Schnittmenge

Wenn $A$ und $B$ Mengen sind, dann ist die Schnittmenge von $A$ und $B$ die Menge aller Elemente, die sowohl in $A$ als auch in $B$ enthalten sind.

Man schreibt $A\cap B\;$ für die Schnittmenge der Mengen $A$ und $B$ .

Sprechweise: "Der Schnitt von $A$ und $B$ " oder " $A$ geschnitten $B$ ".

Der " $\cap$ " Operator gehört zu den Operatoren, die zwei oder mehrere Mengen verknüpft.

Beispiel

Gegeben sind die Mengen $A$ und $B$ mit

$A=\left\{2{,}3,\mathrm c,\mathrm d\right\}$

$B=\left\{3{,}7,\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c}\right\}$

Dann ist $A\cap B=\left\{3,\mathrm c\right\}$ die Schnittmenge von $A$ und $B$ .

Die nebenstehende Abbildung veranschaulicht das Beispiel mithilfe eines Venn-Diagramms.

Sonderfälle

Disjunkte Mengen

Wenn zwei Mengen keine Elemente gemeinsam haben, nennt man sie disjunkt. Die Schnittmenge disjunkter Mengen ist immer leer.

Beispiel:

$A=\left\{\mathrm d,\mathrm e,\mathrm F\right\}$

$B=\left\{\mathrm a,\mathrm b,7\right\}$

Dann sind $A$ und $B$ disjunkt.

Ihre Schnittmenge ist dann leer:

$A\cap B= \{ \}$ oder $A\cap B=\varnothing$ (leere Menge)

Paarweise Disjunkte Mengen

Schneidet man mehr als nur zwei Mengen, so sagt man , dass die Mengen paarweise disjunkt sind, falls je zwei Mengen disjunkt sind.

Beispiel 1

Gegeben sind $A=\{1{,}2\}, \ B=\{3{,}4\}, \ C=\{5{,}6\}$ , dann gilt:

$A\cap B=\emptyset$

$A\cap C=\emptyset$

$B\cap C=\emptyset$

und

$A\cap B\cap C=\emptyset$ .

Also sind $A, B, C$ paarweise disjunkt.

Beispiel 2

Gegeben sind $A=\{1{,}2\}, \ B=\{2{,}3\}, \ C=\{3{,}4\}$ , dann gilt zwar

$A\cap C=\emptyset$ , also sind $A, C$ disjunkt und somit auch $A\cap B\cap C=\emptyset$ , aber

$A\cap B=\{2\}$ ,

$B\cap C=\{3\}$ .

$A, B, C$ sind zwar disjunkt, aber nicht paarweise disjunkt.

Rechenregeln

Der " $\cap$ " Operator ist:

Kommutativ: $A\cap B =B\cap A$ und
Assoziativ: $(A\cap B) \cap C=A\cap (B\cap C)$ und
verknüpft mit der Vereinigungsmenge auch distributiv: $(A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup(B\cap C)$ und $(A\cap B) \cup C=(A\cup C) \cap(B\cup C)$ und
mit dem " $\setminus$ " Operator gilt auch die De Morgansche Regel: $A\setminus(B\cap C)=(A\setminus B)\cup(A\setminus C)$

Übungsaufgaben: Schnittmenge

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Gemischte Aufgaben zur Mengenlehre

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