Schnittmenge

Wenn AA und BB Mengen sind, dann ist die Schnittmenge von AA und BBdie Menge aller Elemente, die sowohl in AA als auch in BB enthalten sind.

Man schreibt AB  A\cap B\; für die Schnittmenge der Mengen AA und BB.

Der " \cap " Operator gehört zu den Operatoren, die zwei oder mehrere Mengen verknüpft.

Beispiel

Gegeben sind die Mengen AA und BB mit

    A={2,3,c,d}A=\left\{2{,}3,\mathrm c,\mathrm d\right\}

    B={3,7,a,b,c}B=\left\{3{,}7,\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c}\right\}

 

Dann ist AB={3,c}A\cap B=\left\{3,\mathrm c\right\} die Schnittmenge vonAA und BB.

 

Die nebenstehende Abbildung veranschaulicht das Beispiel mit Hilfe eines Venn-Diagramms.

Sonderfälle

Disjunkte Mengen

Wenn zwei Mengen keine Elemente gemeinsam haben, nennt man sie disjunkt. Die Schnittmenge disjunkter Mengen ist immer leer.

 

Beispiel:

Dann sind AA und BB disjunkt.

Ihre Schnittmenge ist dann leer:

AB={}A\cap B= \{ \} oder AB=A\cap B=\varnothing (leere Menge)

Paarweise Disjunkte Mengen

Schneidet man mehr als nur zwei Mengen, so sagt man , dass die Mengen paarweise disjunkt sind, falls je zwei Mengen disjunkt sind.

Beispiel 1

Gegeben sind A={1,2}, B={3,4}, C={5,6}A=\{1{,}2\}, \ B=\{3{,}4\}, \ C=\{5{,}6\}, dann gilt:

und

ABC=A\cap B\cap C=\emptyset.

Also sind A,B,CA,B,C paarweise disjunkt.

Beispiel 2

Gegeben sind A={1,2}, B={2,3}, C={3,4}A=\{1{,}2\}, \ B=\{2{,}3\}, \ C=\{3{,}4\}, dann gilt zwar

AC=A\cap C=\emptyset, also sind A,CA,C disjunkt und somit auch ABC=A\cap B\cap C=\emptyset, aber

AB={2}A\cap B=\{2\},

BC={3}B\cap C=\{3\}.

A,B,CA,B,C sind zwar disjunkt, aber nicht paarweise disjunkt.

Rechenregeln

Der "\cap" Operator ist:

  • Kommutativ: AB=BAA\cap B =B\cap A und

  • Assoziativ: (AB)C=A(BC)(A\cap B) \cap C=A\cap (B\cap C) und

  • verknüpft mit der Vereinigungsmenge auch distributiv:(AB)C=(AC)(BC)(A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup(B\cap C) und(AB)C=(AC)(BC)(A\cap B) \cup C=(A\cup C) \cap(B\cup C) und

  • mit dem "\setminus" Operator gilt auch die De Morgansche Regel: A(BC)=(AB)(AC)A\setminus(B \cap C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C)

Übungsaufgaben

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner Gemischte Aufgaben zur Mengenlehre

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