsgerade Gegeben sind die zwei parallele Ebenen
E : n ⃗ ⋅ [ x ⃗ − a ⃗ 1 ] = 0 E\colon\ \vec n\cdot\left[\vec x-\vec a_1\right]=0 E : n ⋅ [ x − a 1 ] = 0 F : x ⃗ = a ⃗ 2 + r ⋅ u ⃗ + s ⋅ v ⃗ F\colon \ \vec x=\vec a_2 + r\cdot\vec u + s\cdot\vec v F : x = a 2 + r ⋅ u + s ⋅ v
Es muss also eine Ebene in Normalenform gegeben sein, oder in diese umgeformt werden.
Hilfsgerade h h h A 2 A_2 A 2 F F F E E E ⇒ h : x ⃗ = a ⃗ 2 + r ⋅ n ⃗ \Rightarrow\ h\colon\;\vec x = \vec a_2 + r\cdot\vec n ⇒ h : x = a 2 + r ⋅ n
Schnittpunkt S \mathrm S S h h h E \mathrm E E
Abstand von S S S A 2 A_2 A 2
Auch hier entspricht dieser Abstand dem Abstand der beiden Ebenen.
Beispiel Gegeben sind die zwei parallelen Ebenen E 1 : ( − 2 3 6 ) ∘ [ x → − ( 0 1 2 ) ] = 0 E_1\colon\;\;\begin{pmatrix}-2\\3\\6\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}\right]=0 E 1 : − 2 3 6 ∘ x − 0 1 2 = 0 E 2 : x ⃗ = ( 1 4 2 ) + r ⋅ ( 3 2 0 ) + s ⋅ ( 0 − 2 1 ) E_2\colon\;\vec x=\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}+ r\cdot\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}+ s\cdot\begin{pmatrix}0\\-2\\1\end{pmatrix} E 2 : x = 1 4 2 + r ⋅ 3 2 0 + s ⋅ 0 − 2 1
Bestimmung des Abstandes mit einer Hilfsgeraden Hilfsgerade bestimmen:
h : x ⃗ = ( 1 4 2 ) + r ⋅ ( − 2 3 6 ) h:\;\vec x=\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}+ r\cdot\begin{pmatrix}-2\\3\\6\end{pmatrix} h : x = 1 4 2 + r ⋅ − 2 3 6
Schnittpunkt S S S ( − 2 3 6 ) ∘ [ ( 1 4 2 ) + r ⋅ ( − 2 3 6 ) − ( 0 1 2 ) ] = 0 \begin{pmatrix}-2\\3\\6\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}+ r\cdot\begin{pmatrix}-2\\3\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}\right]=0 − 2 3 6 ∘ 1 4 2 + r ⋅ − 2 3 6 − 0 1 2 = 0 ( − 2 3 6 ) ∘ [ ( 1 − 2 r 3 + 3 r 6 r ) ] = 0 \begin{pmatrix}-2\\3\\6\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}1-2r\\3+3r\\6r\end{pmatrix}\right]=0 − 2 3 6 ∘ 1 − 2 r 3 + 3 r 6 r = 0 Skalarprodukt )
⇒ ( − 2 ) ⋅ ( 1 − 2 r ) + 3 ⋅ ( 3 + 3 r ) + 6 ⋅ 6 r = 0 \Rightarrow\;\;(-2)\cdot(1-2r)+3\cdot(3+3r)+6\cdot6r=0 ⇒ ( − 2 ) ⋅ ( 1 − 2 r ) + 3 ⋅ ( 3 + 3 r ) + 6 ⋅ 6 r = 0
⇒ 49 ⋅ r + 7 = 0 \Rightarrow\;\;49\cdot r +7=0 ⇒ 49 ⋅ r + 7 = 0
⇒ r = − 1 7 \Rightarrow\;\; r=-\frac17 ⇒ r = − 7 1 ⇒ S ⃗ = ( 1 4 2 ) + ( − 1 7 ) ( − 2 3 6 ) = ( 9 7 25 7 8 7 ) \Rightarrow\;\vec S=\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}+\left(-\frac17\right)\begin{pmatrix}-2\\3\\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac97\\\frac{25}7\\\frac87\end{pmatrix} ⇒ S = 1 4 2 + ( − 7 1 ) − 2 3 6 = 7 9 7 25 7 8
Abstand von S und A berechnen:
S ⃗ − A ⃗ = ( 9 7 25 7 8 7 ) − ( 1 4 2 ) = ( 2 7 − 3 7 − 6 7 ) \vec S-\vec A=\begin{pmatrix}\frac97\\[1ex]\frac{25}7\\[1ex]\frac87\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac27\\[1ex]-\frac37\\[1ex]-\frac{6}7\end{pmatrix} S − A = 7 9 7 25 7 8 − 1 4 2 = 7 2 − 7 3 − 7 6
d = ( S ⃗ − A ⃗ ) 2 = 1 7 4 + 9 + 36 = 1 d=\sqrt{\left(\vec S-\vec A\right)^2}=\frac{1}7 \sqrt{4+9+36} =1 d = ( S − A ) 2 = 7 1 4 + 9 + 36 = 1
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