Schnittmenge

Wenn $A$ und $B$ Mengen sind, dann ist die Schnittmenge von $A$ und $B$ die Menge aller Elemente, die sowohl in $A$ als auch in $B$ enthalten sind.

Man schreibt $A \cap B$ für die Schnittmenge der Mengen $A$ und $B$ .

Sprechweise: "Der Schnitt von $A$ und $B$ " oder " $A$ geschnitten $B$ ".

Der " $\cap$ " Operator gehört zu den Operatoren, die zwei oder mehrere Mengen verknüpft.

Beispiel

Gegeben sind die Mengen $A$ und $B$ mit

$A = {2,3, c, d}$

$B = {3,7, a, b, c}$

Dann ist $A \cap B = {3, c}$ die Schnittmenge von $A$ und $B$ .

Die nebenstehende Abbildung veranschaulicht das Beispiel mithilfe eines Venn-Diagramms.

Sonderfälle

Disjunkte Mengen

Wenn zwei Mengen keine Elemente gemeinsam haben, nennt man sie disjunkt. Die Schnittmenge disjunkter Mengen ist immer leer.

Beispiel:

$A = {d, e, F}$

$B = {a, b, 7}$

Dann sind $A$ und $B$ disjunkt.

Ihre Schnittmenge ist dann leer:

$A \cap B = {}$ oder $A \cap B = ⌀$ (leere Menge)

Paarweise Disjunkte Mengen

Schneidet man mehr als nur zwei Mengen, so sagt man , dass die Mengen paarweise disjunkt sind, falls je zwei Mengen disjunkt sind.

Beispiel 1

Gegeben sind $A = {1,2}, B = {3,4}, C = {5,6}$ , dann gilt:

$A \cap B = \emptyset$

$A \cap C = \emptyset$

$B \cap C = \emptyset$

und

$A \cap B \cap C = \emptyset$ .

Also sind $A, B, C$ paarweise disjunkt.

Beispiel 2

Gegeben sind $A = {1,2}, B = {2,3}, C = {3,4}$ , dann gilt zwar

$A \cap C = \emptyset$ , also sind $A, C$ disjunkt und somit auch $A \cap B \cap C = \emptyset$ , aber

$A \cap B = {2}$ ,

$B \cap C = {3}$ .

$A, B, C$ sind zwar disjunkt, aber nicht paarweise disjunkt.

Rechenregeln

Der " $\cap$ " Operator ist:

Kommutativ: $A \cap B = B \cap A$ und
Assoziativ: $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$ und
verknüpft mit der Vereinigungsmenge auch distributiv: $(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)$ und $(A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)$ und
mit dem " $∖$ " Operator gilt auch die De Morgansche Regel: $A ∖ (B \cap C) = (A ∖ B) \cup (A ∖ C)$

Übungsaufgaben

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Gemischte Aufgaben zur Mengenlehre

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