Venn-Diagramm

Venn-Diagramme werden in der Mengenlehre und Wahrscheinlichkeitsrechnung dazu verwendet, Zusammenhänge zwischen zwei Mengen oder Ereignissen grafisch darzustellen. Wenn man tatsächliche Werte von Mengen oder Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen darstellen will, verwendet man eher Balkendiagramme oder Kreisdiagramme.

Aufbau

Ein Venn-Diagramm besteht aus einem Rechteck, das sinnbildlich für den Raum aller Mengen oder den Ereignisraum steht (man sagt auch das gesamte Universum) und Kreisen, die für die einzelnen Mengen oder Ergebnisse stehen. Jedes Element (durch einen Punkt veranschaulicht), das innerhalb eines Kreises liegt, liegt dann in den Mengen, die die Kreise darstellen.

Beispiel

Gegeben sind die Mengen AA und BB mit

    A={2,3,c,d}A=\left\{2{,}3,\mathrm c,\mathrm d\right\}

    B={3,7,a,b,c}B=\left\{3{,}7,\mathrm a,\mathrm b,\mathrm c\right\}

Dann ist AB={3,c}A\cap B=\left\{3,\mathrm c\right\} die Schnittmenge von AA und BB.

Die nebenstehende Abbildung veranschaulicht das Beispiel mithilfe eines Venn-Diagramms.

Da man normalerweise Kreise gleicher Größe verwendet, kann man keine Aussagen über die Mächtigkeit der einzelnen Mengen oder die Wahrscheinlichkeit der einzelnen Ereignisse machen. Es kann auch sein, dass dargestellte Mengen oder Schnittmengen leer sind.

Man kann beliebig viele Mengen in einem Venn-Diagramm darstellen. Solange man aber echte Kreise verwendet, bekommt man Probleme, alle möglichen Schnittmengen der Mengen darzustellen.

Beispiele von Venn-Diagrammen zweier Mengen A und B

Hier folgen ein paar wichtige Mengen, im Venn-Diagramm rot markiert.

Die Leere Menge \emptyset, enthält keine Elemente.

Alle Elemente von AA werden rot markiert.

Der Ereignisraum Ω\Omega enthält alle Elemente.

Das Komplement von AA geschnitten BB, also AB\overline{A\cap B}, enthält alle Elemente, die nicht in AA und BB liegen.

Das Komplement von AA vereinigt BB, also AB\overline{A\cup B}, enthält alle Elemente, die nicht in AA oder BB liegen.

AA ohne BB, also ABA\setminus B, enthält alle Elemente von AA, die nicht in BB liegen.

Die symmetrische Differenz AΔBA\Delta B enthält alle Elemente, die nur in AA oder nur in BB liegen, aber nicht in AA und BB.

Hier findest du Aufgaben zu Venn-Diagrammen.

Übungsaufgaben

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